1、1汕头市澄海凤翔中学 2016 届高三上学期第二次阶段考试数学（理科）注意：本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 ）1、已知集合 ， ，则 （ ）23x12xA B C D2,31,32、复数 为纯虚数，若 （ 为虚数单位） ，则实数 的值是（ ）zizai aA B C D13313、已知向量 ， ， ，若 与 共线，则 的值是（ ,1a0,b,3ck2bck）A B C D1 24、下列命
2、题，真命题是（ ）A 的充要条件是 B ，0ab1abRxxeC ， D若 为假，则 为假Rxpqpq5、已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则 的渐近线方程是:2xya0a52C（ ）A B C D14yx13yxyx1yx6、在递增的等比数列 中，已知 ， ，且na134na264na前 项和为 ，则 （ ）n2nSA B C D57、执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值是（ ）8xyA B C D 34125238、已知直线 与曲线 相切，则 的值是（ ）yxlnyxaA B C D1 129、若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，sicosf y则 的最小正
3、值是（ ）A B C D843834210、已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 的正方形，如图1所示，则它的体积是（ ）A B163C D235611、已知以 为焦点的抛物线 上的两点 ， 满足F24yxA，则弦 中点到准线的距离是（ ）A B C D83 435312、已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当Ryfx1fxfx时， ，则函数 的零点个数是（ ）01xfxlngfA B C D2345二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 ）13、设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是xy236yx2zxy14、设 ，则 展开式的常数项是 20si
4、naxd62ax15、已知 的三个顶点在以 为球心的球面上，且 ， ，CAC90AC2球心 到平面 的距离为 ，则球 的表面积是 116、 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，abc2ab6则 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 ）17、 （本小题满分 12 分）已知正项等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，nnS7321537a求数列 的通项公式；n若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 b1a11nnbanbn18、（本小题满分 12 分）从广东省某市高三第二次模拟考试成绩中，随机抽取了 名学60生的数学成绩得到频率分布直方图如
5、图所示3根据频率分布直方图，估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分；1以上述样本的频率作为概率，从该市高三学生中有放回地抽取 人，记抽到的学生数2 3学成绩不低于 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望9019、 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， ， 分别为 和 的1CAD1CA中点， ，侧面 为菱形且 ，11DCA160， 2证明：直线 平面 ；/求二面角 的余弦值120、 （本小题满分 12 分）已知椭圆的一个顶点为，焦点在 轴上若右焦点到直线 的距离为 0,1Ax20xy3求椭圆的方程；设椭圆与直线 （ ）相交于不同的两点 、 当 时，2ykm0A求 的取值范围m21、 （
6、本小题满分 12 分）设函数 ，其中 1lnfxaxRa当 时，求函数 的极值；1af若 ， 成立，求 的取值范围20x请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22、 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 的外接圆为 ，延长 至 ，再延长 至 ，CA:CQA使得 2Q求证： 是 的切线；1若 恰好为 的平分线， ， ，求10A5的长度423、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （其中 为参数） 现以坐标原l24xtyt点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标
7、方程为 x C2cos写出直线 和曲线 的普通方程；1lC已知点 为曲线 上的动点，求 到直线 的距离的最大值2l24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 fxa当 时，解不等式 ；12a162fx若关于 的不等式 的解集为 ，求证： 0,2fxfa5数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A A C D D B B C D A B二、填空题13、 14、 15、 16、9160123三、解答题17、解： 法一：设正项等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1d0na则 2 分2114()7263ada得 4 分13
