1、第 1 页 共 11 页常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下1命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)原命题为“若 p 则 q”，则它的逆命题为若 q 则 p ；否命题为 若p 则q ；逆否命题为若q 则p .(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命
2、题等价四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假命题真假判断的方法：(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假3充分条件与必要条件的定义(1)若 pq 且 q p，则 p 是 q 的充分非必要条件(2)若 qp 且 p q，则 p 是 q 的必要非充分条件(3)若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件(4)若 p q 且 q p，则 p 是 q
3、 的非充分非必要条件第 2 页 共 11 页设集合 A x|x 满足条件 p， B x|x 满足条件 q，则有(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；(2)若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；(3)若 A B，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 AB，且 BA，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件2充分、必要条件的判定方法(1)定义法，直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2)传递法(3)集合法：若 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 A x|p(x)， B
4、 x|q(x)，则若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 BA，则 p 是 q 的必要条件；若 A B，则 p 是 q的充要条件(4)等价命题法：利用 AB 与BA，B A 与AB，A B 与BA 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础1 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且” 、 “或” 、 “非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：p q p q p 或q p 且q (p 或 q) (p且 q) p 或q p 且q真 真 假 假 真 真 假 假 假 假真 假 假 真 真 假 假 真
5、 真 假假 真 真 假 真 假 假 真 真 假假 假 真 真 假 假 真 真 真 真2. 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个” “一切” “每一个” “任给 ”“所有的”等(2)常见的存在量词有“存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “某个” “有的”等3 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4 命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题第 3 页 共 11 页(2)p 或 q 的否定：非 p 且非 q；p 且 q 的否定：非 p 或非 q.注：1 逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的
6、含义，与并集概念中的“或”的含义相同如“xA 或 xB” ，是指：xA 且 xB；xA 且 xB；x A 且 xB 三种情况再如“p 真或 q 真”是指：p真且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况2 命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1(2013皖南八校)命题“若一个数是
7、负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A “若一个数是负数，则它的平方不是正数 ”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数 ”解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数选 B.2 (2012湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析 这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”
8、改为全称量词“任意一个”，故选 B。 2已知 a，b，cR ，命题“若 abc3，则 a2b 2c 23”的否命题是( )A若 abc3，则 a2b 2c 2y，则 x|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 A解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|Error!，必有 xy；对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x5，x 2251；对于 C，其否命题：第 5 页 共 11 页若 x1，则 x2x 20，因为 x2 时，x 2x20，所以是假命
9、题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选 A.2已知命题 p： nN,2 n1 000，则 p 为( )A nN,2 n1 000 B nN,2 n1 000C nN,2 n1 000 D nN,2 n1 000解析 特称命题的否定是全称命题即 p： x M， p(x)，则 p： x M， p(x)故选 A.答案 A4 (2012湖北改编)命题“存在 x0 RQ，x Q”的否定是 ( )30A存在 x0D /RQ，x Q B存在 x0 RQ，x D /Q30 30C任意 xD/ RQ，x 3Q D任意 x RQ，x 3D/Q答案 D解析 “存在”的否定是
10、“任意” ，x 3Q 的否定是 x3D/Q.命题“存在 x0 RQ，x Q”的否定是“任意 x RQ，x 3D/Q” ，故应选 D.301 (2011安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数” 2 (2012辽宁改编)已知命题 p：对任意 x1，x 2R，(f(x 2)f(x 1
