1、第一专题 函数的极限与连续一、函数概念与极限（一）函数的概念与性质（重点内容）（1） 求函数的定义域（重点是复合函数的定义域） 。（2） 判定函数是否相同（主要考察定义域和对应关系） 。（3） 求给定函数的复合关系或把复合函数折分成基本初等函数。（4） 求给定函数的反函数或反函数的值。（5） 判定函数的几何特性（重点是奇偶性、有界性、周期性） 。（二） 、极限的基本概念（1）数列极限的定义。（2）函数极限的定义；无穷小与无穷大；极限与无穷小的关系。（3）极限的性质：运算性质和保号性。（4）极限存在定理。（三） 、常见题型分析与讲解1 基本概念与性质（1）设 的定义域为 ，则 的定义域为（ A
2、）)(xf),()(xfA ， B ， C ， D 。0,22,02,0解 令 ，则当 时， ，故选 A。1xu)1,()(u（2）若 ， ，则 （ A ）)(f xulg1fA 1， B 0， C 1， D 2。解 因为 ，所以 ，故选 Axulg)( 10lg|)(01f（3） 下列函数相同的是（ B ）A 和 ， B 和 ，2)(f 24)(x)(xf x2cossin)(C 和 ，xf2),sinarcgD 和 。l2)(2l)(x解 比较所给四组函数的定义域可知，只有 B 满足函数相等的全部条件，所以选 B。（4）设 为偶函数， 为奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ D ）)(xf)
3、(gA ， B ， C ， D 。gxf)(xf)(xg解 因为 是偶函数；)()()(fxf是偶函数；是偶函数；)()(xff是奇函数，故选 D)()()( xggx（5） ，则 （ ）1y21fA 3， B 3， C 1， D 1解 根据反函数与直接函数之间的关系， 的值就是求当直接函数的值为 2 时其)2(1f自变量的值为多少。由 得21x，即 ，故选 A3x（6）函数 在 为偶函数，已知当 时 ，则当)(f, 0,1xxf2)(时，其表达式为（ B ）1,0xA ， B ， C ， D 。x2x2x2x2解 当 时， ，则当 时，0,f)( 1,0xxxf 22)(故选 B（7）已知
4、，且当 时， ，则 （ C ）g1)(0gf1)()2(fA 3， B 3， C 1， D 1。解 因为 就是当 时 的值，所以，由)2(f2)(xxf)(得 ，于是 ，故选 C。x11|2f（8）下列函数是偶函数的是（ C ）A ， B ， C ， D 。xcos2sinxxsinxlncos解 由奇函数与奇函数的乘积是偶函数，故不选 A；由于 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不选 B 和 D，所2in),0lco),0(以选 C。（9）设 ，则 是（ B ）)1l()2xxf)(fA 偶函数， B 奇函数， C 非奇非偶函数， D 无法作出判定。解 因为 )()ln()(2f 21ln1l
5、 xx)1ln(2x所以 是奇函数，故选 B。)(xf（10）下列函数在给定区间上有界的是（ B ）A ， B ，20,sinx0,xeC ， D ta 2cosln解 通过作各个函数的草图可以知道应该选 A。（11）设 ，则 的周期为 。xfcos)()(f解 因为 的周期为 ，所以2xcos)()( 故 的周期为)xf（12）设 ， ，则)1ln(xxf)()(1xe解 因为 ，所以f，即xe)()(xe2 基本计算求数列极限的常用方法（1）利用极限存在准则（单调有界数列必有极限；夹逼法；重要极限求极限en)(lim（2）利用级数收敛的必要条件求极限（3）化为极限表达式为定积分和式，用定积
6、分求极限求函数极限的常用方法（1）罗必塔法则（ ； ； ； ； ； ） ； 010（2）利用重要极限 ， 求极限；。sinlmxexx)(li0（3）利用等价无穷小求极时常用的等价无穷小：0x； ； ； ；sintaarcsi xarctn； ； ； ；ex1x)l(x1)(21os这些方法中首选方法是罗必达法则，最主要的技巧是等价无穷小代换。求函数极限的重点是应用罗必塔法则求极限，难点是分段函数的极限和极限表达式中的常数的确定。3、典型例题(一) 数列极限应用数列求和公式把所求的数列式变成可以利用公式 的形式)(limxQPnx1 )32(64limnn解 因为 )1(2)()321( nn
7、所以， 4)3(1lim)(3264li nnn2 )(lim4nn解 因为 212121214 nnnn 所以 lim)(li 211lim224 nnnn含有 项之和或积的极限式一般用两边夹法则或转化为定积分求解。n3 )121(lim22 nn 解 因为 1122222 nn而 0limli22nn根据两边夹法则知，）)121(li 22nnn 4 !limn解 因为 ， ，所以nn21!1230n，由两边夹法则知 。n4!200!2limn利用积分和式求极限，是求极限的一种重要方法，其关键是对极限表达式进行适当的变化，使之成为某个函数在一个相应区间上的积分和。5 )21(lim22nn
