1、第四章,随机变量的数字特征,一、数学期望,二、方差,三、协方差和相关系数,四、矩和协方差矩阵,数学期望,第四章,第一节,二、随机变量函数的数学期望,一 、数学期望的概念,三、数学期望的性质,一、数学期望的概念,引例：,某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：,求：一次游戏平均得多少钱？,解：,假设做了n次游戏，,每次平均得：,当n很大时，,引例,甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出,试问哪个人的射击水平较高？,(射击相同次，哪个总环数多),解: 设射击N枪,因此，甲的射击水平要比乙的好。,甲：,乙：,若级数,绝对收敛 ，,设离散型随机变量X 的分布律为,简称期望或均值，记为 E(X).,则称此级数
2、的和为X 的数学期望。,即,1、定义1,注：E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均，,与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均,设连续型随机变量X 的概率密度为,为X 的数学期望。,2、定义2,如果,绝对收敛，则称,简称期望或均值，记为 E (X) .,即,注：,并不是任何随机变量都存在期望。,（要满足绝对收敛的条件）,反例：,解 设试开次数为X ,于是,3、几种常用离散型分布的期望,(1) （01）分布,(2) 二项分布,(3) 泊松分布,4、几种常用连续型分布的期望,(1) 均匀分布,(2) 指数分布,(3) 正态分布,例2、,有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个,指数
3、分布，参数为,(1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望。,(2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。,解：,(1),(2),例3.,某项任务完成所需时间 T,该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若,在100天至115天内完成，则得奖金1000 元 ,115 天, 罚款5000 ,求完成任务获得的平均奖金数,解:,规定：,若超过,设Y 是完成该任务所获奖金数，则,Y的可能取值为10000, 1000, -5000,从而Y 的 分布律为,0.5,10000,0.0013,-5000,0.4987,1000,二、随机变量函数的数学期望,那么应该如何计算呢？,设已知随
4、机变量X 的分布，,我们需要计算的不是X,的期望，,而是X 的某个函数g(X)的期望.,按照期望的定义把E g(X ) ,想法：,因为g( X )也是随机变量，,故应有概率分布，,g( X )的分布可以由已知的X 的分布求出来.,知道了g(X )的分布，,计算出来.,解:,已知X 的分布律为,求 的数学期望。,Eg:,事实上,不必求分布,定理1 设,( g为连续函数 ), 设X为离散型随机变量，其分布律为,若级数,绝对收敛,则g(X) 的数学期望为, 设X为连续型随机变量，其概率密度为f (x),则g(X) 的数学期望为,这给求随机变量函数的期望带来很大方便。,该公式的重要性在于:,知道g (
5、 X )的分布，,而只需知道 X 的分布就可以了。,当我们求Eg(X )时,不必, 设( X , Y )为离散型随机变量，其联合分布律为,则Z 的数学期望为, 设X为连续型随机变量，其概率密度为f (x,y),则Z 的数学期望为,绝对收敛,解：,解,例3.,设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求,乘客到达车站等车时间的数学期望。,设T 为乘客到达车站的时刻(分)，,解:,则,其概率密度为,设Y 为乘客等车时间，则,解,同理,1. 设C 是常数，则E(C )=C ;,2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X );,3.,三、数学期望的性质
6、,证明: 设,4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );,证明: 设,（当Xi 独立时）,推广：,注：该性质不是充要条件,证明：,6、,5、,例1、,任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和, 求E(X).,解：,例2、二项分布,解：,则,而,，则,所以,，求E(X)。,X表示n重伯努利试验中成功的次数.,注意：分割随机变量的原则。,例3、,将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，,用X表示装对信件的个数，求EX。,解：,则,0,1,解 ：设,则,注:,不是相互独立的。,解 由随机变量的性质可知,例如: 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，,哪门炮射击效果好一些呢?
