1、抛物线专题复习知识点梳理：抛物线)0(2pxy)0(2pxy)0(2pyx)0(2pyx定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl =点 M 到直线 的距离l范围 0,xyR0,xyR,0xy,0xRy对称性 关于 轴对称 关于 轴对称( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p焦点焦点在对称轴上顶点 (0,)O离心率 =1e2px2px2py2py准线方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离 p焦半径 1(,)Axy12pFx12AFx12pAFy12pAFyxy
2、OlF xyOlFlFxyOxyOlF焦 点弦 长AB12()xp12()xp12()yp12()yp以 为直径的圆必与准线 相切ABl若 的倾斜角为 ，则AB2sinp若 的倾斜角为 ，则AB2cospAB124x21yp焦点弦的几条性质 1(,)xy2BAFBF切线方程 00()ypx00()ypx00()xpy00()xpy一直线与抛物线的位置关系直线 ，抛物线 ，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l0，直线 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物
3、线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 ： 抛物线 ，lbkxy)0(p联立方程法：pxy20)(22bxpo x2,yFy 1,A设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出)(1yxA)(2B021,x， bxkbky12121 2121121 )()( bxkbky 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦 AB 的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2抛物线练习1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物
4、线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 2、已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（ 0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的x最小值为 3、直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，3yx24y,AB, ,PQ则梯形 的面积为 AQB4、设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴正向的夹角为OF2(0)ypxAFAx，则 为 605、抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点24yxlF3x， ，垂足为 ，则 的面积是 AKl AK6、已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交
5、点为 ，点 在 上且 ，则2:8CxKAC2KAF的面积为 F7、已知双曲线 ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 2145xy8、在平面直角坐标系 中，有一定点 ,若线段 的垂直平分线过抛物线 则该抛物o(21)AO2(0)ypx线的方程是 。9、在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方xyx程是 10、抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 2y4380y11、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22 的最小值是 12、已知点 , 是抛
6、物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 ,1()Ax2()B12)x2(0pxOA满足 .设圆 的方程为 。OBAOBC21212()()0xyxy(1) 证明线段 是圆 的直径;(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为 时，求 p 的值。5解： (1)证明: ，22,()()OABOABO，22 整理得: ， (1)012120xy以线段 AB 为直径的圆的方程为，22221111()()()()4xyxy展开并将(1)代入得: ，2220x故线段 是圆 的直径ABC(2)解: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1
7、212|()|5xyd， ，又因 ， ，2211,(0)ypxp214xp12120xy1212xy， ， ，2114y1212,0xy 2124yp，21122 21121|()()| ()8|545ypd p 21()45yp当 时,d 有最小值 ,由题设得 ， .12yp13、已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆OAB2yxOCOAB（点 为圆心）C（1）求圆 的方程；（2）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线M22(47cos)(7cos)1xyMP，切点为 ，求 的最大值和最小值PEF， E， CF，（1）解：设 两点坐标分
8、别为 ， ，由题设知AB， 1()xy， 2()，又因为 ， ，可得 即22xy21y2221xx由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在1212()0xx02AB， C轴上设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以xC()r， A3r，23rr4圆 的方程为 2(4)16xy（2）解：设 ，则 EFa 2|cos216s3cos16CEFAA在 中， ，由圆的几何性质得RtPC 4cos|xP， ，|17M 8|176M所以 ，由此可得 则 的最大值为 ，最小值为 2cos3 9CEFA CEFA169814、如图，已知点 ，直线 ， 为平面上的动点，(0)F， :lxP过 作直线 的垂线，垂足为点 ，且 PlQQ（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ，已知 ， ，求FAB， lM1AF2MBF的值；1解：（1）设点 ，则 ，由 得：()Pxy， (1)Qy， PFQA，化简得 (0)22xAA， ， ， ， 2:4Cyx（2）设直线 的方程为 B(0)xmy设 ， ，又 ，1()xy， 2()， 1M，联立方程组 ，消去 得：41xmy， ， ，故20y2()0Oyx1lFPBQMFOAxy124ym，由 ， 得：1MAF2B， ，整理得：12yyy， ， 11m221212my12ymA4mA0
