1、1数列的极限的证明格式 5篇以下是网友分享的关于数列的极限的证明格式的资料 5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。篇 1例 1 设数列xn 满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 （）证明 limxn 存在，并求该极限；n1xn1xn （）计算 lim。 nxn解 （ ）用归纳法证明xn 单调下降且有下界， 由0x1，得20x2sinx1x1 ，设 0xn，则0xn1sinxnxn ，所以xn 单调下降且有下界，故 limxn 存在。n记 alimxn，由 xn1sinxn 得xasina ，所以 a0，即 limxn0。n（）解法 1 因为sinxlimx0x1xlimex01si
2、nxlnx2xlimex01cosx12xsinxx3xsinx6x2xcosxsinxlimex02x3limex0e16又由（）limxn0 ，所以n1xn1xn1sinxnxn2limlimnnxxnn1sinxlimx0x解法 2 因为1xxe416sinxxsinxxsinxx1xxsinxxx3，又因为limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x1xnxsinxxe ，sinx6所以 lim， ex0x51故11xlimn1nxnxnsinxnlimnxnsinxlimx0xxn1xe16.篇 2数列极限的证明 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明 Xn 的极限存在，并
3、求该极限 求极限我会|Xn+1-A|Xn-A|/A6以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|Xn-1-A|/A ;|Xn-1-A|Xn-2-A|/A;|X2-A|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|Xn-A|/(A7)2只要证明x(n)单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：证明x(n)单调增加。x(2)=2+3x(1)=5x(1);设 x(k+1)x(k)，则x(k+2)-x(k+1)=2+3x(k+1)-2+3x(k)(分子有理化)=x(k+1)-3x(k)/【 2+3x(k+1)+2+3x(k)】0。证明x(n)有上界。x(1)=14 ，设 x(k)4，则x(k+1)=2+3
4、x(k)(2+3*4)4。3当 0当 0构造函数 f(x)=x*a(0令 t=1/a，则：t1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)=x/t(t1)则：lim(x+)f(x)=lim(x+)x/t=lim(x+)x/(t )(分子分母分别求导 )8=lim(x+)1/(t*lnt)=1/(+)=0所以，对于数列 n*a9，其极限为 04用数列极限的定义证明3. 根据数列极限的定义证明：(1)lim1/(n 的平方)=0n (2)lim(3n+1)/(2n+1)=3/2n (3)lim根号(n+1)-根号(n)=0n (4)lim0.9999=1n n 个 95 几道数列极限的证明题，帮个忙。
5、 。 。Lim 就省略不打了。 。 。篇 3函数极限的证明(一)时函数的极限：以 时 和 为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义 ( 和 . )10几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例 1 验证 例 2 验证 例 3 验证 证 (二)时函数的极限：由 考虑 时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例 4 验证 例 5 验证 例 6 验证 证 由 =为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有例 7 验证 例 8 验证 ( 类似有 (三) 单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域