8、n 解 对所给的各式的分子、同除以 得 nin nn12222 )(lm)1(li 可以看出，上式右端的和式是函数 在区间 上 等分时的积分和，故21)(xf,0n21(lim2nnn 4arct02dx6 nnn1222)()1()(li解 令 ，则ny1222)()()( )l()l()1ln(l 222 ii)l(12因为上式右端的和式是函数 在区间 上 等分时的积分和，故ln2x1,0nini)1l(m2dxxdx 102210 |)l()l(2ln12ln01 dxdx即 nnn1222)()()(lim 24le7 nn1)()1(li解 令 ，则ny1)()2()l(l1lnl
9、，所以ii)l(1101)ln()ln(imlni dxiy，故2l|l0xxnn 1)()21(li 1l4e利用级数收敛的必要条件可以求一些极限等于 0 的数列极限，其方法是以所论的数列为一般项作级数，并说明该级数收敛，从而得出相应的结论。8 求 )!2(limn解 考察级数 ，由比值判别法知12)!(n14)2(1lim)!2(/(li nnn所以级数 收敛，由级数收敛的必要条件知一般项趋于 0，即1)!(n0)!2(limn9 !2limn解 设级数为 ，则由比值判别法知1!n102lim!)(2lili1nunn所以级数 收敛，故1!n!lin对一些数列极限可以灵活采用多种方法，不必
10、拘泥于某种特定的方法，关键是自己熟悉，方法简便。10 求 1)(limnn解 方法一：利用重要极限得：0.1)()1(li)1(li ennn方法二：利用级数收敛的必要条件，考察级数 11)(nn由比较法的极限形式知)1(lim/)1(li2enn知级数 收敛，故11)(nn 0)(li1nn（二）函数的极限当极限式是两个无穷小之比时，如果可以应用等价无穷小代换的，都应该先作代换，再求极限，减少使用罗必塔法则的困难1 31arcsin)l(mxx解 因为当 时， ， ，所以331)l(x331arcsinx。li1arcsin)l(331 xxx在应用罗必塔法则时，如果不定式是 型，在化成 或
11、 型时，表达00式中的对数函数或反三角函数不能放在分母中。2 )ln1(lim30xx解 该极限是 型，又当 时， ，所以0xln)l1n()l(li30xx xlim3020i12inlim020xx在极限表达式中如果含有较多的对数运算，可以先利用对数的运算性质把原式化简，再考虑求极限的具体方法。3 ln)1l(2)ln(li xxx解 ）l)l()l(limx n1n2n)()( xxx2ll1li)(xxx 0)1ln(im)1n(in)( xxx4 nxxaalim112解 令 ，则nxxny112l)l(l 112aaxnxxn1应用罗必达法则，得 ，故nnxay21llimnxxx
12、aalim112 na21当极限表达式中含有变上限积分时，只能应用罗必塔法则。4 0322)(lixtxtde解 0322)(limxtte0142lim34li2180 xxxtx eed5 设 连续， ，求)(f )0(,)(ff xxdtf02)(li2解 先应用罗必塔法则，并注意到 只有连续而没有说明 可导，因此，应用)(f )(xf罗必塔法则时不能涉及 二阶导数。)(xfxxdtf02)(lim2xx xftf02)()(lixfdtf0)()(2li)(34lim20ffx因为 ，所以（在上式的分子分母同除以 ，并注意导数的定义）)(,)(f x原式 )(0)(34li20xfxf
13、x 1)0(34lim0ffx对 不定式，通常要经过极限表达式的恒等变换化成 。 06 )1ln(li2xx解 因为 ，作代换 ，则有)1ln(limli 2xxx ux2)1(li21li)1ln(im0020 uuuu对 型的不定式，通常通过取对数后化成 型，再化为 或 型；有时设法利用重要极限 是比较有效的。0 exx)(lim7 xx)arctn2(lim解 令 ，则y，所以xxnarctn2llx1arctn2l)arctn1(lim1rtlilim2xxyxxnx 2x)arct2(li2e7 210)sin(limxx解 因为 原式 210)arcsin(lixx3arcsina
14、rcsi0 )ri1(li xxx 又 203031limarcsinl xxxx ，61)1(3lim13li 22020 xxx所以 ，61arcsinarcsi0 3)arsin1(limexx即 6102)rci(liexx（三）确定极限式中的常数如果已知一个不定式的极限存在，且不定式的两个因式中一个因式的变化趋势确定，则另一个因式的变化趋势也相应地确定。1 已知 ，确定常数 的值。32limxaa解 因为 ，且 ，所以li2x 0)2(limx，即0)(liax2 已知 ，求常数 a 与 b。2132bx解 因为，2)13(lim)(lim2 xxax是当 时的 不定式且极限为 2，
