1、广 义 逆 矩 阵 的 求 法 探 讨the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrixI毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名：
2、日 期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： II摘 要本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由 Moore-Penrose 方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.关键词: 广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法Abstract
3、IIIThis article discusses the system of generalized Inverse matrices defined, discussed by the Moore-Penrose equation is defined by the nature of the various Generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular generalized
4、inverse matrix calculatio.Keywords: Generalized inverse matrix; full rank decomposition; elimination; elementary transformation目录摘 要 .IAbstract .II0 引言 11 广义逆矩阵的概念与定理 82 广义逆矩阵的计算方法 82.1 广义逆矩阵 的奇异值分解法 8+A2.2 广义逆矩阵 的最大值秩分解法 92.2 极限法求广义逆矩阵 .9+2.3 广义逆矩阵 的满秩分解法 112.4 初等变换法求广义逆矩阵 15参考文献 .21第 1 页,共 21 页0 引
5、言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义. 但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。 因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。1 广义逆矩阵的概念与定理 定义 1.1 设 是 的矩阵，若 的矩阵 满足如下四个 方程的全部AmnnmGPenros或者一部分，则称 为 的广义逆矩阵，简称广义逆.G(1.1)A(1.2) (1.3) ()HG(1.4) A则称 是 的 逆，记为 .GAMorePns如果某个 只满足（1.1）式， 为 的1广义逆，记为 G 1；如果另一个A满足（1.1） ， （1.2）式，则
6、称 为 的1,2广义逆，记为 1，2；如果GA1，2，3，4，则 是 逆等.下面介绍常用的 5 种GAMorePns1, 1, 2， 1, 3, 1,4, 1,2,3,4A每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：（1） 1中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或 g 逆，记为 ；A A（2） 1,2中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为 ；r（3） 1,3中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为 ；m（4） 1,4中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为 ；A lA（5） 1,2,3,4：唯一一个，称作加号逆，或 ，记为 .MorePns+定义 1.2 设 是 的
7、矩阵（ , 当 时，可以讨论 ） ，若有一个mnnmT第 2 页,共 21 页的矩阵（记为 ）存在，使下式成立，则称 为 的减号广义逆或者 逆：nmA A g(1.5)当 存在时，显然 满足上式，可见减号广义逆 是普通广义逆矩阵 的推广； A另外，由 得()().TTTAA， 即可见，当 为 的一个减号广义逆时， 就是 的一个减号广义逆.A 定义 1.3 设 的特征值为mnHrC，1212n0rr 则称 为矩阵 的正奇异值，简称奇异值.ii, r（ ， ， ） A定义 1.4 设 矩阵mn，121212nmmnaa如果 时存在 ；或者当 时，存在有 ，称这两种长方mnrakArakAn阵为最大