6、然后介绍 等的几何意义.例 9 验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:Th 类似有: 例 10 证明: 极限 不存在.例 11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有= 2 函数极限的性质(3 学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。11教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一
7、性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )註:若在 Th 4 的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“+” 和“ ”)(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值 )这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即12计算得所求极限
8、.例 1( 利用极限 和 )例 2 例 3 註:关于 的有理分式当 时的极限.例 4 利用公式 例 5 例 6 例 7篇 4第卷第期济宁师范专科学校学报年月文章编号：（）一一用定义证明数列的极限应注意的几个问题丁长银（济宁师专旅游地理系，山东济宁）摘要：通过几个具体例子论说用数列极限的定义证明题的正确方法。关键词：数列极限；不等式中图分类号：文献标识码：学过数学分析的人，都知道数列极限是既重要又难掌握13的概念。尤其用定义证明数列极限是学好极限的关键。特别对初学者来说，这一点是不容易做到的，不少人只是形式地套用定义、模仿证题的格式，根本不理解证明的真实含义，从而给出不正确的做法。为了讨论的方便
9、，先给出数列极限的定义：对于数列。 ） ，如果存在常数，对于任给，总存在自然数，当。，恒有。一则称常数为数列（。 ）当趋向于无穷大时的极限。记为。 。：一、不理解定义的真实含义例用定义证明。蠹芝专詈。 错证由于丽一虿篇，所以对任给。 ，总存在，当时，恒有器，所以。分析依定义，欲证“虿悬丽）的极限，”在给出，需找出符合条件的，而上面的证明只是形式地套用了定义，根本没有找到，从实质上说，就是不理解定义的真实含义。万与，即去，令去，则当刊，恒有丽一百正证 。雨：一号一蒜塞芝芝暑尝毛五与 对任给。 ，欲使丽14二、为预先“任给”的充分小的正数需特别强调例用定义证明。一。町一。，只要 氅罢等虿错证： 若
10、与一击（） 对任给，取定击，则有，当时，恒有南一， 。一。 。而分析依定义，是预先给定的充分小的正数，即具有这样的特点充分小，任意性，固定性，三者缺一不可，而上面的证明限定了，显然是错误的。同时找出的也是错误的，所以上面的证明是不对的。正证任给，由于备告，收稿日期：一作者简介：丁长银（一） ，男，山东省嘉祥人，济宁师专旅地系副教授。万方数据 。 。诹： 当。时，恒有：；。再。三、忽视了为任给”充分小”的正数，造成错误的解不等式15例，判断数列丽）的极限是否为错解任给， 暑艄，恒有晶一分析显然上面的解法是错误的，因为。丽“盛一拦羔一汹涨上；要。错误的原因是忽视了为“充分小”的正数，吼由珏一卜耻不
11、能推只能推出蓑箸，所以符合条件的不存在，且不是当硼土、引搬限，四、选取的口八台匕匕一有关（常数除外） ，与无关以上面的证明是错误的。正证任给，由于竿一。卜螺告， ，令 ，则当，有竿一， ，（） 。一。五、当限定时，比如。 ，的取法应受。约束。例用定义证明一器错证博引毫妯鲁照引蓑靖雌涨16喙祭艄洲吼鼢兰，一。 “分析上面的证明是错误的，其原因是的取法不对，正确的， 去 ） ，这样当时，才有一未成立，若取去 ，即便是熹 ，也不能保证。正证在上面的证明过程中，只要令“去 ） ，其余步骤均不变即可。六、对放大不等式的意义不理解例用定义证明。 （而一）专（下转第页）一一万 方数据术队伍的素质及稳定与否，