7、,甲炮射击结果,乙炮射击结果,其落点距目标的位置如图，,又如: 甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：,甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59,乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60,哪个合唱队演出效果好？,用什么衡量X 与E ( X )的偏离程度呢?,1、,合理,但是存在正负相消，不可行;,2、,带绝对值的运算，不利于分析;,3、,在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，,方 差,第四章,第二节,二、方差的性质,一 、方差的定义,三、几种重要分布的方差,方差的算术平方根,为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。,定义 设X 是一个随机变量，若,则称,
8、称为均方差或标准差。,存在，,记为,注：,方差实际上就是X的函数 g(X)=X-E(X)2 的期望。,方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。,一、方差的定义,离散型,连续型,证明：,推论：,常用计算公式：,解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为,例1,甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：,试问那个人的射击水平较高？,X：甲击中的环数 Y：乙击中的环数,9.2(环),乙的平均环数为,9.2(环),从平均环数上看，,甲、乙射击水平是一样的。,但两人射击环数的方差分别为：,这表明乙的射击水平比甲稳定。,解：,1. 设C是常数,则D(C) =0 ;,2. 若C是常数,则 D(CX )
9、=C 2D(X );,3. 若X与Y 独立，则,二、方差的性质,证,注：,这条性质同样不是一个充要条件。,推广 若X1,X2,Xn 相互独立,则,4、D(X )=0,1（0-1）分布 参数为p,三、几种常见分布的方差,2二项分布,已知X b(n,p)，求D(X),则,所以,解：,，则,= np(1-p).,注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。,3泊松分布,4均匀分布, 指数分布,正态分布,注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学,期望和方差所决定。,特别，当,解 由题意可知,解 设 X 的分布律为,所以,解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正,态分布，且其参数为,故,Z N(
10、-7,5), 求 X 和 Y 的联合分布律;, 求 X + Y 的方差。,解 X ,Y 的取值都为-1和1，则, X+Y 的分布律为,若X,Y相互独立， 这项为零,若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在 什么关系？,协方差和相关系数,第四章,第三节,一、协方差和相关系数的定义,二、协方差的性质,三、相关系数的性质,1、定义 设二维随机变量,则称它为X与Y的协方差，,即,称,为随机变量X与Y的相关系数。,若,存在，,一、协方差和相关系数的定义,记为,显然,2、常用计算公式,证:,1、,为常数,2、,二、协方差的性质,3、,证：,4、,5、,若X或Y中任何一个为常数，则,三、相关系数的性质
11、,1),2),的充要条件是X与Y以概率1成线性关系,即,定理1 设随机变量X和Y,的相关系数存在，则,引理,等号成立当且仅当存在常数,证明：,证明：,说明：,，X 与Y 的线性关系越显著；,，X 与Y 的线性关系越不显著；,2）,3）,4）,定义、相关系数,下列命题等价：,1）,独立,不相关,注：,例：,X N(0,1),证明X与Y不相关。,证：,= 0,X与Y不相关。,但是，显然，X与Y 不是相互独立的。,不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之,间没有其他关系。,独立： X 与Y 之间没有任何关系。,解 先求关于X 和Y 的边缘概率密度,因为,所以X 和 Y 不相互独立。, 求
12、X 和Y 的相关系数,所以,故X 和 Y 不相关。,= 0.,特例,113页 定理2,n维,推广（n维正态分布的几条重要性质）,1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布,a1X1+ a2 X2+ + an Xn均服从正态分布。,对一切不全为0的实数a1,a2,an，,2. 若 X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，,Y1,Y2, ，Yk是 Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布。,3. 设 (X1,X2, ,Xn) 服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn相互独立”,“X1,X2, ,Xn两两不相关”,解,例3,将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示,正面向上和反面向上的次数，求,的相关系数。,解:,满足,故,Cov(X,Z)=2, D(X)=4, D(Z)=2,解 边缘分布律为,的协方差为:,下面求 的方差:,的相关系数为:,矩和协方差矩阵,第四章,第四节,矩和协方差的定义,若,存在，称它为,矩：,协方差阵：,二维随机变量( X,Y ),记,为随机变量( X,Y )的协方差阵。,n维随机变量,说明：,所以C是一个对称矩阵。,2、对角线上元素就是,
