1、1第一章 函 数概念导入1、集合（子集，真子集、空集、补集、全集等表示和关系）2、映射（定义，一一映射）3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定 义 设 x 和 y 是 两 个 变 量 ， D 是 实 数 集 的 某 个 子 集 ， 若对 于 D 中 的 每 个 值 x， 变 量 y 按 照 一 定 的 法 则 有 一 个 确定 的 值 y 与 之 对 应 ， 称 变 量 y 为 变 量 x 的 函 数 ， 记 作 y=f(x).自 变 量 x、 因 变 量 y映 射 角 度 函 数 定 义 ： 定 义 在 非 空 数 集 之 间 的 映 射 称 为 函 数要 点1、对 应 法 则 和 定 义
2、 域 是 函 数 的 两 个 要 素2、 函 数 是 一 种 关 系3、 函 数 两 组 元 素 一 一 对 应 的 规 则（ 这 种 关 系 使 一 个 集 合 里 的 每 一 个 元 素 对 应 到 另 一 个 集 合里 的 唯 一 元 素 ； 第 一 组 中 的 每 个 元 素 在 第 二 组 中 只 有 唯 一的 对 应 量 ）21、 复 合 函 数 ： y 是 u 的 函 数 ， y （ u） ， u 是 x 的 函数 ， u f（ x） ， y 通 过 中 间 变 量 u 构 成 了 x 的 x u y， 注 意 定 义 域 。 y lgsinx2、 反 函 数 ： x y, y
3、x,性 质 ：1、 一 一 映 射2、 单 调 函 数分 类 ：一 次 函 数 y=kx+b二 次 函 数 y=ax2+bx+c（ a， b， c 为 常 数 ， a0) 反 比 例 函 数 y=k/x (k 为 常 数 且 k0)指 数 函 数 y=ax(a0,a1)对 数 函 数 y logax（ a 0）幂 函 数 y=xa三 角 函 数 (正 弦 ， 余 弦 ， 正 切 ， 余 切 ， 正 割 ， 余 割 ) 常 用 方 法 ：待 定 系 数 法平 移 变 换 法数 形 结 合 法注 ： 注 意 自 定 义 （ 抽 象 ） 函 数 等 学 习 应 用 ， 培 养 逻 辑 思 维。3第
4、一 节 函数的一般化应用解析1-1-1 函数的值域方法：1、巧用定理，整体变换。（1）函数 的 最小值；3cossin2xy（2）已知： ， 、 ,求 范in5i32R22cosu围.2、借题发挥，分式转化双曲线。型求值域和画图的一般化应用。bcad,0cxbay（1）作函数 的图象123xy（2）求函数 的值域451-1-2 函数的奇偶性要 点判断函数的奇偶性前提是：函数的定义域必须关于原点对称。（1）若 为 偶 函 数函 数为 奇)()(xfyxff（2）奇函数 ;0)(fy在 原 点 处 有 意 义（3）任一个定义域关于原点对称的函数 一定可以表示成一个奇x函数和一个偶函数之和4即 上上
5、2)()(2)( xfxfxf 例 题：（1）定义在 上的函数 可以表示成奇函数 g(x)与偶函数),()(xfh(x)之和，若 ，那么（ ）10lg(xfA、 )20l),)xhB、 )1lg(,1lg(2( xhx xx C、 2)0l(),)(hxD、 )1lg(),2)(xgx1-1-3 函数的单调性常见于证明类问题，单调性证明一定要用定义。定 义区间 D 上任意两个值 ，21,x若 时有 ，称 为 D 上增函数，21x)(1ff)(f若 时有 ，称 为 D 上减函数。2xx性 质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。证明办法：作差法：若 x1
6、0 单调递减若 x10 单调递减若 x10 单调递增讨 论 复合函数的增减问题(x)为增函数，f(x) 为增函数，y 为增函数(x)为增函数，f(x) 为减函数，y 为减函数(x)为减函数，f(x)为增函数， y 为减函数)x(fy(x)为减函数，f(x) 为减函数，y 为增函数（1） 设 为奇函数，且在区间a,b (00 时 ， 开 口 方 向 向 上 ，a0 时 ， 函 数 在 x= -b/2a 处 取 得 最 小 值 f(-b/2a)=4ac-b2/4， 在 x|x-b/2a上 是 增 函 数 ； 抛 物 线 的 开 口 向 上 ； 函 数 的 值 域 是x|x4ac-b2/4a。 相
7、反 亦 然 。例 题 应 用 解 析 ：1 如 图 13-28 所 示 ， 二 次 函 数 y=x2-4x+3 的 图 象 交 x 轴 于 A、 B 两 点 ， 交 y 轴 于 点 C， 则 ABC 的 面 积 为 ( ) A、 6 B、 4 C、 3 D、 1 2 心 理 学 家 发 现 ， 学 生 对 概 念 的 接 受 能 力 y 与 提 出 概 念 所 用 的时 间 x(单 位 ： 分 )之 间 满 足 函 数 关 系 ： y=-0.1x2+2.6x+43(0 x 30)。 y 值 越 大 ， 表 示 接 受 能 力 越 强 。 (1)x 在 什 么 范 围 内 ， 学 生 的 接 受
