1、第 1 页（共 23 页）乘法公式培优训练题型一：a型1已知 x23x+1=0，则 = 2若 a2+ =14，则 a+ 5 的值为 3已知 a+ =7，则 a3+ 的值是 4已知 =3，则 = 5 （1）猜想：试猜想 a2+b2与 2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知 x ，求 x2+ 的值；（3）拓展：代数式 x2+ 是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值题型二：换元，整体思想1已知 a+b=4，则 = 2已知（2017a） 2+（2016a） 2=1，则（2017a） （2016a）= 3已知（2017A） 2（2015A） 2=2016，则（2017A
2、） 2+（2015A） 2 的值为 4计算（1 ） （ + + ）（1 ） （ + ）的结果是 5计算（a 1+a2+an1 ） （a 2+a3+an1 +an）（a 2+a3+an1 ）（a 1+a2+an）= 题型三、添与凑1对于算式 2（3+1） （3 2+1） （3 4+1） （3 8+1） （3 16+1） （3 32+1）+1（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2化简：6（7+1） （7 2+1） （7 4+1） （7 8+1） （7 16+1）+1= 第 2 页（共 23 页）3计算下列各式：（1）1 = ；（2） （1 ） （1 ）= ；（3） （1 ） （1 ）
3、 （1 ）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） （1 ）（1 ）4 （1）计算：（a1） （a+1）= ；（a1） （a 2+a+1）= ；（a1） （a 3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1） （a 2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值2 2017+22016+22015+22014+22+2+1 5 2017+52016+52015+52014+52+5+1题型四、化简求值1已知代数式（x2y） 2（xy） （x+y）2y 2（1）当 x=1
4、，y=3 时，求代数式的值；（2）当 4x=3y，求代数式的值3已知 a2+2a2=0，求代数式（3a+2） （3a2）2a（4a1）的值第 3 页（共 23 页）3 （1）已知 a2+b2=3，ab=1，求（2a） （2b）的值（2）设 b=ma（a0） ，是否存在实数 m，使得（2ab） 2（a2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为 12a2？若能，请求出满足条件的 m值；若不能，请说明理由4计算：（1） （48a 6b5c）（24ab 4）（ a5b2） ；（2）已知 xm=3，x n=2，求 x2m3n 的值；（3）已知 6x=5y，求代数式（x3y） 2（xy） （x+y）5y
5、2的值题型五、综合运用1如果等式 x2+3x+2=（x1） 2+B（x1）+C 恒成立，其中 B，C 为常数，B+C= 2已知长方形的周长为 16cm，它两邻边长分别为 xcm，ycm，且满足（xy）22x+2y+1=0，求其面积3两个不相等的实数 a，b 满足 a2+b2=5（1）若 ab=2，求 a+b的值；第 4 页（共 23 页）（2）若 a22a=m，b 22b=m，求 a+b和 m的值4已知|xy+1|与 x2+8x+16互为相反数，求 x2+2xy+y2的值5将 4个数 a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成 ，定义=adbc上述记号叫做 2阶行列式，若 =8求 x
6、的值6把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（1）图 1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为 a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（2）图 2是将两个边长分别为 a和 b的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连结 BD、BF，若两正方形的边长满足 a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积7图 1是一个长为 2m，宽为 2n的长方形纸片（其中 mn） ，先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图 2所示的大正方形（1）请用两种不同方法表示图 2中阴影部分的面积： ；
