1、1多项式有理根求解方法 有理根整系数多项式的几个定理及求解方法导读：就爱阅读网友为您分享以下“有理根整系数多项式的几个定理及求解方法”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!五邑大学本科毕业论文 摘 要整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式 fx是否存在有理根。若存在，则可利用求解有理根的方法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过程，可以先
2、运用2本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式 fx的全部有理根关键词：整系数多项式; 有理根的求法; 有理根的判定I五邑大学本科毕业论文 AbstractIntegral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational
3、root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this.There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients
4、 polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can t
5、estify them and get all the rational roots.3Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational rootsII五邑大学本科毕业论文 目 录摘 要 . I Abstract . II第 1 章 引 言 .1第 2 章 整系数多项式的基本内容. 2第 3 章 整系数多项式有理根的重要定理 . 3第 4 章 整系数多项式有理根的求法 . 64.1、整系数多项式有理根的判定 64.2、整系数多项式有理根的检验 494.3、
6、整系数多项式有理根的求解方法 . 114.4、应用举例 . 13结束语 .16参考文献 .17致谢 .18III五邑大学本科毕业论文 第 1 章 引 言多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到，是研究许多数学分支的工具。在多项式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们感兴趣的问题，整系数多项式在多项式的研究中占有很重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识,目前人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果。5求整系数多项式有理根的题目变化多样,灵活,特别是次数越高,常数项越大,最高次项系数越大,按常规方法逐一
7、去求,难度就越大.所以，综合整系数多项式有理根的求解方法，利用相关定理将可能的有理根的范围尽量缩小,再用综合除法进行检验,进而求出整系数多项式的全部有理根,从而揭示一般的整系数多项式的有理根的求法，是具有积极意义的。本文的结构如下：第 2 章是关于整系数多项式有理根的基本定理，第 3 章是关于整系数多项式有理根的几个重要定理，第 4 章是关于整系数多项式有理根的具体求法，包括有理根的判定，检验及求法。1五邑大学本科毕业论文 第 2 章 整系数多项式的基本内容 1本节给出了整系数多项式的基本定理-高斯(Gauss)引理。先给出两个定义.nn1an 都是定义 1 如果一个多项式 f(x)anxan
8、1x.a1xa0，其所有系数 a0,a1,整数，就称此多项式为整系数多项式。定义 2 如果一个非零的整系数多项式 g(x)6bnxnbn1xn1b0 的系数 bn,bn1,b0 没有异于1 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。定理 2.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。证明 设f(x)anxnan1xn1.a1xa0g(x)bmxmbm1xm1b0是两个本原多项式，而h(x)f(x)g(x)dnmxnmdnm1xnm1d0是它们的乘积.我们用反证法.如果 h(x)不是本原的，也就是说，h(x)的系数
9、 dnm,dnm1,d0 有一异于1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除 h(x)的每一个系数.因为 f(x)的本原的，所以 p 不能同时整除 f(x)的每一个系数 .令 ai 是第一个不能被 p 整除的系数，即 p|a0,p|ai1,p/|ai.同样地，g(x)也是本原的，令 bj 是第一个不能被 p 整除的系数，即 p|b0,p|bj1,p/|bj 我们来看 h(x)的系数dij，由乘积定义dijaibjai1bj1ai2bj2ai1bj1ai2bj27由上面的假设，p 整除等式左端的 dij，p 整除右端 aibj.这是不可能的.这就证明了， h(x)一定也是本原多项式.由此我们可以
10、得到下面的定理及推论定理 2.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论 2.2.1 设 f(x)，g(x) 是整系数多项式，且 g(x)是本原的.如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的.2五邑大学本科毕业论文 第 3 章 整系数多项式有理根的重要定理 在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：r 定理 3.1【1】 设 fxanxnan1xn1.a1xa0是一个整系数多项式,而是 fx的一个 s有理根,其中 r,s 互素,那么必有 s|an,r
11、|a0.特别地，如果fx的首项系数 an1，那么 fx的有理根都是整根，而且是 a0 的因子.rr（x)|fx ， 证明：因为是 fx的一个有理根,因此在有理数领域上 ss 从而(sxr)|f(x), 因为 r,s 互素，所以sxr 是一个本原多项式.根据上述推论 2.2.1，8f(x)(sxr)(bn1xn1.b0) ，式中 bn1,.,b0 都是整数. 令 g(x)bn1xn1.b0,比较两边系数，即得ansbn1,a0rb0. 因此 s|an,r|a0.将 x1,1 代入上式得 f(1)(sr)g(1), f(1)(sr)g(1) 由定理 3.1 的证明过程可得如下定理：定理 3.2 若
12、 fxanxnan1xn1.a1xa0 是一个次数 n 大于 0 的整系数多项式 ,如果f1f1q 是 fx的一个有理根,其中 p,q 是互素的整数,那么z, 且z. ppqpq定理 3.3 若 q 为整系数多项式 fx的整数根,则 q 为常数项 a0 的约数,且对于 mzmq,qmfm.证明：因为 q 是整系数多项式 fx的整数根,所以fxxqgx, 其中 gx是整系数多项式.mz,mq, 则有 fmqmgm.又 mz,故 gmz,所以 qmfm.当 m0 时, qf0.因为 f0是常数项 ,故 q 为常数项a0 的约数,所以 qf0. 推论 3.3.1 若 q 为常数 a0 的约数,但存在一个整数 m0m0q,使qm0fm0, 则 q 不是fx的整数根.证明：（反证法）设 q 是 fx的整数根,则有fxxqhx,hx 是整系数多项式,m0z, 使 fm0m0qhm0,即9fm0qm0hm0.又 hm0是一个整数,所以qm0fm0, 这与已知矛盾,故假设不成立.3五邑大学本科毕业论文 所以,q 不是 fx的根. 推论 3.3.2 若 q 为整系数多项式 fx的整数根,则 q 一定是常数 a0 的约数,即 qa0 且1qf1,1qf1.定理 3.4 若整系数多项式fxanxnan1xn1.a1xa0 的常数项 a0 为奇数,而 2pq 为偶数 ,则 q 不是 fx的有理根. p
