1、12.4.2 向量在物理中的应用5 分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列各量中是向量的是（ ）A.密度 B.体积 C.电流强度 D.重力解析：利用物理定义及向量的定义.答案：D2.已知两个力 F1、F 2的夹角为 90，它们的合力大小为 10 N，合力与 F1的夹角为 60，则 F1的大小为（ ）A. 35N B.5 N C.10 N D. 25N解析：|F 1|=|F|cos60=5.答案：B3.已知两个粒子 A、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 va=(4，3)，vb=(3，4)，则 va在 vb上的正射影为_.解析：由题知 va与 vb的夹角 的余弦值为 cos=
2、 2541.v a在 vb上的正射影为|v a|cos=5 254= .答案： 5244.一条河的两岸平行，河的宽度 d=500 m，一艘船从 A 处出发到河对岸(如图 2-4-3).已知船的速度|v 1|=10 km/h，水流速度|v 2|=2 km/h，问行驶最短航程时，所用时间是多少?为什么?图 2-4-3解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶的航程最短，所用时间最短.考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸，如下图.|v|= 221|v9.8 km/h，=90+arccos |1v10428.所以 t= 8.950|
3、d3.1 min.210 分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.某人先位移向量 a：“向东走 3 km， ”接着再位移向量 b：“向北走 3 km， ”则 a+b 为（ ）A.向东南走 23 km B.向东北走 2 kmC.向东南走 km D.向东北走 3 km解析：由图知|a+b|= km.答案：B2.在重 600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30、60，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A. 30, B.150，150C. ，300 D.300， 30解析：作 AOACB，使AOC=30，BOC=60，在OAC 中，ACO=BOC=60，OAC=90，|OA|=|
4、 C|cos30= 30N,| |=| |sin30=300 N| B|=| |=300 N.答案：C3.一条渔船距对岸 4 km，以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为 8 km，则河水的流速为（ ）A. 32 km/h B.2 km/h C. 3 km/h D.3 km/h3解析：如图，设河水流速大小为 v1，实际航向与水流方向的夹角为 ，则 sin= 84= 21，所以 =30，v 1= 320tankm/h，即水流速度大小为 32km/h.答案：A4.已知向量 1OF=(4，-5)， 2=(-7，9)分别表示两个力 f1、f 2，则 f1+f2的大小
5、为_.解析：f 1+f2= 1+ 2=(-3，4)，|f 1+f2|= 43=5.答案：55.如图 2-4-4,甲表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 GC 的方向伸长了 EO；图乙表示撤去F1和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线方向伸长相同的长度.改变力 F1与 F2的大小和方向，重复以上实验，可以得到 F 与 F1、F 2的关系为_.图 2-4-4解析：由向量的加法可得 F=F1+F2，如图，实验验证了向量加法在力的分解中的应用.答案：F=F 1+F26.一自行车以 6 m/s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南 方向吹来，试求：
6、(1)风相对于车的速度；(2)风相对于地面的速度.解：按相对速度概念，作速度向量如图，已知|v 车地 |=6 m/s，方向为正北，v 风车 与 v 风地 的夹角为 6.由此可知4(1)风相对于车(即人)的速度的大小为|v 风车 |=|v 车地 |cot 6= 3m/s.(2)风相对于地面的速度大小为|v 风地 |= sin|车 地v=12 m/s.30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.用力 f 推动一物体水平运动 s m，设 f 与水平面夹角为 ，则它所做的功是( )A.fscos B.fs C.-|f|scos D.|f|s|cos解析：W=|f|s|cos.答案：D2.所受重力为 G
7、 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平地面上拖走.若物体与地面滑动系数 U= 3，那么绳子与地面所成角 =_时，所用拉力最少.（ ）A.30 B.60 C.90 D.45解析：Fcos= (G-Fsin)，F= )60sin(2co3sinG，当 =30时，F 取最小值其最小值为 2G.答案：A3.已知作用在坐标原点的一个力 F1=(3，4)，F 2=(2，-5)，F 3=(3，1)，则作用在原点的合力 F1+F2+F3的坐标为（ ）A.(4，0) B.(8，0) C.(0，8) D.(6，2)解析：F 1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0).答案：B4.一架飞机向