11、)(x2x 1)0，则p 是( )A存在 x1，x 2R，(f(x 2)f (x1)(x2x 1)0B对任意 x1， x2R，(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)0C存在 x1，x 2R，(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)1”的否定是 ( )A对任意实数 x，都有 x1B不存在实数 x，使 x1C对任意实数 x ，都有 x1D存在实数 x，使 x1答案 C第 6 页 共 11 页解析 利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数 x，使 x1”的否定是“对任意实数 x，都有 x1” 故选 C.11给出以下三个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；在ABC 中，若 sin Asin B
12、，则 AB；在一元二次方程 ax2bx c 0 中，若 b24ac0 的解集为Error!，故由 x 2x 2x10，但122x2x10D/x ，故选 A.12(2)在ABC 中，由正弦定理得 sin Asin BabAB.故选 B.6 下列结论：若命题 p：存在 xR ，tan x1；命题 q：对任意 xR，x 2x10.则命题“p 且q”是假命题；已知直线 l1：ax 3y10，l 2：x by10，则 l1l 2 的充要条件是 3；ab命题“若 x23x 20，则 x1”的逆否命题：“若 x1，则 x23x20” 其中正确结论的序号为_答案 解析 中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题
13、，所以 p 且q 为假命题，故正确；当 ba0 时，有 l1l 2，故不正确；正确所以正确结论的序号为 .5 下列命题中正确命题的序号是_若 ac2bc2，则 ab；若 sin sin ，则 ；“实数 a0”是“直线 x2ay1 和直线 2x2ay1 平行”的充要条件；若 f(x)log 2x，则 f(|x|)是偶函数答案 解析 对于，ac 2bc2，c 20，ab 正确；对于，sin 30sin 150D/30150，所以错误；对于，l 1l 2A 1B2A 2B1，即2a4aa0 且 A1C2A 2C1，所以对；对于显然对6 已知 p(x)：x 22x m0，如果 p(1)是假命题，p(2
14、) 是真命题，则实数 m 的取值范围为第 7 页 共 11 页_答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m 0，解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 44m0，解得 m0”的否定是 “x 0R, 2x00”答案 D解析 对 A，只有当 p，q 全是真命题时， pq 为真；对 B，sin 2k 或12 62k ，kZ，故“sin ”是“ ”的必要不充分条件；对 C，l，l 或56 12 6l；对 D，全称命题的否定是特称命题，故选 D.15给出下列四个命题：命题“若 ，则 cos cos ”的逆否命题；“x 0R，使得 x x 00”的否定是：“xR，均有 x2x0”的否定应
15、是：20“xR，均有 x2x0” ，故错；对，因由“x 24”得 x2，所以“x 24”是“x 2”的必要不充分条件，故错；对，p，q 均为真命题，由真值表判定 p 且 q 为真命题，故正确 10给出下列命题：xR，不等式 x22x4x3 均成立；若 log2xlog x22，则 x1；“若 ab0 且 c ”的逆否命题；cacb若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题其中真命题是 ( )A B C D答案 A解析 中不等式可表示为(x1) 220，恒成立；中不等式可变为 log2x 2，得1log2xx1；中由 ab0，得 1，则 mx22( m1) x m30 的解集为 R”的逆命
16、题其中真命题是_(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确又因为不等式 mx22( m1) x m30 的解集为 R，由Error! Error!m1.故正确答案：3设 x，yR，则“x 2y 2 9”是“x 3 且 y3”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第 9 页 共 11 页答案 B解析 结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手如图：x2y 29 表示以原点为圆心，3 为半径的圆上及圆外的点，当 x2y 29 时，x 3 且 y3 并不一定成立，当 x2，y 3
17、时，x 2y 29，但 x3 且 y3 不成立；而 x3 且 y3 时，x2y 29 一定成立，故选 B.一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可4 “a0”是“|a|0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 因为|a|0a0 或 a0|a|0，但| a|0 a0，所以 a0 是|a|0
18、 的充分不必要条件，故选 A.50x5 是不等式|x2| 4 成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 由| x2| ”是“2x 2x 10 ”的( )12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 (2013福建)已知集合 A 1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 a3 时 A1,3，显然 AB.但 AB 时，a2 或 3.所以 A 正确6 (2013陕西)设 a，b 为向量，则 “|ab|a|b|”是“ab”
19、的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 C第 11 页 共 11 页解析 由|a|b|cosa，b| |a|b|，则有 cosa，b1.即a，b0 或 ，所以 ab.由 ab，得向量 a 与 b 同向或反向，所以a，b0或 ，所以 |ab|a|b|.(1)已知 p：42.8 已知 p：x R，mx 220，q：xR ，x 22mx10，若 pq 为假命题，则实数 m的取值范围是 ( )A1，) B(，1C(，2 D 1,1答案 A解析 pq 为假命题，p 和 q 都是假命题由 p：xR，mx 220 为假命题，由綈 p：xR ，mx 220 为真命题，m0. 由 q：xR，x 22mx 10 为假命题，得綈 q：xR ，x 22mx 10 为真命题，(2m) 2 40m 21m1 或 m1. 由和得 m1，故选 A.
