1、最值问题的解法一、配方法例：当 时，求函数 的最大值和最小值01xxxy432解析： ，当 时， 显然由二次函数的性质可34)2(y0112x得 ， minax二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值例：已知 ，求 的最值01242xxyy解析：由已知，变形得 ， ，则 ，即有0)()(2Rx0故 )(16)2(42yy45y因此 ，无最小值5max例 3：若 、 且满足： ，则 = = Ry022yxyxmaxminy解析：由已知，变形得： ， ，则 ，即有)()1(R0，于是 ，即 即 0)(4)12
2、(2xx8x81x81max同理， ， ，则 ，即有)(2yyR0，于是 ，即 即 )()(21yminy注意：关于 、 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法x例 4：已知函数 ，求 的最值13452xy解析：函数式变形为： ， ，由已知得 ，0)1()(yRx05y，即： ，即： 054)3(2y76271因此 ， 7maxy1in例 5：已知函数 的值域为 ，求常数)(2Rxb4,1ba,解析： 01222 byaxbaxyxbay ，即R0)(4)(42由题意： 3, 2yyy 01624y所以 ， ，即 ，124b6a3ba注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于 的二次
3、函数 ，x),(yxF通过方程有实根，判别式 ，从而求得原函数的值域或参数的值.形如0( 、 不同时为 0)，常用此法求得2211cxbaya2例 6：在 条件下，求 的最大值02)sin1(xy解析：设 ，因 ， ，故 ，则 xtsin0()2t2)1(ty即 )12()1(ytty因为 ，故 ，于是 即 000)(4)(2yy81y将 代入方程得 ， ，所以8y3t81max注意：因 仅为方程 有实根 ， 的必要条件，因此，)2()1(yttyt1必须将 代入方程中检验，看等号是否可取1y三、代换法(一)局部换元法例 7：求函数 的最值42xpy解析：令 ，则 ，函数tt tpxy42当
4、时， ，当 时取等号8p42ptyt当 时，令 ，则 8p21t )4()4(2121 tptpy)(21t ，因为 ， ，即有)(4121tt)4)(212tpt 21t8，所以 在2， 内递增0)(212121 tty tpy4)故 4p所以 当 时， ，无最大值；84miny当 时， ，无最大值p2i例 8：求函数 的最值xy1解析：设 ( )，则由原式得 当且仅当 即t0t 1)(21ty1t时取等号故 ，无最小值0xmaxy例 9：已知 ,求函数 的最值2)(cos(sinax解析： 令2c(icosinxxy ti则 且 ，于是2t 1it 1)(2aty当 时， ；当 时， t
5、2maxyat 2min注意：若函数含有 和 ，可考虑用换元法解cosinxcosi(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例 10：已知 、 ， 求 的最值xyR412yx22yxu解析：设 ， ，( 为参数)costsintt因 ，故 412yx2 )2sin1()sic(s2ttu故当 且 时， ；当 且 时， 21in6maxu12maxu例 11：实数 、 适合： ，设 ，则 + =_xy5422yx2yxSmax1Sin解析：令 ， ，则cosSsinS5in542si4sS当 时， ；当 时， 12sin3105maxy1sin130254miny所以 810minaxS例 12：
6、求函数 ( )的最值xy)(2a|解析：令 ，则cosx cosincossin232又令 ，则in2t 2421t74)3cs2sii(132 即有 932t 399aya所以 ，3maxy3min2y注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例 13：已知 、 且 ，求 的最值Rxx62y解析：化 为 ，得参数方程为yx62313)(2sin26co1yx)sin(0sinco1故 ， 20)(maxy21)(minyx(三)均值换元法例 14：已知 ，求证： 的最小值为 1ba4ba81解析：由于本题中 、 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为，我们可以令 ， ，(
7、 )，则t2tR222224 )1(1()( tttbaba 2)41(1tt284( 4t2384t 的最小值为 在 即 时取等号4ba1021ba四、三角函数有界法对于 ，总有 ，Rx|sin|x|cos|x例 15：求函数 的最值y2解析： 1)42sin(1cssico2si xxx因为 ，故1|)4n(|x当 时， ；当 时， si2maxy)si(x2miny五、均值不等式法例 16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大解析：设三角形的三边长分别为 、 、 ，面积为 ，三角形内一点 到三边的距离分bcSP别为 、 、xyz(定值) Scba23)(czbyaxzyax即 (
8、时取等号)xyz783czbyax因此，当此点为三角形的重心时(这时 、 、 面积相等)，它到三边之PABCPA积为最大例 17：有矩形的铁皮，其长为 30 ，宽为 14 ，要从四角上剪掉边长为 的四个cmcxcm小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问 为何值时，矩形盒子容积最大，最x大容积是多少？解析：依题意，矩形盒子底边长为 ，底边宽为 ，高为 )230(xcm)214(xcmxcm盒子容积 (显然：xxV)7(154)1(230(、 、 )15x7设 ， 要用均值不等式则xbab(5(40(a)b解得： ， ， 从而xa7150413x576)4321)(436V故矩形盒子的最大