12、直接影响着师专实验教学的改革与发展。对此，学校应制定相应的激励政策，在技术职务评聘和工资改革上向实验系列倾斜，鼓励和支持高水平的优秀教师从事实验教学和管理工作，选调一批职称高、具有一定的管理能力、德才兼备的同志担任实验室主任，提高实验技术队伍的整体水平；并建立健全各项规章制度，对实验技术人员实行定编、定岗，持证上岗，有计划、有目的地17对实验技术人员进行培训，提高他们的专业技术能力；鼓励他们参与科学实验和实验教学研究；坚持岗位考评制度，为他们职称评定创造条件。通过一系列政策的制定和落实，相信实验技术队伍会得到巩固和加强，综合素质会进一步提高，积极性和创造性会得到极大调动和发挥。有了这样一只业务
13、素质高、创新能力强的实验技术队伍，培养创新人才的重任就能担当起来了。增加经费投入加强实验室建设实验室装备情况如何，直接反映出一个学校办学水平的高低，最终决定人才的质量。实验室仪器设备精良，不仅能最大限度地满足实验教学的需求，而且也为师生提供一个良好的科学研究基地，对学校教学、科研水平的提高提供了物质保障。近几年来，师范专科学校加大了实验设备的投资力度，特别是利用世界银行贷款，购置了部分仪器设备，缓解了实验仪器设备的紧张局面。但是，由于师专实验室基础较差，底子薄，设备陈旧落后，学校每年投入的设备经费仅够实验教学设备的配套和实验教学的正常开出使用。而世行贷款购置的大多是微机、多媒体和校园网等设备，
14、真正购置用在基础课教学实验室的设备相对较少。随着学校办学规模的逐渐扩大，实验教学设备的缺口将会越来越大。18设备经费的紧张，严重影响实验室仪器设备的更新换代和科研设备的购置，无法满足教师教学、科研所需的仪器设备，教师的科研项目无法实施，聪明才智不能极大的发挥，造成高水平的人才不愿意、也无法在师专从教，这也是造成师范专科学校教师队伍力量薄弱的原因之一。因此，学校领导和决策部门应拿出魄力，切实加强实验室仪器设备的投资力度，从教育事业费中按比例给足实验设备费；制定政策，鼓励和支持实验室向社会开放；积极申报省教育厅自然科学基金项目；创造条件，争取社会、企业和个人对学校的赞助等，变单一途径为多渠道筹措资
15、金。通过多方共同努力，争取把实验室仪器设备装备到一个更高水平，以满足学校实验教学、科学研究和创新人才培养的需求。基础课教学实验室评估是进一步贯彻普通高校实验室工作规程 、深化实验室管理体制改革、提高实验教学质量和水平的一次大检阅，它促进了各级管理部门和学校领导对实验室工作的重视。我们要以基础课教学实验室评估为契机，开拓创新、励精图治，不断完善和改进实验室管理体制，全面推动实验室建设，为我校上本科、上水平创造条件，为培养更多业务能力强、综合素质高和具有刨新能力的人才提供保障。参考文献19向燕实验室建设与创新人才培养实验室研究与探索，（）（责任编辑刘汉忠）（上接第页） 错证 （瓜土，忑一丢夏了，
16、，丽而）夏畿丢丢，告（而十） 。（而） “ 对任给。 ，欲使（再）一，只告，即三，令一兰 ，则当时，恒有届而）一， 。 。 （后）式的目的是使绝对值（瓜）虿充分小，即小于预先任给的充分小的正数，而告当然不符合要求。取， 一分析从形式上看证明过程似乎不错，实际上证明是错误的，原因是对放大不等式的意义不理解，忽视了放大不等正证对任给，考虑（瓜）一卜赢瓜）刀寿而霜去告， 瓜砾则时恒有凳责任编辑庞新琴）万方数据 用定义证明数列的极限应注意的几个问题20作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期) ：被引用次数：丁长银济宁师专旅游地理系,山东,济宁,272037 济宁师范专科学校学报 JOURNAL O
17、F JINING TEACHERS COLLEGE2002，23(6)0 次相似文献(10 条)1.期刊论文 贺冬冬. 程伟健 算术-几何平均不等式在解数列极限问题中的应用 -大学数学 2004,20(3)数列极限的求法或证明方法多种多样.利用一些经典的初等不等式,例如贝努利不等式,算术-几何平均不等式等来证明数列极限的存在或求数列极限是一种常用的方法.本文将通过一些实例来说明算术-几何平均不等式在解一类问题中的应用,当然其中某些例子还有其他解法,通过比较可以发现这里给出的解法还是比较简洁的.2.期刊论文 王涛. 赵宜宾. 刘瑞芹. WANG Tao. ZHAO Yi-bin. LIU Rui