15、又由于 0xli故必有 ，0)13(li2xbax即 ，或 。09把 代入原极限式得9a)13(lim2bxx269li2x所以 。1b即 ； 。a3、 ，求 C，A。)0()24(lim5 xxc解 因为 ，Axcxcx )24(limli 545而 ，故必有 ，xli 0)2(li45cx显然上式分子 的最高次幂是 ，根据有理分式函数极限的特点知，分c)24(5 5子的最高次数只能是 1，故 ，即 ；1又由于 ，)24(5)( 515xx所以，原极限，5)(1lim)241(lim5 xxxx即 。A于是 ， 。54c（三）选择题在考察分段函数的极限，应该注意两点：（1）分段函数在分段点处
16、的极限只能用定义去求；（2）极限与函数在一点是否有定义无关。1、设，则 （ ）0,13,sin)(xxf )(lim0xf（A）-2； （B ）-1 ； （C ）1； （D ）2。解 因为 )sin(lim)(li00 xxfx 1x所以 ，故选（B） 。1)(li0fx如果函数中含有绝对值，应首选去掉绝对值，通常是化为分段函数，再求极限。2、当 时，函数 的极限为0x0|)(xf（A）1； （B）-1； （C）0； （D）不存在。解 因为 001|)( xxf 且 ， ，所以当 时极限不存在，故选（D） 。lim0fx )(li0fx 03、当 时，与 等价的无穷小是（ ）（A） ；（B）
17、；（C ） ；（ D） 。xsin)1(2)ln(xxsin1解 因为 ，说明 是较 低阶的无穷小；xxsinlimli00 xsi，说明 是较 高阶的无穷小；0)1(li)1(li020xx )1(2x，说明 是与 等价的无穷；lim)ln(i00xx )ln(而 ，说明 是较 低阶的无穷小。xxsi1lsil00 xsi1故选（C） 。4、下列极限存在的是（ ）（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。1lim2x12li0xxsinlmxe10li解 因为 ，而其余几个极限均不存在，故选（A） 。lili22xxx二 函数连续与间断1、连续与间断的定义（1） 函数 )在 的某邻域 内有定义
18、,若 ，那(xfy0)(0xU)(lim00xfx末就称函数在点 处连续。或0如果自变量 的增量x 趋向于零时，若 ，那末就称函x )(li00fxf数在 处是连续的。0x（2）左、右连续左连续：如果 ，则函数在 处左连续。)(lim00xffx0x右连续：如果 则函数在 点处右连续0左、右、连续与连续的关系：函数在一点处连续，当且仅当函数在该点处左、右连续。函数的连续性：如果函数 在区间 内每一点都连续，则称函数 在区间)(xf),(ba)(xf内连续。如果函数 在区间 内每一点都连续，且在左端点 处右连续，),(ba a在右端点 处左连续，则称函数 在闭区间 上连续。x)(xf,（3）函数
19、间断的定义如果函数在 处不连续，就说函数在该点处间断。具体而言，间断点出现在a（i） 在 处无定义；（ii） 在 处在处无极限；（iii） 在)(xf )(xfa)(xf处左极限不等于右极限处。ax（4）间断点的分类（i）第一类间断点：左右极限存在的间断点称为第一类间断点。特别地，若左、右极限存在且相等，但不等于函数值，则称为可去间断点；若左、右极限存但不相等，则称为跳跃间断点） 。（ii）不是第一类间断点的间断点称为第二类间断点。第二类间断点的共同特点是，左极限或右极限至少有一个不存在。 （在第二类间断点中常见的有无穷间断点和无限振荡间断等。 ）2、连续函数的性质（1）连续函数的四则运算性质
20、（i）如果有限多个函数都在某点处连续，则这些函数的和（差）也是一个在该点连续的函数。（ii）有限多个在某点连续的函数的乘积，是一个在该点连续的函数。（iii）两个在某点连续的函数的商，是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。（2）反函数的连续性如果函数 在区间 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反)(xfyxI函数 也在对应的区间 上单值、单调增加（或单调减少）)(xxy If),(|且连续。（4）复合函数的连续性及其极限的求法设函数 当 时的极限存在且等于 ，即 ，而函数)(xu0aax)(lim0在点 连续，那末复合函数 当时 的极限也存在且等于)(fya)(xfy，即