9、容积为 576 3cm也可：令 或bxab)(1( bxaxaV)7)(154注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求例 18：已知 ( 、 、 均为锐角)，那么sinisin222的最大值等于_co解析：因 、 、 均为锐角，所以 coss 22cos96)3in1iin1()3coscos( 323222 当且仅当 时取等号，故 的最大值为iini222coss962例 19：求函数 的最小值( 、 )xbay22cossinabR解析： x xabx222 cottntntb
10、a当且仅当 即 时，函数 取得最小值xtgact22t2yab2六、单调性法(一)利用若干次“ ”(或“ ”)求函数的最值例 20：求函数 在 ， 内的最小值xycos1in0()2解析： 2sincosinisi1 xxx当 时， ， 上式中的两个 “ ”中的等号同时成立，所以4xcosn12nx是 “精确的”不等式因而 2y 2miny另：此题还可用换元 以及函数单调性来判断tsi(二)形如 的函数的最值xba(1) ， 时，函数在 ， 内递增，在 ， 内递减，0(abab)0在 ， 内递减，在 ， 内递增0(2) ， 时，函数在 ， 内递减，在 ， 内递增，ab()在 ， 内递增，在 ，
11、 内递减abab(3) ， 时，函数在 ， 内递减，在 ， 内递减0()00()(4) ， 时，函数在 ， 内递增，在 ， 内递增ab例 21：求函数 的最值xxy22cosin16cosin4解析：函数 22s x2sin41i令 ，则 ， ，于是 在 ， 内递减，在 ， 内递增xtsin20tty410(所以当 ，即 时， ；无最大值18cosi2xmin例 22：求函数 的最大值yin解析： )1sin2()(si1si2)(1si2n xxxx令 ，则 ，函数 在 ， 内递增所以在 ， 内也tx1si0tty00(是递增的当 ，即 时， 2t1sinxmaxy七、平方开方法例 23：已
12、知 、 是不相等的正数，求函数ab xb22sinco的最值x22cossin解析：因 、 是不相等的正数， 与 不能同时为，故 xcosin0yabbay2in4)(22当 时， ，1sin2x)(maxy)(2maxby当 时， ，0bin2 in八、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效例 24：求函数 的最值6cos31in4xy解析：将函数式变形为 ，只需求函数 的最值)2(s4i 2cos41inxu把 看成两点 ， ， ， 连线的斜率，( 即为单位圆上的点)，u2(A)41xBcoinB则当直线 为单位圆的切线时，其斜
13、率为最大或最小设过 点的单位圆的切线方程为 ，即 )2(41xky 0241kykx则圆心到切线的距离为 ，解得： ， 从而函数1|24|k31152最大值为 ；最小值为 3maxy 9)(4miny九、利用二次函数的性质例 25：设 ， 且 ，求当 、 为何值时，021xx取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值)48(log231yxu解析：由 ，得21yxyx2)14(log14)(8log23131 yu由 ， 且 可得 ，从而 (当 时0xyyx0y342y0y左边取“=”号， 时右边取“”号)，由对数函数的图象及其性质，即6当 、 时， ；当 、 时， 61xy)34(log1mi
14、nu21x0ymaxu例 26：求函数 的最值xcs2s3解析： 81)43(o1oc 2xy要使 有意义，必须有 ，即 cs32x0cosx故 当 时， ；当 (或 )时， .43cosx481maxy21x0miny例 27：求函数 的最值2cosin2解析： 221)(in)1(sxxy 因为 ，结合二次函数图象及其性质：|sin|x当 ， 时， ， (mmy43axy43in当 ， 时， ， 10m2i1当 ， 时， ， yaxminy当 ， 时， ， )43m43i十、放缩法例 28：若 、 、 ，且 ，则 的最大值是（ abRccba11cba）解析： 23)1(2同理， ， bc
15、c三式相加， 62323121 cbacba即 3c当且仅当 即 时取等号cba十一、导数法例 29：求函数 在 上的最值3)(23xxf ,解析： ，得0)1(12/ 13x或， ， ，7)31(f 4)(f 2)f 6f所以函数最大值为 36，最小值为 注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视例 30：求函数 的最值xxf612)(解析：函数的定义域为 , xf621)(/； ，又 是 上的连续函数510)(/ xxf 50/ f )(f6,故有 在 上递增，在 上递减 ， ，,6,)1(f552)(f故函数最大值为 ，最小值为当然，解最值问题的方法远远不止这些，例如，还有复合函数法，反函数法等等，这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳就是一道题目里面，有时也是几种方法并用，如例 7 就用到了换元法和单调性法，例 12 就用到了三角换元法和重要不等式法，例17 用导数法甚至更为简单解函数的最值问题，关键还在具体问题，具体分析，具体处理
