1、北京市 2016届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用1、（2015 年北京高考）已知函数 xf1ln)(（）求曲线 在点 处的切线方程；)(xf0,（）求证：当 时， ；132)(xf（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3kf 1,0k2、（2014 年北京高考）已知函数 ，()cosin,02fxx（1）求证： ；()0fx（2）若 在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值.sinab(,)2ab3、（2013 年北京高考）设 L为曲线 C： 在点(1,0)处的切线lnxy(1)求 L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C在直线 L的下方4、（朝阳区2015届高三一
2、模）已知函数 （1）当 a = 1时，求函数 f (x)的最小值；（2）当 a1时，讨论函数 f (x)的零点个数。5、（东城区 2015届高三二模）已知函数 ()exfxa（）当 时，求 在区间 上的最小值；2ea()fx1,3（）求证：存在实数 ，有 .00()f6、（房山区 2015届高三一模）已知 ，其中 21()ln(1)fxax0a()若函数 在点 处切线斜率为 ，求 的值；()fx3,()f0a()求 的单调区间；()若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围0,7、（丰台区 2015届高三一模）设函数 ， ()xfeaR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2afx0,（）在（）
3、的条件下，求证： ；()f（）当 时，求函数 在 上的最大值1()fx,a8、（海淀区 2015届高三二模）已知函数 . 21ln()xf（）求函数 的零点及单调区间；()fx（）求证：曲线 存在斜率为 6的切线，且切点的纵坐标 .lny 01y9、（石景山区 2015届高三一模）已知函数 ()ln,()(0)afxaxgx()若 ，求函数 的极值；1a()fx()设函数 ，求函数 的单调区间；()hg()h()若存在 ，使得 成立，求 的取值范围0,xe00()fxa10、（西城区2015届高三一模）设 nN*，函数 ，函数 ， x(0，+)，（1）当 n =1时，写出函数 y = f (x
4、) 1零点个数，并说明理由；（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线 l : y =1的两侧，求 n的所有可能取值。11、（北京四中 2015届高三上学期期中）已知函数32()ln21)(0).xfxaa（）若 为 的极值点，求实数 a的值；2x()f（）若 在 上为增函数，求实数 a的取值范围.y3,12、（朝阳区 2015届高三上学期期中）已知函数 .2(),xfaR=-()求函数 的单调区间;()fx（）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.1,2a13、（东城区示范校 2015届高三上学期综合能力测试）已知定义在 上的函数,1， 。2lnxfxgln（I）求
5、证： 存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；f（II）若 且 对任意的 恒成立，求 的最大值。Zk1xk1xk14、（昌平区 2015届高三上学期期末）已知函数 f (x) ln x a2x2 ax (a )R( I ) 当 a1 时，求函数 f (x)的单调区间；( II ) 若函数 f (x)在区间 (1，)上是减函数，求实数 a的取值范围15、（朝阳区 2015届高三上学期期末）设函数 2e(),1axf（）当 时,求函数 )(xf的单调区间；35a（）设 为 的导函数，当 时，函数 的图象总在 的图象的上方，求()gxf 1,2e()fx()gx的取值范围16、（大兴区 2015届高三
6、上学期期末）已知 .2()(0)1axf（）若 ，求 在 处的切线方程；1a)(xf1（）确定函数 的单调区间，并指出函数 是否存在最大值或最小值()fx参考答案1、解析:（） 因为 ，所以)1ln()l()xxf， xf1)( 20f又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 0f )(xfy)0(,f xy2（）令 ，32)(xfg则 242 1)()( xfx因为 ，所以 在区间 上单调递增所以 ,0 xg)(g)1,0( 0)(gx,)1(x即当 时， ,0)3(2)xf（）由（）知，当 时， 对 恒成立k)3()xkf )1,0(当 时，令 ，则2k )()(3xfxh242 1)()
