1、1第四讲 函数的概念与表示一知识归纳：1映射（1）映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f： AB。（2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象。注意：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。2函数（1）函数的定义原始定义：设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某一范围内
2、的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫作自变量。近代定义：设 A、B 都是非空的数的集合，f ：xy 是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做函数，记作 y=f(x)，其中 xA,yB，原象集合 A叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。注意： C B; A,B,C 均非空（2）构成函数概念的三要素： 定义域 对应法则 值域3函数的表示方法： 解析法 列表法 图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二例题讲解：【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）(A) f(x)=lnx2,g(x)=2l
3、nx (B)f(x)= (a0 且 a1),g(x)=xxalog(C) f(x)= , g(x)=1|x| (x1,1) (D) f(x)= (a0 且 a1),g(x)=xxal 3x解答：选 D点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。变式：下列各对函数中，相同的是（ D ）(A) f(x)= , g(x)=x (B)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx2x(C)f(x)= , g(x)=lg(x-1)-lg(x+1) (D) f(x)= ,g(x)=1lgu1v1【例 2】 （1）集合 A=3,4,B=5,6,7，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是
4、；从 B 到 A 的映射的个数是 。（2）设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f：AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n，则在映射 f 下，像 20 的原象是 。2解答：（1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（5或 6 或 7） ，第二步 A 中的元素 4 也有 3 种对应方法，故不同的映射个数有 33=9 个；反之从 B 到 A，道理相同，有 222=8 个。（2）原象是 4。点评：计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。变式 1：已知集合 M=1,2,3,m,N=4,7,n4,n2+3
5、n,m,nN *,映射 f：xy=3x+1, 是从 M到 N 的一个函数，则 m,n 的值分别为（ B ）（A）2，5 （B）5，2 （C）3，6 （D）6，3变式 2：已知函数 y=f(x), (xa,b),那么集合(x,y)|y=f(x), xa,b(x,y)|x=2中所含元素的个数是（ ）(A) 1 (B) 0 (C) 0 或 1 (D)1 或 2分析：本题首先要理解两个集合的意义，这里实际上是函数 y=f(x), (xa,b)的图象与直线 x=2 的交点的个数，显然当 2a,b 时由函数定义交点个数为 1，当 2 a,b时由函数定义交点个数为 0。故选 C。点评：函数的三要素中定义域和
6、对应法则决定值域，对应法则是核心，它必须符合“任一” 、 “唯一”的要求。【例 3】已知 f(x)=2x-1,g(x)= ,求 fg(x),gf(x)012x解答：fg(x)= ，gf(x)=32x21)2(x点评：了解函数符号的意义，理解相互之间的关系；若函数 f(x)的定义域为 A，则当fg(x)中的 g(x)A 时，fg(x) 才有意义，因而求 fg(x)时，必须考虑 g(x)A。变式：已知 f(x)= ，求 f(x+1).),0(12x解答：f(x+1)= ),1)(2x【例 4】(1)已知函数 f(1-cosx)=sin2x，求 f(x);(2) 已知 3f(x)+5f( )=2x+
7、1，求 f(x) 解答：(1)令 1-cosx=t(0t2),则 cosx=1-t,f(1-cosx)=f(t)=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t, 故 f(x)= -x2+2x (0x2)3（2）由 3f(x)+5f( )=2x+1 得 3f( )+5f(x)= +1，联立解得x1x128135)(xf点评：函数 f(x)的含义抽象，在函数的定义域与对应法则 f 不变的条件下，可以变换自变量字母，以至变换为其它字母的代数式。例如，f(x)=x 2+1 与 f(u+1)=(u+1)2+1 应视为同一函数。变式：设 f(x)是定义在 R 上的函数，对一切 xR 均有 f(x)+f(x+2)=0，当-10,0.(b-1)2-4ac0 ,所以0)41(2a41a
