1、 淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017 届高三（下）数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1 （5 分）已知全集 I=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，3，5，B=2，3，6，则（ IA）B= 2 （5 分）复数 1+ 的实部为 3 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 4 （5 分）某校在市统测后，从高三年级的 1000 名学生中随机抽出100 名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示则估计该校高三学生中数学
2、成绩在110，140）之间的人数为 5 （5 分）若双曲线 =1 的一条渐近线过点（2，1） ，则双曲线的离心率为 6 （5 分）现有 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片，它们大小和颜色完全相同从中随机抽取 2 张组成两位数，则两位数为偶数的概率为 7 （5 分）已知点 P（x ，y ）满足 ，则 z= 的最大值为 8 （5 分）设正项等比数列a n满足 2a5=a3a4若存在两项 an、a m，使得 a1=4 ，则 m+n 的值为 9 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 AA1 中点，Q 为 CC1 的中点，AB=2，则三棱锥 BPQD 的体积为 10 （5
3、 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x22x+1，不等式 f（x 23）f （2x）的解集用区间表示为 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 xy+m=0（m0）与圆x2+y2=8 交于不同的两点 A，B，若圆上存在点 C，使得ABC 为等边三角形，则正数 m 的值为 12 （5 分）已知 P 是曲线 y= x2 lnx 上的动点，Q 是直线 y= x1上的动点，则 PQ 的最小值为 13 （5 分）矩形 ABCD 中，P 为矩形 ABCD 所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4矩形对角线 AC=6，则 = 14 （5 分）在ABC 中，若
4、 + =3，则 sinA 的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （14 分）已知 f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1（1）求 f（x）的最大值，以及该函数取最大值时 x 的取值集合；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长，且a=1，b= ，f（A）=2，求角 C淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 16 （14 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，每条棱长均相等，D为棱 AB 的中点，E 为侧棱 CC1 的中点（1）求证：OD平面 A1BE
5、；（2）求证：AB 1平面 A1BE17 （14 分）如图，已知椭圆 C： =1（ab0）过点（0，1）和（1， ） ，圆 O：x 2+y2=b2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l 与圆 O 相切，切点在第一象限内，且直线 l 与椭圆 C交于 A、B 两点，OAB 的面积为 时，求直线 l 的方程18 （16 分）如图，在某商业区周边有两条公路 l1 和 l2，在点 O 处交汇；该商业区为圆心角 、半径 3km 的扇形现规划在该商业区外修建一条公路 AB，与 l1，l 2 分别交于 A，B，要求 AB 与扇形弧相切，切点 T 不在 l1，l 2 上（1）设 OA=akm，OB=bk
6、m 试用 a，b 表示新建公路 AB 的长度，求出 a，b 满足的关系式，并写出 a，b 的范围；（2）设AOT= ，试用 表示新建公路 AB 的长度，并且确定 A，B的位置，使得新建公路 AB 的长度最短淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 19 （16 分）设 a0 且 a1 函数 f（x ）=a x+x2xlnaa（1）当 a=e 时，求函数 f（x）的单调区间；（其中 e 为自然对数的底数）（2）求函数 f（x ）的最小值；（3）指出函数 f（x ）的零点个数，并说明理由20 （16 分）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 3，则称这个数列为“S 型数列