8、北飞行 300 km 后改变航向向西飞行 300 km，则飞行路程为_，两次位移和的方向为_，大小为_.( )A.300 km，北偏东 45， 230km B.600 km，南偏东 45， 230kmC.600 km，北偏西 45， km D. 230km，北偏东 45，300 km解析：路程为 300+300=600 km，可按平形四边形(如图)作出位移及方向，知| AC|=230km，而BAC=45.5答案：C5.在静水中划船速度为每分钟 40 m，水流速度为每分钟 20 m，如果船从岸边 A 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船应该沿上游与河岸夹角为_的方向前进.（ ）A.30
9、B.60 C.90 D.45解析：设水速对应向量 AB，则| |=20 m，静水中船速对应向量 D，则| |=40 m，而 AD+ = C，由题意知ADC 为直角三角形，sinDAC= 2140|.DAC=30.船沿上游与河岸夹角为 60方向前进.答案：B6.(2006 高考辽宁卷，12)设 O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点 P 是线段 AB 上的一个动点，AP= .若 O AB P ,则实数 的取值范围是（ ）A. 211 B. 211C. 2 D. 1+ 2解析：由 AP= B，可得 P 点坐标为(1-,)，若 OP AB P,可得(1-)(-1)+(-1)+(-)(1-)，即
10、 2 2-4+1=0，得 1- 21+ 2.同时因为点 P 在线段 AB 上，所以 01.所以 1- 21.答案：B7.用两条成 120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的拉力6大小为_.解析：由题意，知AOB=COB=60，| OB|=10，| A|=| C|=10.答案：10 N8.质量为 m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，则斜面对于物体的摩擦力 f 的大小为_ N.解析：物体受三个力：重力 g，斜面对物体的支持力 p，摩擦力 f.由于物体静止，+f+p=0，设垂直于斜面斜下方、大小为 1 N 的力为 e1，沿斜面下降方向、大小为 1 N的力为
11、 e2，以 e1，e 2为基底，写出涉及三个力的坐标，则 p=(-p，0)，f=(0，f)，G=(mgcos，mgsin),+f+p=(mgcos-p，mgsin-f)=(0，0),故 mgsin-f=0，f=mgsin(N).答案：mgsin9.如图 2-4-5，用两根绳子把重 10 kg 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上,ACW=150，BCW=120,求 A 和 B 处所受力的大小(忽略绳子的重量).图 2-4-5解：设 A、B 处所受力分别为 f1、f 2，10 kg 的重力用 f 表示，则 f1+f2=f.以重力作用点 C为 f1、f 2的始点作平行四边形 CFWE，使 CW 为对
12、角线，则 CF=f2， E=f1， W=f,ECW=180-150=30，FCW=180-120=60，FCE=90.四边形 CEWF 为矩形.| CE|=| W|cos30=10 23=5，| |=| N|cos60=10 2=5.A 处所受力为 35 kg，B 处所受力为 5 kg.710.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图 2-4-6 所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 32 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.图 2-4-6(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水
13、速度间的夹角表示).解：(1)如图所示， AD表示船速， B表示水速，以 AD、AB 为邻边作 AABCD，则 C表示船实际航行的速度.(2)在 RtABC 中，| AB|=2，| C|= 32，| AC|= 22 )(| =4.tanCAB= 3.CAB=60.11.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?并请同学们思考下面的问题：(1) 为何值时，|F 1|最小，最小值是多少?(2) 为何值时，|F 1|=|G|?(3)如果|F|=588 N，|G|=882 N， 在什么范围时，绳子才不会断?解：如图，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F|= 2cos|.8通过上面的式子，我们发现：当 由 0到 180逐渐增大时， 2由 0到 90逐渐变大，cos 2的值由大逐渐变小，因此 F 由小逐渐变大，即 F1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.由三角函数及表达式得：(1)=0 时，|F 1|最小，这时|F 1|= |G；(2)=120时，|F 1|=|G|；(3)082.
