1、2.1.4 两条直线的交点,第2章 2.1 直线与方程,学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线的交点与直线的方程组解的关系,思考 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？,答案 (1)若方程组无解，则l1l2； (2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交； (3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.,梳理 (1)两直线的交点,A1aB1bC10,(2)两直线的位置关系
2、,无解,无数个,平行,相交,思考辨析 判断正误 1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( ) 2.无论m为何值，xy10与x2my30必相交.( ),题型探究,命题角度1 代数法判断两直线的位置关系 例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2xy7和l2：3x2y70；,类型一 两直线的交点问题,解答,因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1).,(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；,解答,这表明直线l1和l2重合.,(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.,这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.,反思与感悟
3、 两条直线相交的判定方法,跟踪训练1 直线y2x与直线xy3的交点坐标是_.,(1,2),答案,解析,所以两直线的交点坐标为(1,2).,命题角度2 根据交点求参数的值或其范围 例2 已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_.,答案,解析,引申探究 若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？,解答,反思与感悟 求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.,跟踪训练2 若直线l1：ykxk2与l2：y2x4的交点在第一象限， 则实数k的取值范围是
4、_.,答案,解析,类型二 求过两条直线交点的直线方程,例3 求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.,解答,又所求直线与直线3xy10平行， 所以所求直线的斜率为3.,即15x5y160.,方法二 设所求直线方程为 (2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0. (*) 由于所求直线与直线3xy10平行，,代入(*)式，,即15x5y160.,引申探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.,解答,解 设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0， 由于所求直线与直线3xy10垂直， 所以3(2)(3)10，解得
5、 ， 所以所求直线方程为5x15y180.,反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.,跟踪训练3 直线l经过原点，且经过另外两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为_.,2xy0,解析 设所求直线方程为2x3y8(xy1)0， 即(2)x(3)y80， 因为l过原点，所以8. 则所求直线方程为2xy0.,答案,解析,例4 求证：不论m取什么
6、实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.,类型三 直线恒过定点问题,证明,证明 方法一 对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110； 令m1，得x4y100.,得两条直线的交点坐标为(2，3). 将点(2，3)代入直线，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0. 这表明不论m取什么实数， 所给直线均经过定点(2，3).,方法二 将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.,所以不论m取什么实数， 所给直线均经过定点(2，3).,反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋
7、两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点 可由方程组 解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0).,跟踪训练4 不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_.,答案,解析,(9，4),解析 方法一 取m1，得直线y4. 取m ，得直线x9. 故两直线的交点为(9，4)， 下面验证直线(m1)x(2m1)ym5恒过点(9，4). 将x9，y4代入方程，
8、左边(m1)94(2m1)m5右边，故直线恒过定点(9，4). 方法二 直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0， 对任意m该方程恒成立，故直线恒过定点(9，4).,达标检测,答案,解析,1.已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知直线y2x10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_.,1,2,3,4,5,由题意知yax2过点(9，8)，,答案,解析,解析 由题意可知m(x1)y0.,1,2,3,4,5,故不论m取什么实数，直线mxym0都过定点(1,0).,3.不论m取什么实数，直线mxym0都过定点的坐标为_.,(
9、1,0),答案,解析,4.下列各组直线中，两直线相交的为_.(填序号) yx2和y1； xy10和yx5； xmy10(m2)和x2y10； 2x3y10和4x6y10.,1,2,3,4,5,解析 两直线显然相交； 两直线平行； 直线xmy10过点(1,0)，直线x2y10过点(1,0)，故两直线相交； 两直线平行.,1,2,3,4,5,5.直线l过直线2xy40与x3y50的交点，且垂直于直线x2y0，则直线l的方程是_.,10x5y80,答案,解析,1.方程组 有唯一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10. 2.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线A1xB1yC10与A2xB2yC20交点的直线，不包括直线A2xB2yC20.,规律与方法,