7、”（1）已知数列a n满足 a1=4，a 2=8，a n+an1=8n4（n2，nN *） ，求证：数列a n是“ S 型数列” ；（2）已知等比数列a n的首项与公比 q 均为正整数，且a n为“S 型数列”，记 bn= an，当数列b n不是“S 型数列” 时，求数列a n的通项公式；（3）是否存在一个正项数列c n是“ S 型数列”，当 c2=9，且对任意大于等于 2 的自然数 n 都满足（ ） （2+ ） + （ ） （2+ ）？如果存在，给出数列 cn的一个通项公式（不必证明） ；如果不存在，请说明理由选修 4-1：几何证明选讲21 （10 分）如图，A，B，C 是圆 O 上不共线的
8、三点，OD AB 于D，BC 和 AC 分别交 DO 的延长线于 P 和 Q，求证：OBP=CQP选修 4-2：矩阵与变换22已知 a，bR，矩阵 A= ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1= ，属于特征值 5 的一个特征向量为 2= 求矩阵A，并写出 A 的逆矩阵选修 4-4：坐标系与参数方程23已知在极坐标系下，圆 C：p=2cos（ ）与直线 l： sin（）= ，点 M 为圆 C 上的动点求点 M 到直线 l 距离的最大淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 值选修 4-5：不等式选讲24已知 x，y，z 均为正数求证： 三、解答题（共 2 小题，满分 10 分
9、）25如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，AB=2，AA 1=1，直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30，AE 垂直 BD 于点 E，F 为 A1B1 的中点（1）求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值；（2）求平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成二面角（锐角）的余弦值26 （10 分）设集合 S=1，2，3，n（n5，nN *） ，集合A=a1，a 2，a 3满足 a1a 2a 3 且 a3a22，AS（1）若 n=6，求满足条件的集合 A 的个数；（2）对任意的满足条件的 n 及 A，求集合 A 的个数淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 【参考答案
10、】一、填空题12，6【解析】因为全集 I=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，3，5，所以 IA=2，4，6，又 B=2，3，6，则（ IA）B=2，6，故答案是：2，62【解析】1+ = ，则复数 1+ 的实部为： 故答案为： 36 【解析】模拟程序的运行，可得 n=1，执行循环体，n=2不满足条件 422017，执行循环体，n=3不满足条件 432017，执行循环体，n=4不满足条件 442017，执行循环体，n=5不满足条件 452017，执行循环体，n=6满足条件 462017，退出循环，输出 n 的值为 6故答案为：64 660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成
11、绩在110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）10=0.66，估计该校高三学生中数学成绩在110，140）之间的人数为：10000.66=660故答案为：6605【解析】双曲线 =1 的一条渐近线过点（2，1） ，可得 a=2b，即：a 2=4b2=4c24a2，e 1，解得 e= 故答案为： ；6【解析】从这 5 张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共 20 个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共 8
12、个，故两位数是偶数的概率是 故答案为7 3【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由 z= 表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得 A（1，3） ，显然直线过 A（1，3）时，z 取得最大值，z= =3，故答案为：386【解析】正项等比数列a n满足 2a5=a3a4则 2a3q2=a3（1q） ，可得 2q2+q1=0，q1，解得 q= 若存在两项 an、a m，使得 a1=4 ，a 1=4 ，淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 n+m =6故答案为：69【解析】如图，连接 PQ，则 PQAC，取 PQ 中点 G，连接 BG，DG，可得 BGPQ ，DGP
13、Q ，又 BGDG =G，则 PQ平面 BGD，在 Rt BPG 中，由 BP= ，PG = ，可得 BG= ，同理可得 DG= ，则BDG 边 BD 上的高为 ， ，则 故答案为： 10 （1 ，3）【解析】根据题意，f（x ）是定义在 R 上的奇函数，则有 f（0）=0，当 x0 时，f（ x）=x 22x+1=（x 1） 2，为减函数，则当 x0 时，f（x）也为减函数，综合可得 f（x）在 R 上为减函数，若 f（x 23）f（2x） ，则有 x232x ，解可得1x3，即不等式 f（x 23）f（2x）的解集为（1，3） ，故答案为：（1，3） 112【解析】根据题意画出图形，连接