8、d6 分()21nan法二： 是等差数列且 ， ，nQ2537a237a又 2 分30,7， 3 分174()62aS494 分43d6 分()1ndn，且 ，21nbaQ2123nb当 时，121()()()nbbL8 分5当 时， 满足上式， 9 分13()n10 分1()(2)2nb121nTbL11()()()()3432nnL612 分1131()()2242nn18、解： 由频率分布直方图得：估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分为0.540.7506.7508.1504 分1221492样本中数学成绩不低于 分的频率为96 分从该市高三学生中随机抽取 人，数学成绩不低于 分
9、的概率为 7 分0.6由题意得： 3,0.6: （ ， ， ， ）3C4kk0123 的分布列为： 012.64.80.43.1610分的数学期望为 12 分.619、 ，且 为中点，11ADC12AD 5又 1,2B 又 ， 平面1ACB1A取 中点 ，则 ，即 两两互相垂直F1,FB以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系如图 3 分B1,xyz 41 1113(2,0)(,)(,30),(,)(2,0)(,)(,0)2ACDM分设平面 的法向量为 ，则 ，BC(,)xyzmBAxyBCzm取 ， ，(3,10)m132MD302 ，又 平面 ，直线 平面 7 分ABCD设平面 的法向
10、量为 ，21AC1(,)xyzn1(,3),(2,)A C 1A1 B1FMDBA C xy z7， ， 取 9 分1130ACxyzm10Axm(,13)n又由 知平面 的法向量 为 ，设二面角 为 10 分B(3,)1BAC二面角 为锐角，1cos|24二面角 的余弦值为 12 分1AC420、解： ，右焦点坐标 ，则b(,0)c|0|32c得 或 （舍去）2c5则 ，椭圆方程： 5 分13a213xy2222(1)6303ykxmkkm212163,xxkk21223my由 ，得 7 分021k由 ，则 中点 有|AMN,EAMN22331AEmkk1，得 12m2213AEMNkkk则
11、 ，得： 10 分21m0m综上可得 ，即为所求 12 分21、解： 当 时，a()1)ln()fxx1 分21()2fxx00f或81()002fxx在 和 上单调增，在 上单调减3 分,)(,)1(,0)24 分123()=(-ln40fxf极 大极 小设函数 ， ，都有 成立.2()l)()fxax0()0fx即 2ln1xa当 时， 恒成立l0当 时， ，22ln(1)0xa当 时， ， ；由 均有 成立01x202l0xln(1)x故当 时， ，则只需2ln()1x(,)a当 时， ，则需 ，即01x2l,101a综上可知对于 ，都有 成立，只需 即可0()0fx故所求 的取值范围是
12、 12 分a1a另解：设函数 ， ，要使2()ln)()fx(0f0x都有 成立，只需函数 在 上单调递增即可0ffx,于是只需 ， 成立1()()fa 当 时， ，令 ，12x()2ax10xt2()(,0)3)gtt则 ；当 时， ；当 ，013f 21(ax令 ， 关于 单调递增，则21(,)xt()gt(1,0)t2()1(3gt则 ，于是1a0a又当 时， ，所以函数 在 单调递减，而2(),0gx()fx20,)(0)f9则当 时， ，不符合题意2(0,)x()0fx当 时，设 ，当 时aln1h(0,)x1(0xhx在 单调递增，因此当 时()hx,)0,ln()于是 ，当 时，
13、22()()fxa1a2ax此时 ，不符合题意()0综上所述， 的取值范围是 12 分a0122、 证明：因为 ，12QCAB:所以 即 ，B（ ） 2于是 ，A所以QCAQAB，所以QAB=QCA，根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为O 的切线，证毕 5 分解：因为 QA 为O 的切线，2所以PAC= ABC，来源:学,科,网而 AC 恰好为BAP 的平分线，所以BAC= ABC，于是 AC=BC=15，所以 ，215QCA又由QCAQAB 得，0B联合消掉 QC，得 QA=18 10分23、解： 由题，消去直线 参数方程中的参数 t 得普通方程为 1l 2yx又由 得 ，2cos2cos由
14、 得曲线 的直角坐标方程为 5 分,inxy C20xy曲线 ： 可化为 ，20yx(1)设与直线 l 平行的直线为 ，b当直线 l 与曲线 C 相切时，有 ，即 ，22于是当 时，P 到直线 l 的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即12b2()3（或先求圆心到直线的距离为 ，再加上半径 1，即为 P 到直线 l 距离的最大值 ）32 32110分1024、 解：当 时，不等式为 ，12a216x当 x2 时，原不等式可化为x 22x116，解之得 x ；173当2x 时，原不等式可化为 x22x 116，解之得 x13，不满足，舍去；当 x 时，原不等式可化为 x22x 116，解之得 x5；1不等式的解集为 5 分17|53x或证明： 即 ，解得 ，而 解集是 ，2()fa1ax()1fx0,2所以 解得 ，10,a从而 ，fx于是只需证明 ，(2)ffx即证 ，1+因为 ，=1+1=2xx所以 ，证毕 10 分2