8、 能 力 逐 步 增 强 ？ x 在 什 么 范围 内 ， 学 生 的 接 受 能 力 逐 步 降 低 ？ (2)第 10 分 时 ， 学 生 的 接 受 能 力 是 什 么 ？ (3)第 几 分 时 ， 学 生 的 接 受 能 力 最 强 ？ 3 某 商 店 经 销 一 种 销 售 成 本 为 每 千 克 40 元 的 水 产 品 据 市 场 分析 ， 若 按 每 千 克 50 元 销 售 ， 一 个 月 能 售 出 500 千 克 ； 销 售 单 价每 涨 1 元 ， 月 销 售 量 就 减 少 10 千 克 针 对 这 种 水 产 品 的 销 售 情况 ， 请 解 答 以 下 问 题 ：
9、 (1)当 销 售 单 价 定 为 每 千 克 55 元 时 ， 计 算 月 销 售 量 和 月 销 售利 润 ； 11(2)设 销 售 单 价 为 每 千 克 x 元 ， 月 销 售 利 润 为 y 元 ， 求 y 与x 的 函 数 关 系 式 (不 必 写 出 x 的 取 值 范 围 )； (3)商 店 想 在 月 销 售 成 本 不 超 过 10000 元 的 情 况 下 ， 使 得 月销 售 利 润 达 到 8000 元 ， 销 售 单 价 应 定 为 多 少 ？ 4某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 （件）与每件的销售价 （元）满足一次函数：（1
10、）写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的销售价 间的函数关系式.（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 的边 米，面积为 平方米.（1）求： 与 之间的函数关系式，并求当 米时， 的值；（2）设矩形的边 米，如果 满足关系式 即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.第三节 三角函数12知 识 点 回 顾角 角 的 静 态 定 义 ： 具 有 公 共 点 的 两 条 射 线 组 成 的 图 形 叫 做 角。 这 个 公 共 端 点 叫 做 角 的 顶 点 ， 这
11、两 条 射 线 叫 做 角 的 两 条 边 。角 的 大 小 与 边 的 长 短 没 有 关 系 ； 角 的 大 小 决 定 于 角 的 两 条 边 张 开的 程 度 ， 角 可 以 分 为 锐 角 、 直 角 、 钝 角 、 平 角 、 周 角 这 五 种 。锐 角 ： 小 于 90的 角 叫 做 锐 角直 角 ： 等 于 90的 角 叫 做 直 角钝 角 ： 大 于 90而 小 于 180的 角 叫 做 钝 角平 角 ： 等 于 180的 角 叫 做 平 角周 角 ： 等 于 360的 角 叫 做 周 角 角 的 动 态 定 义 ： 一 条 射 线 绕 着 它 的 端 点 从 一 个 位
12、置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 形 成 的 图 形 叫 做 角 。 所 旋 转 射 线 的 端 点 叫 做 角 的 顶 点 ，开 始 位 置 的 射 线 叫 做 角 的 始 边 ， 终 止 位 置 的 射 线 叫 做 角 的 终 边 。角 的 范 围 可 扩 大 到 实 数 R。A=a+2k(k Z)角 的 度 量弧 度 与 角 度在 数 学 中 ， 弧 度 和 角 度 是 角 的 量 度 单 位 。定 义 ： 弧 长 等 于 圆 半 径 的 弧 所 对 的 圆 心 角 为 1 弧 度 。弧 长 公 式 ：13弧 度 和 角 度 变 化 公 式)n(180r )(L为 角 度弧 长 （
13、r=1） 。1-3-1 三角函数的初等基本表示正 弦 余 弦 正 切 余 切 正 割 余 割在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 从 点 O 引 出 一 条 射 线 OP， 设旋 转 角 为 ， 设 OP=r， P 点 的 坐 标 为 （ x， y） 有正 弦 函 数 sin=y/r余 弦 函 数 cos=x/r正 切 函 数 tan=y/x余 切 函 数 cot=x/y正 割 函 数 sec=r/x余 割 函 数 csc=r/y（ 斜 边 为 r， 对 边 为 y， 邻 边 为 x。 ）1-3-2 三角函数的数值符号及特殊值函 数 名 称 第 一 象 限 第 二 象 限 第 三 象