7、( xkkfxh所以当 时， ，因此 在区间 上单调递减40k0)(h)(h)2,0(4k当 时， ，即 42x)(x)3()xf所以当 时，令 并非对 恒成立k)3()kf)1,0(x综上可知， 的最大值为 22、证明： ，cosincosinfxx时， ，从而 在 上单调递减，02x0f fx02所以 在 上的最大值为 ，f 所以 .0fxf法一：当 时，“ ”等价于 “ ”；“ ”等价于“ ”，sinxasin0xasinxbsin0xb令 ，则 .gxccog当 时， 对任意 恒成立.0c002当 时，因为对任意 ， ，所以 在区间 上单调递1xcos0gxgx02减.从而 对任意 恒
8、成立.0gx02当 时，存在唯一的 ，使得 ，01c0x00cosgx且当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减。0xg20gxx所以 。g进一步，“ 对任意 恒成立”当且仅当 ，即 .02x1c2c综上所述，当且仅当 时， 对任意 恒成立；cg02x当且仅当 时， 对任意 恒成立.1c0gx02x所以，若 对任意 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为 .sinabab1法二：令 ，si02xg则 ，由知， ，coin 0gx故 在 上单调递减，从而 的最小值为 ，gx02 2g故 ， 的最大值为 .a的最小值为 ，下面进行证明：b1， ，则 ，sinhxbx02coshxb当 时，
9、， 在 上单调递减，从而 ， max0h所以 ，当且仅当 时取等号.sin0x 0x从而当 时， .故 的最小值小于等于 。2sin1b1若 ，则 在 上有唯一解 ，且 时， ，1bcohx20x0x0hx故 在 上单调递增，此时 ,0 hx与恒成立矛盾，故 ，sinsin0xxbb1b综上知： 的最小值为 .13、解：(1)设 ，则 .lfx2lnxf所以 f(1)1.所以 L的方程为 y x1.(2)令 g(x) x1 f(x)，则除切点之外，曲线 C在直线 L的下方等价于 g(x)0( x0， x1)g(x)满足 g(1)0，且 g( x)1 f( x) .21lnx当 0 x1 时，
10、x210，ln x0，所以 g( x)0，故 g(x)单调递减；当 x1 时， x210，ln x0，所以 g( x)0，故 g(x)单调递增所以， g(x) g(1)0( x0， x1)所以除切点之外，曲线 C在直线 L的下方4、5、解：（）当 时， ， .2ea2()exf3,1因为 ，2()1xf由 ， .0x则 ， ， 关系如下：)(ff)2,1()3,2()fx0( 极小值 所以当 时， 有最小值为 . 5分2x)(xf3（）“存在实数 03,，有 af)(”等价于 的最大值大于 .()fxa因为 ，()1exfa所以当 时， ， ， 在 上单调递增， ,0)(xf)(f)3,所以
11、的最大值为 .()f(3)fa所以当 时命题成立.0a当 时，由 得 .)(xfln则 时， ， ， 关系如下：xR)(f（1）当 时 ， ， 在 上单调递减，3ealna)(xf)3,所以 的最大值 .()fx30fa所以当 时命题成立.3（2）当 时， ，ealn所以 在 上单调递减，在 上单调递增.)(xf), )3,(lna所以 的最大值为 或 .(3f)f且 与 必有一成立，aff)0(30所以当 时命题成立.3e（3） 当 时 ， ，ln所以 在 上单调递增，)(xf),所以 的最大值为 .(30)fa所以当 时命题成立.0ea综上：对任意实数 都存在 使 成立. 13 分,xxf
12、)(6、解：()由题意得 f ( x) ， x(1，)， ax2 a 1 xx 1由 f (3)0 a 3 分14()令 f ( x)0 x10， x2 1，1a当 01时，11， f(x)的单调递增区间是( 1,0)1af(x)的单调递减区间是(1， 1)，(0，)1a当 a1 时， f(x)的单调递减区间为(1，) 9 分()由()可知当 0 f(0)0，所以 0 0时， 在区间3，+)上恒成立22(14)()0aa令 ，其对称轴为22()gxx14a a 0， ，从而 g (x)0 在3，+)上恒成立，只要 g (3)0 即可，14a由 ，解得：2(3)60g 313144 a 0， 1
13、3 分314综上所述， a的取值范围为0， 14分来312、() 的定义域为 .()fxxa.2()fa-=（1）当 时， ，则 ， 时， 为增函数；0(0),fx(1fx=,0,()fx（2）当 时，由 得， 或 ，由于此时 ，a()f2a2a所以 时, 为增函数， 时， 为增函数；2xx0x()fx由 得， ，考虑定义域，当 ， 为减函数，()0f02xa20a当 时， 为增函数， 时， 为增函数.2xx()2a单调减区间为 ， .(),a,2当 时，函数 的单调增区间为 ，0afx(),x-()0,+单调减区间为 ， .(),0.7分 （）解：（1） 当 时，由() 可得， 在 单调增，