18、-qin 一类数列极限问题的求解 -大学数学2009,25(4)主要研究了带有两个参数的数列的极限问题,并且根据参21数的不同取值,利用极限的迫敛性求解出其相应的极限形式.其结果是多个已知数列极限的推广.3.期刊论文 吴永锋. 孙钢钢. WU Yong-feng. SUN Gang-gang 两个数列极限的再推广 -大学数学 2008,24(6) 证明了三个命题,它们是已知的数列极限的推广.4.期刊论文 林丽华. LIN Li-hua 数列极限证明中”放大法”的应用 -三明学院学报 2008,25(2)介绍用”-N”定义证明数列极限时放大法的使用原则,并归纳出用”-N”定义证明数列极限的 4
19、个放大法法则,5.期刊论文 张国铭 两个数列极限的推广 -数学的实践与认识 2004,34(8)证明了四个命题,它们是两个已知的数列极限的推广.6.期刊论文 张民珍. ZHANG Min-zhen 数列(1+1/n)n的极限证明方法探究 -运城学院学报 2005,23(5)数列(1+1/n)n的极限是高等数学的重要极限之一,大部分高数教材采用二项式展开证明单调有界性,本文通过其它四种不等式证明了单调有界,以便大家从不同角度更好地理解(1+1/n)n 的极限.7.期刊论文 章显联 高考中数列极限的命题特点剖析 -上海中学数学 2006,”“(12)极限思想是高等数学最基本、最重要的思想之一,极限
20、也是高中数学的重要内容,是高考中常考常新的内容.它往往与22数列、方程、组合、不等式、对数、解几、平几、函数等学科内知识交汇;又由于极限应用的广泛性,它常与跨学科知识交汇,下面选择几类题剖析”数列极限”的特点和解题思路.8.期刊论文 齐玉霞. QI Yu-xia 根差不等式的推广 -山东轻工业学院学报（自然科学版）2007,21(3)有关文献中用微分学的方法证明了根差不等式 na-nbna-b(nN+,ab0).本文将该不等式中正数的 n 次算术根分别推广为正数的a(0a1) 次幂以及任意实数的 p/q(p,qN+,p q,q 为奇数)次幂,并且证法是完全初等的,这就大大拓广了根差不等式的应用
21、范围.应用根差不等式以及本文推广后的结果,对有关根式的数列极限、函数极限、一致连续等许多问题都可获得很顺利的解决,为教学提供了很大方便.9.期刊论文 王冰 算术平均值-几何平均值不等式的一个应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,”“(2) 利用算术平均值-几何平均值不等式解答了几个数列极限题目.10.期刊论文 邢家省. 付传玲. 郭秀兰 . Xing Jiasheng. Fu Chuanling. Guo Xiulan 贝努利不等式的应用 -河南科学2008,26(2)引用贝努利不等式给出了在证明重要极限和数列极限时的作用;给出了几何平均算术平均不等式、Young 不等式和Youn
22、g 逆不等式的证明,沟通了这些重要不等式之间的联系.23本文链接：.cn/Periodical_jnsfzkxxxb200206005.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：fb90ec81-e8b0-4c79-a789-9dcd00c4cb3a下载时间：2010 年 8 月 9 日篇 5第卷加年第期月呻高师理科学刊缸嘲玲哪畸文章编号：（）枷蛐数列爿的单调有界性及极限的证明朱杏华（南京信息工程大学数理学院江苏南京）摘要：讨论数列岛的单调有界性与极限的方法很多利用基本极限与比式方法直接证明数列 爿是严格单调递增的且以为极限，而不必借助导数、级数、积分及劬公式等工具24关键词：数
23、列；极限；单调有界中图分类号：文献标识码：对于数列爿，讨论其单调有界性与极限的方法很多寻求简单直接的证明方法有一定教学价值文献利用导数、级数、公式及不等式讨论了数列写的单调有界性与极限本文利用基本极限与比式方法直接证明数列爿是严格单调递增的且以为极限，这样可以将数列爿的单调有界性与极限作为“数列极限”部分的的习题她翥（，一：等“（剞”因为钆”蜘，故由式（）可得盟血，从而生：旦纽马玉鱼兰：立，于是由，工。得） ，等砉等嘉等器等爿”（钭。矗（） 舯（）！（，） ” （以）”工工一一一）一） ，而石。工。 （）式（）两边开次方，得玩以由于。，故缸。 ）有上界利用式（） ，有口。工：厅仃“25因此，口