14、 限 第 四 象 限正 弦 + + - -余 弦 + - - +14特 殊 角 的 三 角 函 数 值例 题1. sin(- )的值是 ( )619A. B. - C. D. -2123正 切 + - + -余 切 + - + -正 割 + - 1 +余 割 + + - -函 数 名 称 0 30 45 60 90正 弦 0 212231余 弦 1 310正 切 0 1 3-余 切 - 31正 割 1 222 -余 割 - 2 31152. 若 sin cos0,则 在( )A. 第一,二象限 B. 第一, 三象限 C. 第一, 四象限 D. 第二, 四象限5设 tan= ,tan= ,、 均
15、为锐角，则 +2 的值是 ( )713A. B. C. D. 444543或2当 x (kZ)时， 的值是 ( )xcotsaniA.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定6如果角 满足条件 sin 0,cos 0,a1)性 质 ：（ 2） 指 数 函 数 的 值 域 为 大 于 0 的 实 数 集 合 。（ 3） 函 数 图 形 都 是 下 凹 的 。（ 4） a 大 于 1， 则 指 数 函 数 单 调 递 增 ； a 小 于 1 大 于 0，则 为 单 调 递 减 的 。（ 5） 函 数 总 是 在 某 一 个 方 向 上 无 限 趋 向 于 X 轴 ,永 不 相 交。（ 6） 函 数
16、总 是 通 过 （ 0， 1） 点（ 8） 显 然 指 数 函 数 无 界 。 （ 9） 指 数 函 数 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 。（ 10） 当 两 个 指 数 函 数 中 的 a 互 为 倒 数 时 ， 两 个 函 数 关 于y 轴 对 称 ， 但 这 两 个 函 数 都 不 具 有 奇 偶 性 。1-4-1-3 指数函数的应用比 较 大 小1、 同 幂 不 同 底2、 同 底 不 同 幂方 法1、 比 （ 差 ） 商 法以 y 轴为分界线分情况讨论282、 函 数 单 调 性 应 用 法3、 中 值 法第五节 对数函数1-5-1 对数定义及性质定 义 ：一 般 地
17、 ， 如 果 a（ a 大 于 0， 且 a 不 等 于 1） 的 b 次 幂 等 于N， 那 么 数 b 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 ， 记 作 ， 其 中 a 叫Nloga做 对 数 的 底 数 ， N 叫 做 真 数 。底 数 a 则 要 大 于 0 且 不 为 1对 数 的 运 算 性 质当 a0 且 a1 时 ,M0,N0， 那 么 ：（ 1） logllogaaa（ 2） llogl aaa（ 3） （ n R）nllogaa（ 4） 换 底 公 式 ： (b0 且 b1）alogMloga（ 5） bbal1lo29（ 6） Maalog（ 7） Naal1l（ 8）
18、 raar loglog（ 9） MrsMasar ll对 数 与 指 数 之 间 的 关 系当 a0 且 a1 时 , NlogxNax对 数 函 数 的 常 用 简 略 表 达 方 式 ： （ 1） 常 用 对 数 : bloglb10（ 2） 自 然 对 数 : llnee=2.718281828. 通 常 情 况 下 只 取 e=2.71828 对 数 函数 的 定 义 。1-5-2 对数函数定义及性质对数函数的一般形式为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线 y=x 对称的两函数互为反函数） ，可表示为 x=ay。因此指数函数里对于 a 的规定（a0 且 a1）
19、，同样适用于对数函数。性 质30定 义 域 ： （ 0， +） 值 域 ： 实 数 集 R定 点 ： 函 数 图 像 恒 过 定 点 （ 1， 0） 。单 调 性 ： a1 时 ， 在 定 义 域 上 为 单 调 增 函 数 ， 并 且 上 凸 ；0a1 时 ， 在 定 义 域 上 为 单 调 减 函 数 ， 并 且 下 凹 。奇 偶 性 ： 非 奇 非 偶 函 数 ， 或 者 称 没 有 奇 偶 性 。周 期 性 ： 不 是 周 期 函 数零 点 ： x=1例 题1 的值是 （ 3log928）A B1 C D2232若 log2 =0，则 x、y、z 的大小)(logl)(logl)(log 51531321 zyx关系是 （ ）Azxy Bx yz Cy zx Dzyx3. 已知 x1是方程 的一个根, 是方程 的一个根, 3lg2310那么 的值是 ( )2A. 6 B. 3 C. 2 D. 14. 则 的值为 ,0zloglyloglxlogl 32424342 zyx( )A. 50 B. 58 C. 89 D. 1115. 当 时, 在同一坐标系中 , 函数 与 的图象是图中1a xayxloga的 ( )