14、OA，OB ，作 OD 垂直于 AB 于 D点，因为ABC 为等边三角形，所以AOB=120，由余弦定理知：AB=2，故 BD= ，所以 OD= ，所以 O（0，0）到直线 AB 的距离 = ，解得 m=2，m 是正数，m 的值为 2故答案为 212【解析】函数的定义域为（0，+） ，由 y= x2 lnx 的导数为 y= x ，令 x = ，可得 x=2，所以切点为（2，1 ln2） ，它到直线 y= x1 即 3x4y4=0 的距离 d= = 即点 P 到直线 y= x1 的距离的最小值为 故答案为： 13【解析】由题意可得 =（ + ） （ + ）= + +=9+ （ + ）+0=9 +
15、 =9+36cos（PAC）=918淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 =918 = ，故答案为： 14【解析】在ABC 中， + =3， ，即 ， 根据正弦定理得： a 2=3bccosA又根据余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA，b 2+c22bccosA=3bccosA 当且仅当 b=c 时等号成立， ，即 ， 故答案为：二、解答题15解：（1）f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+cos2x=22当 =1，即 2x+ = +2k，解得 x=k+ ，kZ 时取等号f（x）的最大值为 2，该函数取最大值时 x 的取值集合为x|x=k+，kZ（
16、2）f（A）=2，2sin =2，解得 A=k+ ，kZab，A 为锐角，A= 由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA，1 2= +c22 c ，化为： c+1=0，解得 c= 由正弦定理可得： ，可得 sinC= = = C=15，75 ，或 10516解：（1）设 AB1 和 A1B 的交点为 O，连接 EO，连接 OD，因为O 为 AB1 的中点， D 为 AB 的中点，所以 ODBB 1，且 又E 是 CC1 中点，则 ECBB 1且 ，所以 ECOD 且 EC=OD所以四边形 ECDO 为平行四边形，所以 EOCD又 CD平面 A1BE，EO 平面 A1BE，则 CD平面
17、A1BE（2）因为正三棱柱，所以 BB1平面 ABC因为 CD平面 ABC，所以 BB1CD由已知得 AB=BC=AC，所以 CDAB所以 CD平面 A1ABB1 由（1）可知 EOCD，所以 EO 平面A1ABB1 所以 EOAB 1因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以 AB1A 1B又 EOA 1B=O，EO 平面 A1EB，A 1B平面 A1EB所以 AB1平面 A1BE淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 17解：（1） ，椭圆方程为：（2）因为切点在第一象限，可设直线 l 为 y=kx+m（k0，m0） ，联立方程 ，得 （x 1，x 2 分别为 A、B 横坐标
18、）AB 长：=m= = ，直线 l 为18解：（1）在AOB 中，OA=akm，OB=bkm， ；由余弦定理得：=a2+b2ab；所以 ；如图，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 ，所以直线 AB 的方程为 ，即 ；因为 AB 与扇形弧相切，所以 ，即 ；a，b（3，6）（2）因为 OT 是圆 O 的切线，所以 OTAB在 Rt OTA 中，AT=3tan ；在 Rt OTB 中， ；所以，AB=AT+ TB=3tan+3tan（ ） （0 ） ；所以，AB=3（tan + ）= ； 设 ，u（1，4） ，则 ，当且仅当 u=2，即 时取等号；此时 km所以，当 km
19、 时，新建公路 AB 的长度最短19解：（1）当 a=e 时，f（x）=e x+x2xe，f（x）=e x+2x1设 g（x）=e x+2x1，则 g（0） =0，且 g（x）=e x+20所以，g（x）在（，+）上单增，当 x0 时，g（x ）g（0）=0；当 x0 时，g（x）g（0）=0淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 即 当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f （x ）0综上，函数 f（x ）的单增区间是（0，+） ，单减区间是（ ，0） （2）f（x ）= axlna+2xlna=（a x1）lna+2x当 a1，若 x0，则 ax1，ln a0，所以 f（x）0
