1、1拉格朗日中值定理证明 拉格朗日中值定理的证明方法第卷第期年月高等数学研究，辅导篇拉格朗日中值定理的证明方法张喆，张建林，姜永艳（）中原工学院理学院，河南郑州摘要 分类总结拉格朗日中值定理的各种证明方法，并加以分析讨论，以求深化对微分中值定理的理解文献标识码 （）文章编号 关键词 微分中值定理；证明；辅助函数中图分类号 2微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理论微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件和结论可以看
2、出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推广本文着重讨论的就是拉格朗日微分中值定理的证明人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性目前，对微分中值定理的证明方法，除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学习借鉴的方法基于微分中值定理的重要意同时为了使老师、学生都能更加全面、深入地理义，解微分中值定理，掌握其证明技巧，本文对几种典型进行了分类总结的证明方法行化归来实现下面就是从分析的角度构造出辅助函数的若干方法） 原函数构造法为了利用罗尔定理来
3、推证，以从后向前推的思路，构造3一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值定理的结论要从罗尔定理的结论（）中推出拉格朗日定理的结论） ） （，（）显然只需要） ） （） ）由于一次函数的导数是常数，可以猜想出（或通过两边积分）得到辅助函数应设为） ） （）（），其中为常数由验证可知，它满足罗尔定理三个条件，为计算方便起见，可取） 参数变易法目的仍然是构造一个函数（）且满足 利用构造辅助函数方法证明微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是通过构造辅助函数来完成的，但是如何辅助函数却是一个难点问题下面针对构造辅助函数的方法分别从几何和分析角度加以分析 分析法
4、由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理所以证明4拉格朗日之间存在着一般与特殊的关系，和柯西中值定理的方法可以利用向罗尔中值定理进；收稿日期：修改日期：，作者简介：张喆（女，河南郑州人，硕士，讲师，主要从事组合）：最优化研究；，张建林（男，河南洛阳人，硕士，讲师，主要从事微）：分方程研究（）（） 这时若令，（）（）（其中和是任意实数，那么，（）（）（，（）（）（要使以上两式相等，只需）（），（故仍然可设参数（） ） （，由此所得（）即可满足要求5） 行列式法由于要求，（）（）故可根据行列式的性质，设高等数学研究年月或者） （） （） （） （） （） （如此所得辅助函数均满足（）（）， （ （
5、）如此所得辅助函数满足（）（）其实，曲线与任何一条平行于弦的直线为简单在和两处的高度差皆对应相等，起见，不妨取平行于弦且过原点的直线为参考，构造辅助函数（）（） 利用弦倾角法目的同前设连接连续曲线（）：，） （） ，两端点和的弦为图其倾倾斜角为 ，则（） ） ， （）（）6如此所得辅助函数也满足要求） 利用面积构造辅助函数）不难发现，曲线上任意一点（与弦，）（，组成的的面积（）恰好在区间，上满足罗尔定理的三个条件根据向量积的几何意义不难证明，的面积） ） （，也即有（） （） ，（）， （ （）因此只需构造辅助函数所以可令（）（） ，如此所得辅助函数（）即可满足要求（）（） 7） 旋转坐标轴法
6、按弦可使新坐标系的倾斜角旋转坐标系，的轴与原坐标系中的弦则原曲线的方平行， ）图程在旋转变换下必定满足罗尔定理的条件（显然，旋转角（） ） （，图 曲线及其弦 几何法利用数形结合的思想来解决数学问题有着非常直观的效果，对于微分中值定理的证明，利用几何图形的特性观察分析，同样可以作出合适的辅助函数下面分不同方法加以说明） 作差构造辅助函数因为曲线与其弦分别在和两） ，处的高度对应相同（图所以，不妨考虑通过曲线方程和弦方程的差来构造辅助函数，也即令） （）（） （） （） （） ，（可令图 坐标系旋转根据新旧坐标之间的关系8 ， （）（ 可以验证，此即为满足要求的辅助函数第卷第期张喆，张建林，姜永