8、秩方阵（满秩方阵） ，前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵） ，后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.定义 1.5 设 是 矩阵, 若有 矩阵 满足 (或 ), 则称nnmGmInGI为 的右逆(或左逆), 记为 (或 ).GA1RA1L定理 1.1 设 是 的矩阵，则 的 逆存在且唯一.mMorePns证明 先证 的存在性. 设 的奇异值分解 0HrAUV其中 ， 是 的非零奇异值， 与 是酉矩阵.令12(,)rrdiag， ， (1,2)i ， AUV0HrGVU第 3 页,共 21 页容易验证 满足四个 方程，因此 存在. GPenrosA下面证 的唯一性. 假定 也是满足 4 个 方程，则
9、AYPenrosHHGYGAYHA因此 , 说明 是唯一的，且GY 10HrVU若 是非奇异矩阵，容易验证 满足 4 个 方程，此时 .由此可见AAPenosA逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）.MorePns定理 1.2 设 ， ，存在 阶的可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ，mnC()rakrmPnQ使 0rEPAQ则 阶矩阵 使得 的充分必要条件是nmGA12rG其中 分别是 阶任意矩阵.122,()()rmnmr， ，证明 先证必要性，由条件有 阶及 阶可逆矩阵 ，使PQ，0rEPAQ那么110r根据 应满足的 , 有GA1111000rr rEEEPQGPPQ1000rrr第 4 页,共 2
10、1 页再令 121GQP分块如题设要求，代入上式 1200r rrEE100rG所以 ,于是有1rGE 121rEQPG得到 12r再证充分性，由于 12110,r rEGEQPAQ则 1211 100rr rAP110rEQA引理 1.1 对于任意的矩阵 ，它的减号逆 总存在，但不唯一，并且1(), ;,TTArankAmCDDC 当当当 是 的 满 秩 分 解 时 ；是 的一个减号逆 【1，2】 .A引理 1.2 对于任意的矩阵 ，它的极小范数 总存在，但不唯一，并且AmA1(), ;Tmrank当在 一 般 情 况 下 ；第 5 页,共 21 页1(),;TmlArankAmCD当在 一
11、 般 情 况 下 ；是 的一个极小范数逆 【12】 .A引理 1.3 对于任意矩阵 ,它的最小二乘逆 总存在 ,但不唯一,并且l1(),TlArankAm当 ；在 一 般 情 况 下 ；它是 的一个最小二乘逆 【1，2】 .A引理 1.4 对于任意矩阵 ,它的加号逆 总存在，并且唯一. 其中A1()TTmlCD 或这里 是 的满秩分解式 【1，2，3】 .ADC定理 1.3 是 矩阵 , 若 是行满秩矩阵 ,则总有 ；nA1()TmA是列满秩矩阵，则总有 ； ，则总有()Tlin(,)rak，其中 是 的满秩分解式.mlACADC定理 1.4 设 则可将 做满秩分解（或 的最大秩分(),min
12、(,)ijmnarkAA解） AD其中 是 阶矩阵，且 . CrrankCr将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解. 在各种广义逆的直接计算方法中, 几乎都要对矩阵进行满秩分解, 例如分解等等. 但当计算某些广义逆时, 分解将带来大量非必要的计算, 因而有必QUQU要对满秩分解的方法进行简化, 为此, 我们首先用构造性方法证明下述定理.定理 1.5 对任意矩阵 , 总存在着矩阵 和矩阵 ，使0mnACrmrBCrn得 成立.ABC证明 设 ，则必有一个最大线性无关列 ，12,naa 1ja， ，故令2jajr第 6 页,共 21 页= ， ， B1ja
13、2jjra于是有非奇异矩阵 ，使 , 亦即有G1IO(1.6)1IBG成立，其中 为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵o1rkKjPI便有, IMGAOrnA于是由（1）知， = (1.7)1I1IPP1BC其中 , 且显然有 ， .1CIMPmr1BCrn1类似地可证存在着 和 ，使有nrH1rkKjQI, OANmrC成立，倘令(1.8) 2IBQ(1.9)12CIOH同样有 .2ABC特别，若 A 为行满秩或者列满秩，则 与 中之一为单位阵，定理依然成立.B定理 1.6 对任何 的矩阵 ，都有mnA()()HHA第 7 页,共 21 页性质 1.1 (1) 的充分必要条件是 ，此时 , 称(
14、)rankAnAE1()HA为 的一个左逆，记为 .A1L(2) 的充分必要条件是 ，此时 = 称为 的一个()rkmmH-1()右逆，记为 .1R证明 (1)充分性，若 则nAE()()()rakrArank所以 ()rank必要性，若 ，则存在 阶及 阶可逆矩阵 ,使()AnmPQ或 0nEPQ110nEA由定理 1.2 可得 , 则有r12GA12nEP即 ，于是有GnE由于 ()()HrakArank所以 是可逆阵，那么HA1()HnE所以，可取 11()HLAA(2)同理可证性质(2)， 可逆，有H1()HmE所以，可取 1H-1()RAA第 8 页,共 21 页2 广义逆矩阵的计算
