1、拉格朗日中值定理教学设计教 学 设 计第六章 微分中值定理及其应用1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理） ，然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。二、教学重点与难点：1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基
2、石，只有基石牢固，大厦才能建的高。2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：1六、教学情境设计（1 学时）：1、知识回顾费马定理：设函数 f(x)在 x0 的某领域内有定义，且在 x0 可导。若 x0为 f 的极值点，则必有 f(x0)?0。它的几何意义在于：若函数 f(x)?在 x?x0可导，那么在该点的切线平行于 x 轴。2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西
3、定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理罗尔定理。定理 6.1 (罗尔(Rolle)中值定理) 若函数 f 满足如下条件： (i)f 在闭区间?a,b?上连续；(ii)f 在开区间?a,b?内可导；(iii)f?a?f?b?，则在?a,b?内至少存在一点?，使得f?0 . ?1?罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图 61)2证 因为 f 在?a,b? 上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m表示，现分两种情况来讨论：(1)若 m?M，则，f 在?a,b?上必为常数，从而结论显然成立(2)若 m?M，则因 f?a
4、?f?b?，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在?a,b?内某点?处取得，从而?是 f 的极值点由条件(ii) ，f 在点?处可导，故由费马定理推知f?0注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图 62)。3例 1 设 f 为 R 上可导函数，证明：若方程 f?x?0 没有实根，则方程 f?x?0 至多有一个实根证 这可反证如下：倘若 f?x?0 有两个实根 x1 和 x2(设 x1?x2)，则函数 f 在?x1,x2?上满足罗尔定理三个条件，从而存在?x1,x2? ，使f?0，这与 f?x?0 的假设相矛盾，命题得证3、类比学习，理解定理定理 6.2 (拉格朗日(Lagra
5、nge) 中值定理) 若函数满足如下条件：?i?f 在闭区间?a,b?上连续；?ii?f 在开区间 ?a,b?内可导，则在?a,b?内至少存在一点?，使得f?b?f?a? f?. ?2? b?a显然，特别当 f?a?f?b?时，本定理的结论(2) 即为罗尔定理的结论(1)这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形证 作辅助函数F?x?f?x?f?a?f?b?f?a?x?a? b?a显然，且 F 在?a,b?上满足罗尔定理的另两个条件故存在 ?(a,b), 使 F?a?f?b?0?，F?(?)?f?(?)?f(a)?f(b)?0 b?a4移项后即得到所要证明的（2）式。拉格郎日中值定理的几何意义
6、是：在满足定理条件的曲线 y?f(x)上至少存在一点（如图 63 所示 ） 。P(?,f(?)，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线 AB，定理的结论称为拉格朗日公式。4、升华、理解新知注解Note 1.定理的几何意义：在 y?f(x)上至少存在一点 P(?,f(?)，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线 AB。Note 2.定理只论证了?的存在性，?(a,b)，不知道? 的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a?b; （3 ） f(b)?f(a)?f?(a?(b?a)(b?a),o?1; （4
7、）5f(a?h)?f(a)?f?(a?h)h,0?1; （5） 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于 a?b，还是 a?b 都成立，而? 则是介于 a 与 b 之间的某一定数，而（4） 、 （ 5）两式的特点，在于把中值点 ?表示成了 a?(b?a)，使得不论 a,b 为何值，?总可为小于 1 的某一正数。例题讲解例 2 证明对一切 h?1,h?0 成立不等式h? ln(1?h)?h 1?h。证 设 f(x)?ln(1?x)，则ln(1?h)?ln(1?h)?ln1?h,0?1. 1?h当 h0 时，由 0?1 可推知11?h?1?h,当1h0 时，由 0?l 可推得11?h?1?h?0,从而得
8、到所要证明的结论。hh?h. 1?h1?hhh?h. 1?h1?h推论推论 1 若函数 f 在区间 I 上可导，且 f?(x)?0,x?I，则 f 为 I 上一个常量函数证 任取两点 x1,x2?I (设 x1?x2)，在区间x1,x2 上应用拉格朗日定理，存在?(x1,x2)?I ，使得6f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)?0.这就证得 f 在区间 I 上任何两点之值相等由推论 1 又可进一步得到如下结论：推论 2 若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导，且 f?(x)?g?(x),，x?I，则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只相差某一常数，即f(x)?g(x)?c(c
9、为某一常数)推论 3 (导数极限定理) 设函数 f 在点 x0 的某邻域 U(x0)内连续，在 U?(x0)f?(x)存在，则 f 在点 x0 可导，且 内可导，且极限 xlim?x0f?(x). (6) f?(x0)?xlim?x0证 分别按左右导数来证明(6) 式成立? (1) 任取 x?U?(x0)，f(x)在x0,x上满足拉格朗日定理条件，则存在 ?(x0,x)，使得f(x)?f(x0)?f?(?) (7) x?x0由于 x?x，因此当 x?x 时，随之有 ?x，对 (7)式两边取极限，得到 ?000lim?x?xof(x)?f(x0)?limf?(?)?f?(x0?0) ?x?xx?
10、x00(2) 同理可得 f?(x0)?f?(x0?0)因为 limf?(x)?k 存在，所以 f?(x0?0)?f?(x0?0)?k, 从而 x?x0f?(x0)?f?(x0)?k,即 f?(x0)?k.7导数极限定理适合于用来求分段函数的导数例题讲解例 3 求分段函数?x?sinx2,x?0, f(x)? ?ln(1?x),x?0的导数。解 首先易得?1?2xcosx2,x?0,? f?(x)?1 ,x?0.?1?x进一步考虑 f 在 x?0 处的导数在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理由于x?0?x?0?limf(x)?limln(1?x)?0?f(0),?x?0limf(x0?lim(x?sinx)?0?f(0),?x?02因此 f 在 x?0 处连续，又因2f?(0?0)?lim(1?2xcosx)?1,?x?0 1f?(0?0)?li?1,x?0?1?x所以 limf?(x)?1.依据导数极限定理推知 f 在 x?0 处可导,且 f?(0)?1. x?05、 课堂小结与作业81、罗尔中值定理的条件及几何意义。2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。3、加深定理理解的几个注解。4、三个推论。5、预习函数的单调性。作业：习题 2,49
