1、1地下基础满版 场论基础导读：就爱阅读网友为您分享以下“场论基础”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!场论基础 附 1 Hamilton 算子? 在直角坐标系中定义 Hamilton 算子?为 ?i?x?j?y?k?z （附 1.1） 这里，?既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘(?)运算和叉乘(?)运算。 附 1.1 梯度运算 gradu?u 对于一个标量场 u(x,y,z)，我们定义相关的梯度运算为 gradu?u?i?u?x?j?u?y?k?u?z （附 1.2） 那么标量函数 u(x,y,z)的梯度
2、运算结果 gradu 为一向量。下面我们来看梯度运算的数学意义。对于函数 u(x,y,z)的方2向导数?u?n?u?x?x?n?u?x?u?y?y?n?u?n，我们有 ?u?y?u?z?z?ncos(n,y)?u?zcos(n,z) cos(n,x)?j?u?y （附 1.3） ?(i?u?x?k?u?y)?(inx?jny?knz)?n?gradu 因此有 ?u?n ?graducos(?u,n) （附 1.4）?u?n 从中可以看到，当单位向量 n 的方向和梯度 gradu的方向一致时，取到极大值，而极大值就为 gradu。这就是说，梯度 gradu 为函数u(x,y,z)变化最快的方向，
3、也是等值函数 u(x,y,z)?C 的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。从上面的分析我们可以看到，梯度 gradu 的定义和坐标系是无关。梯度 gradu 在数值计算方法中有很重要意义。 附 1.2 散度运算 divA?A 对于一个向量场 A(x,y,z)，沿某一个曲面 S 的通量定义为 ?A?ndS 3(附 1.5) S 更进一步，如果 S 是个封闭曲面，其所包围的区域 ?，体积为 V，那么当 1 divA?lim?V?limS?MA?ndS (附 1.6) V?0?dV?存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域?退化成一点 M)。下面我们来看散度和 Hamilton 算子
4、?之间的关系。在直角坐标中，如果向量场 A(x,y,z)为 A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k 那么由高斯公式 ? ?SA?ndS?Pdydz?Qdxdz?RdxdyS?P?Q?R?dV?x?y?z? 根据中值定理 4?P?x?Q?y?R?V ?z?M*其中 M*为区域?中某一点，当 V?0 时，M*?M，所以 ?P?Q?R?V?y?z?xlim?limV?0VV?0 V?P?x?Q?y?R?z 从而有 divA?A （附 1.7） 而高斯公式也可以表示为 ?SA?ndS?divAdV? （附 1.8） 特别地，当在区域?内恒成立?A?divA?0 时
5、，则?0。这样的场我们称之为无源场。 在平面坐标系中，我们记通量为 ?Ads nl 其中 An 为向量 A 在曲线 l 外法线 n 的方向上的分量。曲线 l 的外法线方向为 n?cos(l,x)i?cos(l,y)j?dydsi?dxdsj 容易得到 nx?dyds,ny?dxds,nz?0 5在三维问题中若记?为单位高的柱体，R?0，则 A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j 而式(附 1.5) 、(附 1.6) 和(附 1.8) 变为 2 ?A?nds?Pdy?Qdx (附 1.9) ll divA?lim?S?MS?A?nds (附 1.10) lilmS?M?dxdyS?Pdx?
6、Qdx?l?(?P?x?P?x)dxdy (附 1.11) 因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。 附 1.3 旋度运算 rotA?A 对于一个向量场 A(x,y,z)，沿某一个封闭曲线 l 的环量定义为 W? ?A?ds (附 1.12) l 在直角坐标中，如果向量场 A(x,y,z)为 6A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k 那么环量为 W?Pdx?Qdy?Rdz l 如果 M 为向量场中某一点，在 M 点上有一个固定的方向 n，以 n 为外法线取一个小曲面 S，曲面 S 的面积为?，曲面 S 的封闭边界为 l，l 的正向与 n
7、 一起构成右手坐标系。我们定义环量面密度为 ?A?dl ?liml?0? (附 1.13) 根据斯托克斯(G. G. Stokes)公式， W?A?dl?Pdx?Qdy?Rdzll?(RSSy?Qz)dydz?(Pz?Rx)dzdx?(Qx?Py)dxdyy ?(R?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)?dS7根据中值定理 ?W?(Ry?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)?M*? 从而有 ?(Ry?Qz)cos(n,x)?(Pz?Rx)cos(n,y)?(Qx?Py)cos(n,z)?R?n
8、(附 1.14) 其中 R?(Ry?Qz)i?(Pz?Rx)j?(Qx?Py)k 我们称该向量为向量场 A(x,y,z)的旋度，记为 rotA。和标量场的方向导数类似，当外法3 线方向 n 和旋度方向一致的时候，环量面密度的值最大，大小为旋度 rotA 的模。沿某一方向 n 的环量面密度为旋度rotA 在该方向上的投影。斯托克斯 (G. G. Stokes)公式可以8表示成旋度的形式 ?A?ds?rotA?ndS (附 1.15) lS 把旋度记成行列式形式有 ?rotA?i?xPj?yQk? ?z?R? 也就是说 rotA?A (附 1.16) A?0 特别地当在某一区域内恒有 rot 附