15、方法2.1 广义逆矩阵 A+的奇异值分解法设矩阵 ，由定理 1.1 知 存在并且唯一，当 时，则 有奇异值分解：mnC 0A1rs,0mnAUV 其中， ， 为 的奇异值，则 具有如下形式：0r12,0,rss A.11rs0nmAVU 例 1 用奇异值分解求 ，其中 .A10解 的奇异值分解为A,12-01UDV212-所以第 9 页,共 21 页= . 12-A0102-104例 2 设 A-10=2用奇异值分解法求 .A解 H125001022|(10)HEA因此 特征值HADE1230，求出对应于 1 120的 单 位 特 征 向 量所以 A121=002， ， 0=1202.2 广义
16、逆矩阵 的最大秩分解法A的矩阵 的秩 ， 的最大秩分解为mnr第 10 页,共 21 页ACD其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵，且 ，则CmrDrnrankrankA(2.1)11()HH）特别当 时（行满秩阵）rankA(2.2)1(HA）当 时（列满秩阵）r(2.3)1()H例 3 求矩阵 的 逆 .102453AMPA解 首先求得 的满秩分解为，1024ABC1故 11()HH=0-1-13-1240-2= .185-426302.3 极限法求广义逆矩阵 A设 是 阶矩阵，则Amn10lim()HHEA(2.4)证明 因为()()()HHHHAAA第 11 页,共 21 页由定理 1.6
17、得 1100lim()lim()HHHAEAEAHA例 4 设 102用极限法求 .A解 因为 50HA05HE1 0512() 10(0)HHA 21因此 102lim()0HHAEA2.4 广义逆矩阵 的满秩分解法对任意 矩阵 ，由定理 1.5 知 ，其中 是 阶矩阵， 是 阶mnAACDmrDrn矩阵，且 ，再由性质 1.1 可得rakCDrank第 12 页,共 21 页如果 A 是实矩阵，有 111()TTRLADCC设 为矩阵 的最大秩分解 ,则 的广义逆矩阵的一般形式为 .BCA1RLACB例 5 设 ，求其广义逆矩阵 .101解 首先对 进行最大秩分解 ,对 作行初等变换如下:
18、AA10110-2102所以 的最大秩分解为 =AABC10-102由定理 1.3 知 ，这里 为 3 阶可逆方阵，故1RL11-21-2LB为行满秩矩阵，故可取C第 13 页,共 21 页=1()TRC2031-401-342-从而=1RLACB21-341-2651-2例 6 设矩阵= A01求 .lmA及解 有满秩分解为()2rank02101A 行 变 换取 = ，从而 = ，得D10C021021ACD01第 14 页,共 21 页取 ,C0210011=, ,2P 行 变 换 这 里 2QI20CI得 201101 =0-2PID得2110 01=,0QPI 列 变 换 ， 这 里
19、 ， 取 2-0= 01 01DPI在依据性质 1.1 的(1.5)及(1.6)可分别求出 112615C()4HlLC1102()HmRD于是得到 26151004llADC210mAC第 15 页,共 21 页2.4 初等变换法求广义逆矩阵方法和步骤：经过一系列的初等行或初等列变换总可以将 写成 式A0rEPQ的形式, 这里 分别是 m 和 矩阵，由定理 1.2，则 的全部广义逆为,PQn10rEGP这里 、 分别是任意的CD-rm-r)nr， （ ） 和 （ （ ） 矩 阵 。例 7 .1204AA 求 =的 广 义 逆 矩 阵解 由上述定理 ,首先要将 写成 式的形式. 为此 , 将
20、作初等P0rEQA变换得= 100120A12 0设 , , , 102P210P120Q201Q则 1122,AP,1201P120Q从而，有第 16 页,共 21 页1 112 2100020ccQPdfdf =1210120cf1121224dcfdcfcc 例 8 设,01302457A求广义逆 .A解 =340I13010245|7|100|1| 110|20|3150|02 于是 , .2013P150231Q所以 的减号广义逆为A,2IUVWGQP第 17 页,共 21 页其中 .21221,XUCVWC以上介绍了 的初等变换法，那么我们现在给定一个 矩阵 , 总有A mnA，有
21、定理 1.3 知当 时，有 ，当mrin,rankrankA1()T时，有 , 当 时，有 ，A()TlAi,nmlACD其中 是 的满秩分解式. 我们可以看出要求矩阵 的任何一种广义逆矩阵 , DC关键是求出一个 .那么下给出了利用初等变换法求出 的具体方法.ml和 ml和设 , (不必限制 )则存在 阶可逆矩阵 使得()TrankArmin,r,PQ0()rTEPAQD则 ，令1TAPDQ0rEGQPD由于 11131()()()T TAPDQPA所以 是 的一个广义逆矩阵( .GTA据此，我们对下面分块矩阵进行初等变换：=1 100TTTPrmQcPAPAEoA 0rTEPAQ因此, .
