1、分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占
2、有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类” 。一、分类讨论的几个注意点1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。例 1、设 为实常数，问方程 表示的曲线是k )4(8)4()8(22 kykx何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于 的取值，可对 分以下三种情形
3、讨论：（1）当 时，方程变为 ，表示直线；k40,42x即（2）当 时，方程变为 ，表示直线；82y即（3）当 时，方程变为 ，又有以下五种情形讨4k且 1842kx论：当 时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的双曲线；y当 时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的椭圆；64k x当 时，方程表示圆心在圆点的圆；当 时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的椭圆；8y当 时，方程表示中心在原点，焦点在 轴上的双曲线k x解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数 进行分类。2. 掌握分类讨论的标准凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具
4、体情况选择分类的标准。例 2、设一双曲线的两条渐近线方程为 2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线 y=3 时，双曲线的方程可改为1)3()(22byax，一条渐近线的斜率为 ， b=2.2ab .52ace（2）当双曲线的焦点在直线 x=1 时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为 ，此时 .ba25e综上（1） （2）可知，双曲线的离心率等于 .25或3. 找准分类讨论的界点将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值” ，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底
5、 a，常分 01 两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为进行讨论等等，具体的问题具体分析。例 3、解不等式 0 (a 为常数，a )()xa462112分析：含参数的不等式，参数 a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、 0 时，a ； 4a0 。所以分以下四种情况讨论：12当 a0 时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当 a0 时，x 0，解得：x0；2当 0，解得: x4a；12当 a 时，(x4a)(x 6a)0 时，x6a；当 a0 时，x0；当 4a；当 a 时，6a0 或 a1，则等价于(x )(x2)
6、0.a-2a-1又2 10， 2a-2a-1 1a-1 a-2a-1原不等式的解集为；(， )（2,） ；a-2a-1若 a2，原不等式的解集为(2， ).a-2a-1 a-2a-1当 a1 时，原不等式的解集为；(， )（2,）.a-2a-1本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分 a1 和 a1，在 a1 时，又需要讨论两个根 2 与 的大小，又分为三类，即 a0，a=0 和 0a1.a-2a-16、排列组合中分类讨论问题例 10、四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？解析：现在按男孩甲前面的男
7、、女孩数来分类.第一类，甲前面有 2 个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有A A (种)；234第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：C C A A (种)；131324第三类，甲前面仅有一个女孩，有：A A (种)；135满足条件的站法为：A A +C C A A +A A =936(种).234 131324 135三、对有关分类讨论的高考试题发展趋势的估计全国和各地的高考试卷中有关分类讨论的问题必将继续出现，且在选择、填空和解答题中都有可能出现。有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等内容相结合。因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，须引起重视。参考文献:例谈分类讨论的类型与解题策略 杨自西分类讨论思想的应用 徐茂如再议“用分类讨论的思想”解决高考题 金小欣