7、艳：拉格朗日中值定理的证明方法 特殊方法 利用区间套定理证明（引理区间套定理） 如果闭区间系列 利用巴拿赫不动点定理证明（引理巴拿赫不动点定理） 在完备的度量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点显然，任意闭区间在通常的欧几里得度量下是由此可证在完备的，上凸或凹的函数（）的拉格朗日中值定理上构对任意小的 ，在闭区间，造自映射满足条件，9，（，）（） ，则存在唯一实数 且有，引理 如果（在上连续，那么必），定存在，使得（，） ） （） 可以证明是一个压缩映射，事实上，对于 ，不妨设，） （） ） ） （使用引理和引理，即可证明拉格朗日定理 ，反复使用引理可得区间序列满足，）（10，则有（，（）假设（
8、在区间上是凹的，那么，在区），（）内单调增加，间所以，（） ） （） （由区间套定理得必有） ，）， （，（使得因为（所以由导数定义得）在 处可导， （） （）（） （） ， 从而当时，有（） （） ） （） ，（）（） （） ） （） ，（）（）（）（） ，11又因为（） （），（） （），（），） ，从而一定存在一个数 （使得，（）因此） （所以是闭区间上的压缩映射由引理，存在唯一的一点 （使得知，），于是有） ） （） ，（由此可证拉格朗日中值定理 结论通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分
9、析总结，分析法构造辅助函数主要有：原函数构造法、参数变易法、行列式法、利用弦的倾角法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异12曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法、巴拿赫不动点证明法通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入） ）所以（） ，（）从而有） ） （）由此可证拉格朗日定理第卷第期年月高等数学研究，微分中值问题中辅助函数的构造程式朱双荣（）武汉船舶职业技术学院公共课部，湖北武汉摘要 给出解决微分中值问题时，所需辅助函数的构造
10、程式，并通过实例加以详细解释所给程式具有一定可帮助学生掌握同类问题解决方案中的规律性的可操作性，13关键词 微分；辅助函数；中值问题；程式中图分类号 文献标识码 （）文章编号 在微分学中，对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明都是通过构造适当的辅助函数，使这个函数满足罗尔定理的条件来实现的事实上，在微分中值问题中，有很多命题的证明都是要通过构造一个辅助函数才能很好地解决虽然构造辅助函数有多种方法，但是学生们还是不易掌握其中的规律，有时甚至本文给出辅助函数的一种构造程式，感觉无从下手以使部分中值问题的解决思路变得有规律可循对于区间构造辅助函数，上的中值问题，的程式化思路大体如下：）将待证关系式变
11、形，使得含有，的所有表达式只出现在关系式的一侧，而所有不含，的表达式出现在关系式的另一侧，并用代替，即得到）对上述一侧为的关系式再次变形，使，分别分离在关系式的两侧，并使两侧分别关于，具有相同的结构形式，即得到（，）（，） 14）根据上述两端具有相同结构的关系式，可得辅助函数，即得到，（）（，） （现在先用上述程式来证明大家熟悉的拉格朗日中值定理（例拉格朗日中值定理） 如果函数（在闭区间在开区间（那，上连续，）内可导，么在（使得，）内至少存在一点 ，（） （）证明 对待证关系式进行变形，有，）（；收稿日期：修改日期：，作者简介：朱双荣（女，湖北武汉人，学士，副教授，主要从事）：高等数学的教学与
12、研究） ） （），）（）（故可得辅助函数欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍15欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍参考文献华东师范大学数学系数学分析：上册北京： 版高等教育出版社，：同济大学数学系高等数学：上册北京：高等 版教育出版社，：刘新民关于微分中值定理的一般形式及其证明方法的 （）：统一青岛化工学院学报，徐礼卡参数变易法在两个微分中值定理证明中的应用 （）：宁波教育学院学报，许在库用区间套定理证明定理、定 （）：理安徽大学学报，张恭庆，林源渠泛函分析讲义：上册北京：北京大 学出版社，：16 ， ， （， ，） ： ：， 17百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