7、 （2）写出关于（m+n） 2， （mn） 2，mn 的一个等式 （3）若 m+n=10，mn=20，求图 2中阴影部分的面积第 5 页（共 23 页）8从边长为 a的正方形剪掉一个边长为 b的正方形（如图 1） ，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2） （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）Aa 22ab+b 2=（ab） 2Ba 2b 2=（a+b） （ab）Ca 2+ab=a（a+b）（2）若 x29y 2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（3）计算：（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） （1 ）9有一系列等式：1234+1=52=（1 2+31+1） 22345+1
8、=112=（2 2+32+1） 23456+1=192=（3 2+33+1） 24567+1=292=（4 2+34+1） 2（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 891011+1的结果 （2）试猜想 n（n+1） （n+2） （n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明10 （1）已知 a+b=3，ab=2，求代数式（ab） 2的值（2）已知 a、b 满足（2a+2b+3） （2a+2b3）=55，求 a+b的值第 6 页（共 23 页）11如图，长方形的两边长分别为 m+1，m+7；如图，长方形的两边长分别为 m+2，m+4 （其中 m为正整数）（1）图中长方形的面积 S1= ；图中
9、长方形的面积 S2= 比较：S 1 S 2（填“” 、 “=”或“” ）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含 m的代数式表示） ；试探究：该正方形面积 S与图中长方形面积 S1的差（即 SS 1）是一个常数，求出这个常数（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 S1、S 2之间（不包括 S1、S 2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有 10个，求 m的值12先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m和 n的值解：m 2+2mn+2n26n+9=0m 2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n） 2+（n3） 2=0
10、m+n=0，n3=0m=3，n=3问题（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，满足 a2+b2=10a+8b41，且 c是ABC中最长的边，求 c的取值范围第 7 页（共 23 页）26已知 x、y 互为相反数，且（x+3） 2（y+3） 2=6，求 x、y 的值第 8 页（共 23 页）2017年 12月 02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一选择题（共 11小题）1已知 x23x+1=0，则 = 7 【解答】解：x 23x+1=0，x+ =3，（x+ ） 2=x2+ +2=9，x 2+ =7故答案为：72化简：6（7+1） （7
11、 2+1） （7 4+1） （7 8+1） （7 16+1）+1= 7 32 【解答】解：原式=（71） （7+1） （7 2+1） （7 4+1） （7 8+1） （7 16+1）+1=（7 21） （7 2+1） （7 4+1） （7 8+1） （7 16+1）+1=（7 41） （7 4+1） （7 8+1） （7 16+1）+1=（7 81） （7 8+1） （7 16+1）+1=（7 161） （7 16+1）+1=7321+1=732故答案为：7 323已知（2017a） 2+（2016a） 2=1，则（2017a） （2016a）= 0 【解答】解：（2017a） 2+（2016
12、a） 2=1，（2017a）（2016a） 2+2（2017a） （2016a）=1，即 1+2（2017a） （2016a）=1，2（2017a） （2016a）=0，（2017a） （2016a）=0，第 9 页（共 23 页）故答案为：04若 a2+ =14，则 a+ 5 的值为 1 或9 【解答】解：a 2+ =14，a 2+2+ =14+2，即 =16，a+ =4，a+ 5=1 或9，故答案为：1 或95已知 a+b=4，则 = 8 【解答】解：= （a 2+2ab+b2）= （a+b） 2= 42=8故答案是：86已知 =3，则 = 119 【解答】解： ，=119，故答案为：11
13、97已知（2017A） 2（2015A） 2=2016，则（2017A） 2+（2015A） 2 的值为 4+24 第 10 页（共 23 页）【解答】解：设 x=2017A，y=2015A，x 2y2=2016，xy=12 ，xy=2x 2+y2=（xy） 2+2xy=424x 2+y20，x 2+y2=4+24（2017A） 2+（2015A） 2=4+24故答案为：4+248已知 a+ =7，则 a3+ 的值是 322 【解答】解：a+ =7，（a+ ） 2=49，a 2+ +2=49，a 2+ =47，a 3+ =（a+ ） （a 21+ ）=746=322故答案为：3229如果等式