20、若 x0，则 ax1，lna0，所以 f（x）0当 0a1，若 x0，则 ax1，ln a0，所以 f（x）0若 x0，则 ax1，lna0，所以 f（x）0，所以 f（x）在（ ，0）上减， （0，+）上增所以 f（x） min=f（0）=1 a，（3）由（2）得：a0，a1，f（x ） min=1a（）若 1a 0 即 0a1 时，f （x） min=1a0，函数 f（x）不存在零点（）若 1a 0 即 a1 时， f（x） min=1a0f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（ ， 0）上单减，在（0，+）上单增f（a）=a a+a2alnaaa 2alnaa=a（a lna1
21、） 令 t（a）=alna1， （a1） ， ，所以 t（a）在（1，+）递增；所以 t（a）t（1）=0所以 f（a）0故 f（x）在（0，a）有一个零点又 f（a ）a 2a0，故 f（x）在（a，0）有一个零点 所以 f（x）在（ ，0）和（0，+）各有一个零点，即 f（x）有 2个零点综上：0a1 时，函数 f（x ）不存在零点；a1 时，函数f（x）有 2 个零点20 （1）证明：由题意，a n+1+an=8n+4 ，a n+an1=8n4 ， 得 an+1an1=8 所以 a2n=8n，a 2n1=8n4，因此 an=4n，从而 anan1=43所以，数列a n是“ S 型数列”（
22、2）由题意可知 a11，且 anan1=43，因此a n单调递增且 q2而（a nan1）（ an1an2）=a n1（q1） an2（q1）=（q1） （a n1an2）0所以a nan1单调递增，又 bn= an，因此b nbn1单调递增 又b n不是“S 型数列 ”所以，存在 n0，使得 3，所以 b2b1 3，即 a1（q1） 4 又因为 a2a1 3，即 a1（q1）3 且 a1，qN +，所以 a1（q1） =4从而 a1=4，q=2 或 a1=2，q=3 或 a1=1，q=5a n=2n+1 或 或（3）可取 an=（n+ 1） 2，验证符合（ ） （2+ ） + （ ）（2+
23、）条件，而且 anan1=2n+13 21证明：连接 OA，因为 ODAB，OA =OB，所以，又 ，所以ACB= DOB，又因为BOP=180 DOP ，QCP=180 ACB ，所以BOP=QCP，所以 B，O ，C，Q 四点共圆，所以OBP=CQP22解：由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1= ，淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 得： = ，3ab=3，由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 2= ，得： ，a+b=5，解得 ，即 A= A 的逆矩阵 A1= 23解：圆 C：p=2cos（ ） 即 x2+y2+2y=0，x 2+（y +1） 2=1，表示
24、圆心为（0，1） ，半径等于 1 的圆直线 l：sin（ ）= ，即 cos+sin2=0，即 x+y2=0，圆心到直线的距离等于 = ，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于 +124证明：因为 x，y ，z 都是为正数，所以 同理可得当且仅当 x=y=z 时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得：三、解答题25解：（1）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AA 1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图由已知 AB=2，AA 1=1，可得 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，F（1，0，1） 又
25、AD平面 AA1B1B，从而 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为DBA=30又 AB=2，AEBD ，AE=1，AD = ，由已知得得 E（ ， ，0） ，D（0， ，0）=（ 1，0，1） ， ，即异面直线 AE、BF 所成的角的余弦值为 （2）平面 AA1B 的一个法向量为 =（0，1，0） 设 =（x，y， z）是平面 BDF 的一个法向量，由 ，取 所以 cos = 平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成二面角（锐角）的余弦值为 26解：（1）n=6 时，S= 1，2，3，4，5，6；a 3a2 2；a 3a2=2，或 a3a2=1；当 a3a2=2 时，a 2 和 a3 可分别
26、为 2 和 4，3 和 5，4 和 6；此时对应的 a1 分别有 1 个，2 个和 3 个；淘出优秀的你 联系电话：4000-916-716 当 a3a2=1 时，a 2 和 a3 可分别取 2 和 3，3 和 4，4 和 5，5 和 6；对应的 a1 分别有 1 个，2 个，3 个和 4 个；集合 A 的个数=1+ 2+3+1+2+3+4=16 个；（2）当 n5 时，若 a3a2=2，则 a2 和 a3 可分别为 2 和 4，3 和 5，n2 和 n；此时，对应的 a1 可分别为 1 个，2 个，n3 个，共有个；同理，a 3a2=1 时，a 1 共有 个；集合 A 的个数为：= =（n2） 2，n5，nN *