22、0rTmQ同理，对下面的分块矩阵施行初等变换：= 1 100TTTPr QcnnAPAPAEoE 0rTEPAQ第 18 页,共 21 页因此， .0rTlEAQPA这里 、 均指可逆矩阵.例 9 设 = ，求 的最小二乘逆 .A123AlA解 因为 ，所以 . 对下列矩阵施行初等行变换有1T14T124|2314|23750504174| |001| |0r 1 12r c4 4 123123| 44750575050|0| 771| |4000 214r75123|40|51|040 所以 = .12310405LA 15-4第 19 页,共 21 页例 10 设 ，求最小范数逆 .142
23、536AmA解 因为 = ，所以 = , 对下列矩阵施行初等变换有T145T5102341051510|0246|2314| 39|0551|012|2646|05 11230520|5123|046|5 511|0520|3|10|02|5 1|10|100-02|3|31|10|05220|0 所以 .1015222053mA第 20 页,共 21 页上述例题给出的求广义逆矩阵 和 的方法 , 简便易行且使各种广义逆矩阵的mAl计算得到了彻底解决. 致谢 本文是在 的指导下完成的，在此衷心的感谢周教授的细心的指导，才能顺利完成本论文.第 21 页,共 21 页参考文献1李宗铎.求逆矩阵的一
24、个方法J数学通报，1983（11）：1516.2南京大学数学系计算数学专业.线性代数M.北京：科学出版社，1978：97.3任晓红.球广义逆矩阵 A的初等变换法J.西北轻工业学院学报，2000（2）：105106.4周琳.介绍广义逆矩阵及其计算方法J.本溪冶金高等专科学校学报，2001（2）：4345.5北京大学数学力学系.高等代数M.北京高等教育出版社，1978：187.6杨明，刘先忠.矩阵论M.华中科技大学出版社，2005：9598.7刘丁酉.矩阵分析M.武汉大学出版社，2004：241241.8苏育才，姜翠波等.矩阵理论M.科学出版社，2003：192. 9 吴强.基于矩阵初等变换的矩阵
25、分解法J.数学理论与应用，2000，20（4）.9刘宣黄.广义逆矩阵的计算方法J.江西电力职业技术学院学报，2008，21（1）：4447.10 Fuzhen zhang，Matrix Theory，Springer，1999.11 Horn R A，Johnson C R.1989.Matrix Analysis（矩阵分析）.杨奇.天津：天津大学出版社.12 D J Field What is the goal of sensory coding? 1994(4) M Heiler.C Schnorr Learning sparse.13 P O Hoyer Non-negative rna
26、trix factorization with sparseness constraints 2004(9)精品文档精品文档 精品资料精品文档-精品资料第 22 页,共 21 页序号 名称 规格型号 单位 数量 备注一 制冷系统1 压缩机组 4AV10 台 42 冷凝器 LN-70 台 13 贮氨器 ZA-1.5 台 14 桶泵组合 ZWB-1.5 台 15 氨液分离器 AF-65 台 16 集油器 JY-219 台 17 空气分离器 KF-32 台 18 紧急泄氨器 JX-108 台 19 冷风机 KLL-250 台 810 冷风机 KLD-150 台 411 冷风机 KLD-100 台 2
27、12 阀门 套 8613 电磁阀 套 614 管道及支架 吨 18.615 管道及设备保温 m3 2216 管道保温包扎 镀锌板 吨 1.617 附件 套 1二 气调系统1 中空纤维制氮机 CA-30B 台 12 二氧化碳洗涤器 GA-15 台 13 气动电磁阀 D100 台 144 电脑控制系统 CNJK-406 台 19JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm
28、6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$
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36、9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNuGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#
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