1、函数中存在性和任意性问题分类解析1. ， ，使得 ，等价于函数 在 上的值域与函数 在 上的值域 的交集不空，即 .例 1 已知函数 和函数，若存在 ，使得成立，则实数 的取值范围是（ ）解 设函数 与 在 上的值域分别为 与 ，依题意 .当 时， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 即 .当 时， ，所以 单调递，所以即 .综上所述 在 上的值域 .当 时， ，又 ，所以 在在 上单调递增，所以 即 ，故 在 上的值域 .因为 ，所以 或 解得 ，故应选 .2.对 ， ，使得 ，等价于函数 在 上的值域 是函数 在 上的值域 的子集，即 .例 2(2011 湖北八校第二次联考)设 ，. 若
2、，使 成立，则实数 的取值范围为;若 ， ，使得，则实数 的取值范围为解 依题意实数 的取值范围就是函数 的值域.设 ，则问题转化为求函数 的值域，由均值不等式得， ，故实数 的取值范围是 .依题意实数 的取值范围就是使得函数 的值域 是函数的值域 的子集的实数 的取值范围.由知 ，易求得函数的值域 ，则 当且仅当 即 ，故实数 的取值范围是 .例 3 已知 ，它们的定义域都是 ，其中 是自然对数的底数， .(1)求 的单调区间;(2)若 ，且 ，函数 ，若对任意的 ，总存在，使 ，求实数 的取值范围 . 解 (1)略;(2)依题意实数 的取值范围就是使得在区间 上的值域 是 的值域 的子集实
3、数 的取值范围.当 时， 由 得 ，故 在上单调递减，所以 即 ，于是.因 ，由 得 .当 时， ，故 在 上单调递增，所以即 ，于是 .因为 ，则当且仅当 ，即 .当 时，同上可求得 .综合知所求实数 的取值范围是 .3.已知 是在闭区间 的上连续函，则对 使得，等价于 .例 4 已知 ，其中 .(1)若是函数 的极值点，求实数 的值;(2)若对任意的 都有 成立，求实数 的取值范围. 解 (1)略;(2) 对 ，有 ，等价于 有.当 时， ，所以 在 上单调递增，所以.因为 ， 令 得 ，又且 ， .当 时， ，所以 在在 上单调递增，所以.令 得 这与 矛盾。当 时，当 时 ，当 时 ，
4、所以在 上单调递减在 上单调递增，所以 .令得 ，又 ，所以 。当 时， ，所以 在 上单调递减，所以.令 得 ，又 ，所以 。综合得所求实数 的取值范围是 。另解 同上求得 ，要证 时， ，即.由上知求 需对参数 进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决，逆向思维，由于 难求，将 退回到恒成立问题: 证 时，即 恒成立，只需证当 时，恒成立，只需证 .因为 ，令得 .当 时 ，当 时 ，故，所以 ，故所求实数 的取值范围是。点评 这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题 转化为另一个不需要分类讨论的
5、最值问题 .练习：已知函数 ， ，若函数 的图象经过点 ，且在点 处的切线线恰好与直线 垂直.(1)求的值;(2)求函数 的在 上最大值和最小值；（3）如果对任意 都有 成立，求实数 的取值范围.4.若对 ， ，使 ，等价于 在 上的最小值不小于 在 上的最小值即 （这里假设 存在）。例 5(2010 年山东)已知函数 .(1)当 时，讨论 的单调性;(2)设 ，当时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 的取值范围.解（1）略；（2）依题意 在 上的最小值不小于 在 上的最小值即 ，于是问题转化为最值问题.当 时， ，所以 ，则当 时， ;当 时， ，所以当 时，.，当 时，可求得 ，由得这与 矛盾.当 时，可求得 ，由得 这与 矛盾.当 时，可求得 ，由 得 .综合得实数 的取值范围是 .
