1、绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l去绝对值的符号法则： )0(a2绝对值基本性质非负性： ；0a ；b ；)0( ；22a ；b 3绝对值的几何意义从数轴上看， 表示数 的点到原点的距离 (长度，非负)； 表示数 、数 的两点间的距a bab离例题讲解【例 1】(1)已知 ， ， ，且 ，那么 12b3ccc(2)已知 是有理数， ， ，且 ，那么dca、 9a16d25dba b（3）已知
2、 ， ，那么 _ 5x1yyx（4）非零整数 、 满足 ，所有这样的整数组 共有_组mn05),(nm思路点拨 (1)由已知条件求出 的值，注意条件 的约束；(2)若注意到cba、 cba9+1625 这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对 ， 的取值进行xy分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把 5 拆分成两个正整数的和入手【例 2】 如果 cba、 是非零有理数，且 ，那么 的所0cabca有可能的值为( )A0 B 1 或 C2 或 D0 或2思路点拨 根据 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键ba、【例 3】已知 互为相反数，试求代数式：1与
3、的值1 1()(2)(205)()abababL思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出 的值ba、【例 4】化简(1) ； (2) ； (3) 12x31x12x思路点拨 (1)就 两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点 1，3 在同一02，数轴上表示出来，就 ，1x3，x3 三种情况进行讨论；(3)由，得 0x， ,xx，【例 5】已知 为有理数，那么代数式 的取值有没有最小a 4321aa值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由思路点拨 在有理数范围变化， 的值的符号也在变化，解本、例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式
4、子的最小值链接：我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段 、 是非负数的两种重要形式，非负数有如an2下常用性质：(1) 0，即非负数有最小值为 0；a(2)若 ，则hb 0hba形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为 0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤【例 6】已知 ，求 的最大36)1)(12)(1( zyx zyx32值和最小值 思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围基础训练1若有理数 、 满足
5、，则 xy2015()x01y2yx2已知 ， ，且 ，那么 = 5a3babb3已知有理数 在数轴上的对应位置如图所示： cba、则 化简后的结果是 c14若 、 为有理数，那么，下列判断中：(1)若 ，则一定有 ； (2)若baba，则一定有 ； (3)若 ，则一定有 ；(4)若 ，则一定baba有 正确的是 (填序号) 22)(5已知数轴上的三点 A、 B、 C 分别表示有理数 ，1， ，那么 表示( )a1aA A、 B 两点的距离 B A、 C 两点的距离C A、 B 两点到原点的距离之和 D A、 C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题)6已知 是任意有理数，则 的值是( )aa
6、A必大于零 B必小于零 C 必不大于零 D必不小于零7若 与 互为相反数，则 与 的大小关系是( )1b2)(abA B C Daba8如图，有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则在 ， ， ， ， 中，负数共有（ ） A 1 个 B2224个 C3 个 D4 个 9化简：(1) ； (2) 323x13xx10求满足 的非负整数对 的值 1ab),(ba11若 ，则 ；若 ，则 xx2a12能够使不等式 成立的 的取值范围是 0)(xl3 与 互为相反数，且 ，那么 ab54ba12ab14设 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且 ，则c、 cba可能取得的最大值是 15使代数式 的
7、值为正整数的 值是( )A正数 B负数 C零 D不存在的x43x-2 32ba1-1 016如果 ，则 等于（ ） A2 B3 C4 D502ba21ba17如果 ，那么代数式 在 的最小值是5p 15pxpx 1x（ ） A30 B0 C15 D一个与 有关的代数式18设 ， ，则 的值是（ ） cbaacbaacbA B1 C3 或 D 或 131319有理数 均不为零，且 ，设 ，c、 0bbaccbx试求代数式 的值2091x20若 为整数，且 ，求 的值cba、 1919acb cbac21已知 ，设 ，求 M 的最大值与最小值1,yx 421xyyxM22已知 ，02320321
8、0xxxx求代数式 的值20320x答案：1. 2.-2 或-8 3.1-2c+b 4.(4) 5.D 6.D 7.C 8.A3769.(1)原式= (2)原式=351()251()3xxx43(2)1213()5443()xxxx10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得 或|10ab|0ab11.-2-x、-1 12.x-1 提示:因xx,x-x0,故 1+x0.13. 提示:ab=-b 2=-b 2=- 14.16 15.D 4254516.B 提示:原式= 17.C 18.B|aa19.提示:a、b、c 中不能全同号,必一正二负或二正一负,得 a=-(b+c)
9、,b=-(c+a),c=-(a+b),即 =-1, =-1, =-1,abcca所以 , , 中必有两个同号 ,另一个符号与其相反 ,|即其值为两个+1,一个-1 或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904.20.提示:a、b、c 都为整数,则 a-b、c-a 均为整数,则a-b、c-a为两个非负整数,a-b 19+c-a 99=1,只能a-b 19=0 且c-a 99=1或a-b 19=1 且c-a 99=0,由得 a=b,且c-a=1,b-c=c-a=1;由得 c=a,且a-b=1,b-c=a-b=1,无论或,都有a-b+c-a=1,且b-c=1,故c-a+a-b+b-c=2.21.提示
10、:-1x1,-1y1,y+1=y+1,2y-x-4=4+x-2y,当 x+y0 时,M=5-2y,得 3M7;当 x+y0 时,M=2x+5,得 3M7;又当 x=-1,y=1 时,M=3;当 x=-1,y=-1 时,M=7,故 M 的最大值为 7,最小值为 3.22.由题意得:x 1=1,x2=2, ,x2003=2003,原式=2-2 2-23-22002+22003=22003-22002-23-22+2提高训练1计算： =_ 2143212代数式 的最小值为_ xx3已知 ，化简式子： 得_cba0 cbacba24若 、 、 、 为互不相等的有理数，且 那么d 1d_d5设 是有理数
11、，则 的值（ ） aaA可以是负数 B不可能是负数 C必是正数 D可以是正数，也可以是负数6已知 ，化简 所得的结果是_m217若 ， ，那么 的绝对值等于 _3a5bba8有理数 、 、 的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ） cA B C D0ccaacb9已知 ，且 、 、 都不等于 0，求 的所有可能值abcaxcx10已知 、 、 满足 ，且 ，则代数式 的b)()(abcba值为_ 11若有理数 、 、 满足 ，则 =_mnp1pnmnp3212设 、 、 是不为零的有理数，那么 的值有（ ） abc cbaxA3 种 B4 种 C5 种 D6 种 13如图，已知数轴上的点 A、 B、 C 所对应的数 、 、 都不为零，且 C 是 AB 的中点如果 ，那么原点 的位置在（ ） 022ccbab OA线段 AC 上 B线段 CA 的延长线上 C线段 BC 上 D线段 CB 的延长线上cba 0BCAc ba14若 ，则 等于（ ） 2xxy1A B C D 15已知 、 、 、 是有理数， ， ，且 ，求abcd9ba16dc25dcba的值 16在数轴上把坐标为 1,2,3，2006 的点称为标点，一只青蛙从点 1 出发，经过 2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由
