1、2.3.1 圆的标准方程,第二章 2.3 圆的方程,学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考1 确定圆的标准方程需要知道哪些条件？,知识点一 圆的标准方程,答案 圆心坐标与圆的半径.,思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？,答案 能.,梳理 圆的标准方程 (1)方程(xa)2(yb)2r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程. (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为
2、x2y2r2.,知识点二 点与圆的位置关系,答案 |OA|2，|OC|2.,梳理 点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法,思考辨析 判断正误 1.方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆.( ) 2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( ) 3.圆(x1)2(y2)24的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( ),题型探究,命题角度1 直接法求圆的标准方程,类型一 求圆的标准方程,答案,(x2)2y29,解析 设圆心C的坐标为(a,0)(a0)，,解析,C(2,0).,圆的标准方程为(x2)2y29.,(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_.,答案
3、,(x5)2(y3)225,解析 圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切， 该圆的半径为5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.,解析,反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.,跟踪训练1 以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 A.(x1)2(y2)210 B.(x1)2(y2)2100 C.(x1)2(y2)225 D.(x1)
4、2(y2)225,解析,答案,解析 AB为直径， 圆心为AB的中点(1,2)，,该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.,命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程.,解答,圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 方法二 (直接法) 由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10. 弦的垂直平分线过圆心，,解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，,圆的标准方程是(x4)2(y3)225.,即圆心坐标为(4，3)，,反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤,跟踪训练2 已知ABC的三个
5、顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的方程.,解答,故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.,解 方法一 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 因为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的标准方程，,同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.,方法二 因为A(0,5)，B(1，2)，,故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.,类型二 点与圆的位置关系,例3 (1)点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是 A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定,解析,解析 由(m2)25
6、2m42524，得点P在圆外.,答案,答案,解得0a1.,解析,0,1),反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.,跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围是_.,答案,解析 由题意知，(1a)2(1a)24， 2a220， 即a1.,解析,(，1)(1，),类型三 与圆有关的最值问题,当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，,解答,引申探究
7、1.若本例条件不变，求yx的最大值和最小值.,解 设yxb，即yxb. 当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，,解答,2.若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值.,解 x2y2表示圆上的点与原点距离的平方. 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2，,解答,解 由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值. 原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1，,解答,(2)xy的最值.,解 令xyz，并将其变形为yxz， 问题转化为斜率为
8、1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，,解答,达标检测,1.若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为,1,2,3,4,5,答案,2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是 A.x2(y2)21 B.x2(y2)21 C.(x1)2(y3)21 D.x2(y3)21,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 方法一 (直接法),b2，圆的标准方程是x2(y2)21. 方法二 (数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为 (0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)2
9、1.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为,圆的标准方程为x2y22.,1,2,3,4,5,答案,4.若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_.,解析,1,1,2,3,4,5,5.求下列圆的标准方程. (1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；,解 由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，,解答,圆的标准方程为(x4)2(y1)226.,1,2,3,4,5,(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.,解 由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，,解答,CD
10、的垂直平分线为yx2.,圆的标准方程为(x2)2y210.,规律与方法,1.判断点与圆的位置关系 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2； 点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.,2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3)圆心与切点的连线是半径. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用方法 (1)待定系数法.(2)直接法.,