9、1.4 几种比较重要的场 附 1.4.1 有势场 ，我们称该向量场为无旋场。 对于一向量场 A(x)，存在一个单值函数 u(x)使得 A(x)?gradu?u (附 1.17) 我们称该向量场是一有势场，或者是一个梯度场。 性质 1 向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零。 9附 1.4.2 管形场(无源场) 对于一向量场 A(x)，如果其散度处处为零，divA?A?0，我们称该向量场是一管形场。 性质 1 管形场中任意一个矢量管上两个截面的通量保持不变。 性质 2 矢量场为管形场的充要条件为它是另外一个矢量场的旋度场。 附 1.4.3 调和场 对于一向量场 A(x)，如果恒有 d
10、ivA?A?0 及rotA?A?0，我们称该向量场是一调和场。也就是说，调和场既无源又无旋。 根据有势场性质，向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零，所以对于调和场，一定存在势函数u，使得 A?gradu，又根据定义有 divA?0，因此有 div(gradu)?0 ?(?u)?0 ?u?0 (附 1.18) 写成 Hamilton 算子形式为 或者记为 其中?为拉普拉斯(Laplace)算子, 上述方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数 u 称为调和函数。在直角坐标中，拉普拉斯算子为 104 ?22?x?22?y?22?z 在平面问题中，对于调和场， 我们可以找到一对调和函
11、数 u 和 v，它们满足 ?u?0 ?v?0 ?u?x?v?u?v (附 1.19) ,?y?y?x 我们称它们为共轭调和场。 附 1.5 Hamilton 算子性质 先引入两个关于向量的恒等式:向量的混合积和二重矢量积等式 (1) a?(b?c)=b?(c?a)=c?(a?b) (附 1.20) 证明: 设某一平行六面体三条棱分别为 a,b,c, 从平行六面体的体积出发可以证明上式。 (2) a?(b?c)=(a?c)b?(a?b)c (附 1.21) 证明: 很明显 m?a?(b?c)必定在 b 与 c 所在的平面, 假设 m?kb?hc 那么 11m?a?k(b?a)?h(c?a)?a?
12、(b?c)?a?0 从中可以得到 k?hc?a(b?a) 所以 m?h?(a?c)b?(a?b)c? 上式对所有的 a,b,c 都应成立。为了求出 h 的值, 我们假设 a?b?i,c?j, 那么 m?a?(b?c)?i?(i?j)?i?k?jm?h?(a?c)b?(a?b)c?h?(i?j)i?(i?i)j?hj 比较可得 h?1，从而，式 (附 1.21) 成立。 以下是哈密尔顿算子?的常用公式 1) ?(A?B)?A?B?B?A 122) ?(A?B)?(AC?B)?(A?BC)?B?(?A)?A?(?B) 3) ?(A?B)?(AC?B)?(A?BC) ?A(?B)?(A?)B?B?(
13、?A)?(B? )A4) ?(?A)?(?A)?(?)A?(?A)?A 5) 高斯公式 ?6) 格林公式 ?SA?ndS?AdV? ?Ads?AdS nlS 5 7) 斯托克斯(G. G. Stokes)公式 ?A?ds?A?ndS lS 附 2 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为 qi?qi(x1,x2,x3),i?1,2,3 或者 xi?xi(q1,q2,q3),i?1,2,3 沿曲线坐标线 qi 的微元长度(平分)为 ?dsi?2?xj?dqi?j?1?qi?32?xj?q?dqi j?1?i?32 如果记 Hi?xj?q? 13(附 2.1) j?1?i?32 那么 d
14、si?Hidqi 我们把 Hi 称为 Lame 系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为 qdq,j dSij?dsidsj?HiHdjii,?j1, 2 (附 2.2) ds2ds? dV?ds13H1H2H3dqdq2d q (附 2.3) 1 在直角坐标系统中一般弧线的长度为 3 ds?dx1?dx2?xd3?2222?i?1xdxid i 在曲线坐标系中的长度表示为 22222?H2dq2? ds?H1dq1H3d q 3 (附 2.4) 2 空间中任意一点在直角坐标系中的表示为 r?x1i1?x2i2?x3i (附 2.5) 其中 ij 为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。
15、在曲线坐标系中 14?r?qi3?j?1?xj?qiij (附 2.6) 其长度为 ?r?qi?xj?q?Hi j?1?i?32 所以有 ?r?qi?Hiei (附 2.7) 其中 ei 为沿曲线坐标系的单位矢量。 6 7) 斯托克斯(G. G. Stokes)公式 ?A?ds?A?ndS lS 附 2 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为 qi?qi(x1,x2,x3),i?1,2,3 或者 15xi?xi(q1,q2,q3),i?1,2,3 沿曲线坐标线 qi 的微元长度(平分)为 ?dsi?2?xj?dqi?j?1?qi?32?xj?q?dqi j?1?i?32 如果记 H
16、i?xj?q? (附 2.1) j?1?i?32 那么 dsi?Hidqi 我们把 Hi 称为 Lame 系数。同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为 qdq,j dSij?dsidsj?HiHdjii,?j1, 2 (附 2.2) ds2ds? dV?ds13H1H2H3dqdq2d q (附 2.3) 1 在直角坐标系统中一般弧线的长度为 3 ds?dx1?dx2?xd3?2222?i?1xdxid i 在曲线坐标系中的长度表示为 22222?H2dq2? ds?H1dq1H3d q 3 16(附 2.4) 2 空间中任意一点在直角坐标系中的表示为 r?x1i1?x2i2?x3i (附 2.5) 其中 ij 为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。在曲线坐标系中 ?r?qi3?j?1?xj?qiij (附 2.6) 其长度为 ?r?qi?xj?q?Hi j?1?i?32 所以有 ?r?qi?Hiei (附 2.7) 其中 ei 为沿曲线坐标系的单位矢量。 6 17百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆!
