1、2.2.3 待定系数法,第二章 2.2 一次函数和二次函数,学习目标 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式. 2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题.,题型探究,问题导学,达标检测,内容索引,问题导学,思考1,知识点 待定系数法,若一个正比例函数ykx(k0)过点(2,3).如何求这个函数解析式？,答案,答案 函数ykx过点(2,3)，,思考2,在思考1中，求解析式的方法有什么特点？,答案,答案 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数.,1.待定系数法定义 一般地，在求一个函数时，如果知道 ，先
2、把所求函数写为 ，其中系数待定，然后再根据 求出这些待定系数.这种通过求 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.,梳理,这个函数的一般形式,一般形式,题设条件,待定系数,2.几种基本初等函数的解析式 (1)正比例函数的一般形式是 . (2)一次函数的一般形式是 . (3)反比例函数的一般形式是 . (4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式： 一般式 ，这是二次函数的标准形式； 顶点式 ，其中 是抛物线的顶点； 知两根可设为ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是方程ax2bxc0(a0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标.,ykx(k0，k是
3、常数),ykxb(k0，k，b是常数),y (k0，k是常数),yax2bxc(a0),ya(xh)2k(a0),(h，k),思考辨析 判断正误 1.待定系数法的适用条件是所求数学问题具有确定的数学表达式. ( ) 2.用待定系数法求二次函数yax2bxc(a0)的解析式时，必须知道三点坐标.( ),答案,题型探究,命题角度1 待定系数法求一次函数解析式 例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)3f(1)5，2f(0)f(1)1，求这个函数的解析式.,解答,类型一 待定系数法求解析式,解 设所求的一次函数是f(x)kxb(k0)，其中k，b是常数.,解此方程组，得k3，b2. 因此所求的函
4、数是 f(x)3x2.,在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f(f(x)9x8，求此一次函数的解析式.,解答,解 设该一次函数是f(x)axb， 由题意得f(f(x)a(axb)ba2xabb9x8.,所以一次函数为f(x)3x2或f(x)3x4.,命题角度2 待定系数法求二次函数解析式 例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式.,解答,解 设二次函数为yax2bxc(a0)，,又二次函数过点(3,1)， 19a3bc. 联立方程解方程组，得a2，b8，c5
5、， 二次函数解析式为y2x28x5.,方法二 设二次函数顶点式方程为ya(x2)23， 二次函数图象过点(3,1)， 1a13， a2， y2(x2)23，即y2x28x5.,引申探究 若二次函数f(x)满足f(2)f(4)0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值.,解答,解 设二次函数的两根式为ya(x2)(x4)， 6a(2)(4)，,二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果. (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与x轴的交
6、点或二次方程ax2bxc0的两根，可设函数的两根式.,反思与感悟,跟踪训练2 求下列二次函数的解析式. (1)已知yf(x)是二次函数，且图象过点(2,20)，(1,2)，(3,0)；,解答,解 设yax2bxc(a0)，,yx25x6.,(2)已知二次函数的顶点为(1，2)，且图象经过点(2,25)；,解答,解 设ya(x1)22， 25a322， a3， y3x26x1.,(3)已知二次函数与x轴交点为(2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(1,8).,解答,解 设ya(x2)(x3)， a1(4)8， a2， y2x22x12.,例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求
7、函数的解析式，并求该函数的值域.,类型二 待定系数法的综合应用,解答,解 设左侧的射线对应的解析式为 ykxb(k0，x1)，,解得k1，b2， 所以左侧射线对应的函数的解析式为 yx2(x3时，函数的解析式为yx2(x3). 当1x3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为ya(x2)22(1x3，a0)，,由点(1,1)在抛物线上可知a21，所以a1， 所以抛物线对应的函数解析式为 yx24x2(1x3). 综上，函数的解析式为,由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以值域为1，).,由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函
8、数类型，利用待定系数法求出相应解析式.,反思与感悟,(1)f(x)的解析式；,解答,解 f(x)为奇函数， f(x)f(x).,c0，,4x1x21， f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(x2)，,证明,达标检测,1.已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为 A.y4x B.y4x C.y D.y,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 设ykx，则82k，k4，y4x.,2.已知一个一次函数的图象过点(1，3)(3，4)，则这个函数的解析式为,答案,2,3,4,5,1,解析,3.已知二次函数yx2bxc的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为 A.yx
9、22x3 B.yx22x3 C.yx22x3 D.yx22x6,答案,2,3,4,5,1,解析,由解得b2，c3.,4.二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 设ya(x1)22. ya(x1)22过原点，0a2，a2. y2x24x.,y2x24x,5.如图是二次函数yf(x)的图象，若x2,1，则函数f(x)的值域为_.,答案,解析,解析 依题意设函数f(x)a(x3)(x1)， 又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a1， f(x)x22x3.结合题中图形易知函数f(x)在2,1上的最大值为f(1)4.又f(2)3，f(1)0， 函数f(x)在2,1上的最小值为0， 当x2,1时，函数的值域为0,4.,2,3,4,5,1,0,4,规律与方法,1.求待定系数的方法列方程组 (1)利用对应系数相等列方程(组)； (2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)； (3)利用定义本身的属性列方程(组). 2.待定系数法的适用条件 要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式.例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解.,