21、)(af )(lim0afxfx（5）初等函数的连续性（i）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。（ii）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，是指包含在函数的定义域内的区间。（5）闭区间上连续函数的性质（i） （最大值和最小值定理）：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。（ii） （有界性定理）：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。（iii） （零点定理）： 设函数 在闭区间 上连续，且 与 f 异号，)(xf,ba)(af)(b那末在开区间 内至少有函数 的一个零点，使),(ba 0)(f（iv） （介值定理）：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 和最小值 之间
22、的Mm任何值。3、重点和难点：分段函数的连续性讨论，包括常数的确定。5、典型例题讨论分段函数连续性通常分为 2 步：（1）分段点处的左、右极限是否相等确定极限是否存在；（2）考察极限值是否等于函数值。若讨论分段函数在一个区间的连续性，则除了讨论分段点连续性外，还要叙述各部分区间（不包括分段点） 。（一）分段函数的连续性1 设函数 ，则结论（ ）正确21,0,)(2xxf (A)在 处间断； (B)在 处连续； (C)在 处间断，在0, 1,0x处连续； (D)在 处连续，在 处间断。1x0解 因为， ，所以 在 处间断；lim)(li00xfx )(lim)(li200xfx )(xf又 ，
23、，且 在 处连续，所以函数11x 11xf1在 处连续，故选（C） 。2 设 讨论函数的间断点并分类。0,1sin)l()23xxf解 （1）确定可能的间断点：当 时， ，其可能的间断点为 （ ） ；0xxfsin)(3nx,21当 时， ，则可能的间断点为 ；0x1sin)l()2xxf 1x又 是分段点，也是可能的间断点。故 是全部可能的间断点，而函数除了这些点外是连续的。 n,21,0（2）讨论各可能间断点的间断性及其对应的分类当 时， ，所以 都是函数的无穷间断x,0 xxsinlm30 ,320x点；当 ， ，10xxxxsi)1(lisil13令 ，则y 2sin)(1lim)1(
24、sin2lmsinl 0031 yyxyyx（事实上 ） ，但函数在 无定义，sico)( 1x即 是函数的可去间断点，特别地，若令 ，则函数在 处连续；0x 2)(f 0当 时， ，1sinsin)1l(im)(li 200xxfx )lisinlli 0300 fxxx所以， 是函数的跳跃间断点，即第一类间断点；当 时，因为 不存在，所以 不11il21x 1sin)1l(im)(li 21 xxf存在，故 是函数的第二类间断点。x如果函数中含有极限，要先求极限，得出函数的表达式，然后再讨论其连续性问题。3 设 ，讨论其连续性并作图。xxfn1lim)(2解 （i）求极限及函数的表达式当
25、时， ；1|x 1|li1li22nnxx当 时， ；1|x 1|lim1|li1lim222 nnnn xxx当 时， 。|x 0|lili22nnnxx即 1|,|,)(xf（ii）讨论函数的连续性当 时，1xlim)(li0101fxx当 时， li)(li0101fxx即 和 是函数的第一类间断点。1x（二）分段函数中参数的确定分段函数中的待定参数往往与其表达式中的极限或连续一类的问题相连，所以要特别分析隐含在题设中与连续性、可导性甚至导数有关的信息。1 设 ， 问为何值时， 在 点处左连续；当 为0,1cos,tan)(xbxf a)(xf0b何值时， 在 点处连续。)(f解 因为
26、，而 ，所以当 时 在1tanlimli00xfx 1)0(af 2a)(xf点处左连续；0x同理 ，所以当 时，函数右连续；bfxx )cos(li)(li0于是，当 ， 时，函数在 点处连续。2a12b0x2 设 ，问 为何值时，函数 在其定义域内连续。0,3in)(2xkf k)(xf解 函数在定义域内的连续表示函数在 ， 和 时都是连续的。0x0x因为 当 时， 是初等函数，故在其定义域内连续；0xxf2sin)(当 时， 是初等函数，故在其定义域内连续；k3而 ；xxfx)2(lim)(li00 2sinlm)(li00xfx又 ，故当 时，函数在 处连续，从而在其定义域内连续.kf
27、3 ，求常数 和 使函数在其定义域内连续。0,1,sin)(2xbaxf ab解 因为 ，1sinlm)(li-0x0xf，b)(i2-所以，当 时，函数在 时极限存在。1b又 )0(af因此，当 ，即 ， 时，函数在 处连续。21b0x由于当 时，函数是初等函数，所以当 ， 时，函数在其定义域内连续。x 2a1b4 ，求常数 和 使函数在其定义域内连续。1|,23|)(2xbaf解 因为 1,23,)(xbxaf又因为 2)(lim)(li11 bfxax2)(af所以，当 时，函数在 处连续；4b1x42)3(lim)(li11 bxfaxx2)(af所以，当 ，即 时，函数在 处连续。24ab2b1x由 得 ， ，所以31当 ， 时，函数在 、 处连续，而在其它各处函数是连续的，所3a21bx以函数在整个定义域内连续。