14、x2+3x+2=（x1） 2+B（x1）+C 恒成立，其中 B，C 为常数，B+C= 11 【解答】解：x 2+3x+2=（x1） 2+B（x1）+C=x 2+（B2）x+1+C 恒成立，B2=3，1+C=2，B=5，C=6，第 11 页（共 23 页）故 B+C=11故答案为：1110计算（1 ） （ + + ）（1 ） （ + ）的结果是 【解答】解：（1 ） （ + + ）（1 ） （ + ）=（1 ）（ + ）+（1 ） （1 ）（ + ）（ ）（ + ）=（1 ） + （ + ）=（1 + + ）= 故答案为： 11计算（a 1+a2+an1 ） （a 2+a3+an1 +an）（a
15、 2+a3+an1 ）（a 1+a2+an）= a 1an 【解答】解：设 x=a1+a2+an，y=a 2+a3+an1 ，则原式=（xa n） （y+a n）yx=xy+xana nya n2xy=an（xy）a n2=an（a 1+a2+an）（a 2+a3+an1 ）a n2=an（a 1+an）a n2=a1an，故答案为：a 1an二选择题（共 16小题）12已知长方形的周长为 16cm，它两邻边长分别为 xcm，ycm，且满足（xy）22x+2y+1=0，求其面积第 12 页（共 23 页）【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8；（xy） 22x+2y+1=（
16、xy） 22（xy）+1=（xy1） 2=0，xy=1联立成方程组 ，解得： ，长方形面积 S=xy= = cm2答：长方形的面积为 cm213两个不相等的实数 a，b 满足 a2+b2=5（1）若 ab=2，求 a+b的值；（2）若 a22a=m，b 22b=m，求 a+b和 m的值【解答】解：（1）a 2+b2=5，ab=2，（a+b） 2=a2+2ab+b2=5+22=9，a+b=3；（2）a 22a=m，b 22b=m，a 22a=b 22b，a 22a+b 22b=2m，a 2b 22（ab）=0，（ab） （a+b2）=0，ab，a+b2=0，a+b=2，a 22a+b 22b=2
17、m，a 2+b22（a+b）=2m，a 2+b2=5，522=2m，第 13 页（共 23 页）解得：m= ，即 a+b=2，m= 14已知|xy+1|与 x2+8x+16互为相反数，求 x2+2xy+y2的值【解答】解：|xy+1|与 x2+8x+16互为相反数，|xy+1|与（x+4） 2互为相反数，即|xy+1|+（x+4） 2=0，xy+1=0，x+4=0，解得 x=4，y=3当 x=4，y=3 时，原式=（43） 2=4915将 4个数 a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成 ，定义=adbc上述记号叫做 2阶行列式，若 =8求 x的值【解答】解：根据题意化简 =8，得
18、：（x+1） 2（1x） 2=8，整理得：x 2+2x+1（12x+x 2）8=0，即 4x=8，解得：x=216把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（1）图 1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为 a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（2）图 2是将两个边长分别为 a和 b的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连结 BD、BF，若两正方形的边长满足 a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积第 14 页（共 23 页）【解答】解：（1） （a+b+c） 2=a2+b2+c2+2a
19、b+2bc+2ac（2）a+b=10，ab=20，S 阴影 =a2+b2 （a+b）b a2= a2+ b2 ab= （a+b） 2 ab= 10220=5030=2017图 1是一个长为 2m，宽为 2n的长方形纸片（其中 mn） ，先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图 2所示的大正方形（1）请用两种不同方法表示图 2中阴影部分的面积： （mn） 2 ； （m+n） 24mn （2）写出关于（m+n） 2， （mn） 2，mn 的一个等式 （m+n） 2=（mn） 2+4mn （3）若 m+n=10，mn=20，求图 2中阴影部分的面积【解答】解：（1）图 2中阴影部
20、分的面积：（mn） 2；（m+n） 24mn；故答案为：（mn） 2；（m+n） 24mn；（2）关于（m+n） 2， （mn） 2，mn 的一个等式：（m+n） 2=（mn） 2+4mn；故答案为：（m+n） 2=（mn） 2+4mn；第 15 页（共 23 页）（3）m+n=10，mn=20，图 2中阴影部分的面积为：（m+n） 24mn=10 2420=2018对于算式 2（3+1） （3 2+1） （3 4+1） （3 8+1） （3 16+1） （3 32+1）+1（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式=（31）（3+1）（3 2+1）（3 4+1）