14、且 时 .0a()fx1,2(1,2)xa（2） 当 时，即 时，由() 可得， 在 单调增，即在 单21af+(1,2)调增，且 时 .(,)x(3)当 时，即 时，由() 可得， 在 上不具有单调性，不合题意.a2()fx1,2(4)当 ，即 时，由() 可得， 在 为减函数，同时需注意 ，21()f0,a1,2a满足这样的条件时 在 单调减，所以此时 或 .()fx, 综上所述， 或 或 .2a2a.14分 13、解：（I） ， ，则 ，lnxf ,101xf故 在 上单调递增，（3 分）xf,1而 ，04l2,0l3f所以 存在唯一的零点 。（6 分）xf ,0x（II）由（I） 存在
15、唯一的零点 显然满足： ，f0 02ln0x且当 时， ；当 时， ，0,1xxf,xxf当 时， 等价于 ，1kgk1ln设 。lnxh则 ，故 与 同号，因此当 时， ；221ln xfxhxhf0,1x0h当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，,00h0,1,0（10 分）故 ，0000min 11lnxxxxh 由题意有 ，又 ，而 ，故 的最大值是 3。（13 分）inkZk4,3k14、解：（）当 时， ，定义域是 .a2()lfxx(0,)，1()2fx由 ，解得 ；由 ，解得 ；01x()0fx1x所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 5分()f, ,（
16、）（法一）因为函数 在区间 上是减函数，所以 在 上恒成立，()fx(1,)()0fx1,则 ，即 在 上恒成立. 7 20a2(gxa分 当 时， ，所以 不成立. 9 分0()1gx0 当 时， ， ，对称轴 .a2ax29a24ax，即 ，解得2(1)04ga2(1)104ga104a或或所以实数 a的取值范围是 . 13分,2（法二） ，定义域是 . 21()fxxa21xa(0,)当 时， 在区间 上是增函数，所以 不成立. 8 分0aln(,)a 时，令 ，即 ，则 ， 9 分()0fx210ax121,xa（i）当 时，由 ，解得 ，()f所以函数 的单调递减区间是 .()fx,
17、a因为函数 在区间 上是减函数，+所以 ，解得 . 11分f(1,)1a1（ii）当 时，由 ，解得 ，0a0fx2x所以函数 的单调递减区间是 .()fx1,a因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，解得 .f(1,)1212a综上实数 a的取值范围是 . 13分12或15、（）解：当 时， 35325e(03)xf由 得 ，解得 或 ；()0fx211x由 得 ，解得 30x3所以函数 )(xf的单调增区间为 , ，单调减区间为 ()(1(,3)5分 （）因为 ，2e()()1axgxf又因为函数 的图象总在 的图象的上方，f()g所以 ，即 在 恒成立()fxg22e)1(axxa1,2e
18、x又因为 ，所以 ，所以 2e01ax22)x2()x又 ，所以 x21设 ，则即可2()1xhmin()ahx1,2e)又 由 ，注意到 ，解得 ；2)()x 2()0)1,2ex1x由 ，注意到 ，解得 21)()0h1,ex所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减()x,e,2所以 的最小值为 或 h1()he因为 ， ，作差可知 ，21()e24224e1所以 4a所以 的取值范围是 13 分 2e4+1(,)16、（）当 时， ，1a2()xf2分43()()xf， 3分1f12f所以直线方程为 ，3()4yx即 4分5x（） =24(1)()(1)axf 4()1ax其中 ， 2分
19、0x(,)(,)令 ，得()f41a1） 当 ，即 时，4a2x(,1)41a4(1,)a(1,)()fx小于 0 等于 0 大于 0 小于 0递减 极小值 递增 递减的增区间是 ，减区间是 和 ，当 时，取得极小值()fx4(1,)a4(,1)a(,)41xa。又 时， ，所以 有最小值 ；41fa,(0fxff 2()()f6分2） 当 时， 的减区间是 和 ， 无最大值和最小值。 ()fx(,1)(,)(fx7分3）当 时， 的增区间是 ，减区间是 和 ，当a()fx4(,)a(,1)4(,)a时，取得极大值 。又 时， ，所以 有41x4(1)fa,1x)0fxf(fx最大值 。 9 分 2()()fa