24、口。 即。 ）是严格增加的于是口。存在，且口。玩。 “每篙筹（爿一芳 ）巾以州”一又跏（ ） ”譬，故有收稿日期：“等等；言每盟筹堕等！基金项目：南京信息工程大学课程建设基金资助项目（）作者简介：朱杏华（一） ，女，江苏大丰人，副教授，从事距离几何与泛函分析研究一删：，式（）两边开次方，得警，从而口争赤南，这表明恶啦所以！叫一高师理科学刊第卷血口。燃蝴一。吖蒜厂器寿删了一妇不肛，！一叫（，）！参考文献：【】孙建设数列！丝的单调有界性及其极限叨高等数学研究，（）：26 【刀【】，啪妇（！） “忉瑁 ，（）：【】陈纪修，於崇华，金路数学分析（上册）【】 版北京：高等教育出版社，：【】常庚哲，史济怀
25、数学分析教程（下册）【】 北京：高等教育出版社，：一【】岫（） 【】 删：曲卜，：，。啪饶）（，27血血 盯唧“）一：眦唧山。出缸咖肿哆，趴。山百明鹊伍，【胛：；：呷咖嫱） 耐山山眈叩爿商母啪唱舢。山，王欢迎订阅年高师理科学刊国内外公开发行的学术理论刊物中国标准连续出版物28号，一洲，高师理科学刊是国家新闻出版署批准，黑龙江省教育厅主管，齐齐哈尔大学主办，邮发代号卜本刊及时刊登数学、计算机、物理、化学、生物、地理等方面的科研及教学研究成果竭诚欢迎社会各界订阅本刊高师理科学刊为双月刊，大开本每期定价元，全年元可直接通过邮局订阅，因故漏订者可与本刊编辑部联系邮局汇款：齐齐哈尔文化大街号齐齐哈尔大学
26、高师理科学刊编辑部邮编：联系电话：，高师理科学刊编辑部数列n-nn! 的单调有界性及极限的证明作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期) ：被引用次数：朱杏华， ZHU Xing-hua 南京信息工程大学,数理学院,江苏,南京,210044 高师理科学刊 JOURNAL 29OF SCIENCE OF TEACHERS COLLEGE AND UNIVERSITY2009，29(2)0 次参考文献(5 条)1. 孙建设 数列的单调有界性及其极限期刊论文- 高等数学研究 2004(01)2. Minc H. Sathre L Some inequalities involving 1964(1
27、4)3. 陈纪修. 於崇华. 金路 数学分析 20044. 常庚哲. 史济怀 数学分析教程 20035. Zorich V A Mathematical Analysis(I) 2006相似文献(10 条)1.期刊论文 王占京. 米香云. WANG Zhan-jing. MI Xiang-yun 关于数列与其子列敛散性的讨论 -河北经贸大学学报（综合版）2005,5(4)本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.2.期刊论文 沈林. 谢芳 数列积和数列和的极限的求解方法 -科教文汇 2008,”“(8)本文就数列的积
28、和极限总结出了四种实用且有效的求解方法,并举出了相应的例子给予说明.303.期刊论文 王振福. 张建军. Wang Zhenfu. Zhang Jianjun 数列的上极限与下极限探析 -包头职业技术学院学报 2008,9(1)通过数列上极限与下极限的概念,讨论了数列上极限与下极限存在的充分必要条件及其一些性质与推论,从而补充了一些关于数列极限的知识.4.期刊论文 潘晓玮. PAN Xiao-wei 一个包含Smarandache LCM 比率数列的极限问题 -西北大学学报（自然科学版）2007,37(5)目的 研究一个包含 Smarandache LCM 比率数列的极限问题.方法 利用初等解
29、析方法.结果 证明 limT(n,n)1/n=limL(n)1/n=e.结论 给出二个包含 Smarandache LCM比率数列的极限定理.5.期刊论文 胡莹晶. 吴玉海. HU Ying-jing. WU Yu-hai 关于数列(n+1/2)/n(n/2)+n=1 的极限 -大学数学2008,24(6)用单调有界定理证明了数列(n+1/2)/n(n/2)+n=1 的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中 t 分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.6.期刊论文 霍东华 数列的非正常上、下极限的一点应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,”“(2) 对文献1