21、（3 8+1）（3 16+1）（3 32+1）+1=（3 21）（3 2+1）（3 4+1）（3 8+1）（3 16+1）（3 32+1）+1=（3 41）（3 4+1）（3 8+1）（3 16+1）（3 32+1）+1=（3 321）（3 32+1）+1=364；3 1=3，3 2=9，3 3=27，3 4=8135=243，3 6=729，每 3个数一循环，643=211，3 64的个位数字是 319计算下列各式：（1）1 = ；（2） （1 ） （1 ）= ；（3） （1 ） （1 ） （1 ）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） （1
22、 ）（1 ）【解答】解：（1）1 = ；第 16 页（共 23 页）（2） ） （1 ） （1 ）= ；（3）原式= ；故答案为 ； ； ；（4）原式= = 20从边长为 a的正方形剪掉一个边长为 b的正方形（如图 1） ，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2） （1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）Aa 22ab+b 2=（ab） 2Ba 2b 2=（a+b） （ab）Ca 2+ab=a（a+b）（2）若 x29y 2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（3）计算：（1 ） （1 ） （1 ）（1 ） （1 ）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a 2b 2=（
23、a+b） （ab） ，上述操作能验证的等式是 B，故答案为：B；（2）x 29y 2=12，x 29y 2=（x+3y） （x3y）=12，x+3y=4，x3y=3；第 17 页（共 23 页）（3）原式= 21有一系列等式：1234+1=52=（1 2+31+1） 22345+1=112=（2 2+32+1） 23456+1=192=（3 2+33+1） 24567+1=292=（4 2+34+1） 2（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 891011+1的结果 89 2 （2）试猜想 n（n+1） （n+2） （n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明【解答】解：（1）根据观察、归
24、纳、发现的规律，得到891011+1=（8 2+38+1） 2=892；故答案为：89 2；（2）依此类推：n（n+1） （n+2） （n+3）+1=（n 2+3n+1） 2，理由如下：等式左边=（n 2+3n） （n 2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n 2+3n+1） 2=（n 2+1） 2+23n（n 2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边22 （1）已知 a+b=3，ab=2，求代数式（ab） 2的值（2）已知 a、b 满足（2a+2b+3） （2a+
25、2b3）=55，求 a+b的值第 18 页（共 23 页）【解答】解：（1）a+b=3，ab=2，（ab） 2=（a+b） 24ab=3 24（2）=17；（2） （2a+2b+3） （2a+2b3）=55，4（a+b） 29=55，（a+b） 2=16，a+b= =423如图，长方形的两边长分别为 m+1，m+7；如图，长方形的两边长分别为 m+2，m+4 （其中 m为正整数）（1）图中长方形的面积 S1= m 2+8m+7 ；图中长方形的面积 S2= m 2+6m+8 比较：S 1 S 2（填“” 、 “=”或“” ）（2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含
26、 m的代数式表示） ；试探究：该正方形面积 S与图中长方形面积 S1的差（即 SS 1）是一个常数，求出这个常数（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 S1、S 2之间（不包括 S1、S 2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有 10个，求 m的值【解答】解：（1）图中长方形的面积 S1=（m+7） （m+1）=m 2+8m+7，图中长方形的面积 S2=（m+4） （m+2）=m 2+6m+8，比较：S 1S 2=2m1，m 为正整数，m 最小为 1，2m110，S 1S 2；（2）2（m+7+m+1）4=m+4；SS 1=（m+4） 2（m 2+8m+7）=9 定值；第 19 页（共
27、23 页）（3）由（1）得，S 1S 2=2m1，当 102m111 时， m6，m 为正整数，2m1=11，m=6故答案为：m 2+8m+7，m 2+6m+8，24 （1）计算：（a1） （a+1）= a 21 ；（a1） （a 2+a+1）= a 31 ；（a1） （a 3+a2+a+1）= a 41 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1） （a 2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）= a 20181 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值2 2017+22016+22015+22014+22+2+15 2017+52016+52015+52014+52+
28、5+1【解答】解：（1） （a1） （a+1）=a 21；（a1） （a 2+a+1）=a 31；（a1） （a 3+a2+a+1）=a 41；故答案为：a 21；a 31；a 41；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1） （a 2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1）=a 20181；故答案为：a 20181；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值2 2017+22016+22015+22014+22+2+1=（21）（2 2017+22016+22015+22014+22+2+1）=2 20181；5 2017+52016+52015+52014+52+5+1=
29、 （51）第 20 页（共 23 页）（5 2017+52016+52015+52014+52+5+1）= （5 20181） 25先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m和 n的值解：m 2+2mn+2n26n+9=0m 2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n） 2+（n3） 2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，满足 a2+b2=10a+8b41，且 c是ABC中最长的边，求 c的取值范围【解答】解：（1）x 2+2y22xy+4y+4=x2
30、2xy+y 2+y2+4y+4=（xy） 2+（y+2） 2=0，xy=0，y+2=0，解得 x=2，y=2，x y=（2） 2 = ；（2）a 2+b2=10a+8b41，a 210a+25+b 28b+16=0，即（a5） 2+（b4） 2=0，a5=0，b4=0，解得 a=5，b=4，c 是ABC 中最长的边，5c926已知 x、y 互为相反数，且（x+3） 2（y+3） 2=6，求 x、y 的值第 21 页（共 23 页）【解答】解：x、y 互为相反数，y=x，（x+3） 2（y+3） 2，=（x+3） 2（x+3） 2，=x2+6x+9x 2+6x9，=6，即 12x=6，解得 x=
31、 ，y=x= 故答案为：x、y 的值分别是 ， 27 （1）猜想：试猜想 a2+b2与 2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知 x ，求 x2+ 的值；（3）拓展：代数式 x2+ 是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值【解答】解：（1）猜想 a2+b22ab，理由为：a 2+b22ab=（ab） 20，a 2+b22ab；（2）把 x =5两边平方得：（x ） 2=x2+ 2=25，则 x2+ =27； （3）x 2+ 2，即最小值为 2三解答题（共 4小题）28已知代数式（x2y） 2（xy） （x+y）2y 2（1）当 x=1，y=3 时，求代数式的值；（
32、2）当 4x=3y，求代数式的值【解答】解：原式=x 24xy+y 2（x 2y 2）2y 2第 22 页（共 23 页）=4xy+3y 2（1）当 x=1，y=3 时，原式=12+39=12+27=15（2）当 4x=3y时，原式=y（4x3y）=029已知 a2+2a2=0，求代数式（3a+2） （3a2）2a（4a1）的值【解答】解：（3a+2） （3a2）2a（4a1）=9a 248a 2+2a=a2+2a4，当 a2+2a2=0，即 a2+2a=2时，原式=24=230 （1）已知 a2+b2=3，ab=1，求（2a） （2b）的值（2）设 b=ma（a0） ，是否存在实数 m，使得
33、（2ab） 2（a2b） （a+2b）+4a（a+b）能化简为 12a2？若能，请求出满足条件的 m值；若不能，请说明理由【解答】解：（1）把 ab=1 两边平方得：（ab） 2=a2+b22ab=1，把 a2+b2=3代入得：32ab=1，即 ab=1，（a+b） 2=a2+b2+2ab=3+2=5，a+b= ，则原式=4（a+b）+ab=5 ；（2）原式=4a 24ab+b 2a 2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当 b=a时，原式=12a 2，则 m=131计算：（1） （48a 6b5c）（24ab 4）（ a5b2） ；（2）已知 xm=3，x n=2，求 x2m3n 的值；（3）已知 6x=5y，求代数式（x3y） 2（xy） （x+y）5y 2的值第 23 页（共 23 页）【解答】解：（1） （48a 6b5c）（24ab 4）（ a5b2）=2a 5bc（ a5b2）= a10b3c（2）x m=3，x n=2，x 2m3n=（x m） 2（x n） 3=3223=（3） （x3y） 2（xy） （x+y）5y 2=x26xy+9y 2x 2+y25y 2=5y26xy=y（5y6x）6x=5y，原式=y0=0
