1、-柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法微分中值定理的进一步探讨 孙 莹摘要：微分中指定理中的 Cauchy 中值定理与 Lagrange 中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解 Cauchy 中值定理与 Lagrange 中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。关键词： Cauchy 中值定理；Lagra
2、nge 中值定理；常数 k 法；行列式法；坐标旋转法文章一开始先给出 Roller 中值定理，因为 Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理的多种证明过程都会用到 Roller 中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的 Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。定理 1 （Roller 中值定理） 若 f(x)满足如下条件：(i) 在a,b上都连续；-(ii) 在(a,b)上都可导；(iii) f(a)?f(b)，f 则在(a,b)内至少存在一点 ?，使得(?)?0。定理 2 （Cauchy 中值定理）1 f
3、(x)，g(x) 满足以下几个条件：(i) 在a,b上都连续；(ii) 在(a,b)上都可导(iii) f(x)和 g(x)不同时为零(iv) g(a)?g(b)则存在?(a,b),使得 f(?)f(b)?f(a)? 。 g(?)g(b)?f(a)- 1 -证明： 作辅助函数F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)?g(x)?g(a)?g(b)?g(a)易见 F(x) 在a,b上满足罗尔定理条件，故存在?(a,b),使得F(?)?f(?)?f(b)?f(a)g(?)?0g(b)?g(a)g(?)?0f 因为（否则由上式可知 (?)?0） ，所以可把上式改写成f(?)f(b)?f(a)
4、?g(?)g(b)?f(a)-证毕。定理 2 （Lagrange 中值定理） 若函数 f(x)满足如下条件：(i) f(x) 在a,b上都连续；(ii) f(x)在(a,b) 上都可导，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f(?)?证明：做辅助函数 f(b)?f(a)b?a。f(b)?f(a)(x?a)b?a F(x)?f(x)?f(a)?显然，F(a)?F(b)?0 且 F(x)在a,b 上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在?(a,b) ，使得F(?)?f(?)?移项后即可得 f(b)?f(a)?0b?af(?)?证毕。接下来将给出 Cauchy 中值定理和 Lagrange 中值定理的其他
5、证明方法：证法一： 常数 k 法（ Cauchy 中值定理 ）利用常数 k 的辅助函数来证明一个等式往往是通过待定系数法的思- 2 - f(b)?f(a)b?a路来完成证明的，其符合人的认识规律，易于理解。将 Cauchy 中值定理的结论改写成：-f(b)?f(a)?f(?)g(b)?g(a)?0g(?)由条件 g(a)?g(b)可知，一定存在一个常数 k 使得：f(b)?f(a)?kg(b)?g(a)?0成立。将上式中的常数 b 换成变量 x,可以得到辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?kg(x)?g(a) 1 经检验，?(x)在在a,b上都连续，在(a,b) 上都可导，而且?(a)?(b
6、)?0 满足 Roller?(a,b)中值定理的所有条件，于是根据 Roller 中值定理可知：至少，使得(?)?0 即?(?)?f(?)?kg(?)?0由此解得f(?)k?g(?)代入 1 中可得f(b)?f(a)?证毕。（ Lagrange 中值定理 ）将 Lagrange 定理的结果改写成 f(?)g(b)?g(a)?0g(?)f(b)?f(a)?f(?)(b?a)?0由 b?a 可知，必定存在一个常数 k 使得：f(b)?f(a)?k(b?a)?0 2 将上式中的常数 b 换成变量 x，得到辅助函数-?(x)?f(x)?f(a)?k(x?a)经检验，?(x)?f(x)?f(a)?k(x
7、?a)满足 Roller 中值定理的全部条件： (i) 在a,b上都连续， (ii) 在(a,b)上都可导，且?(a)?(b)?0。于是根据 Roller 中值定理可知， - 3 -?至少存在一个，使得(?)?0，即?(?)?f(?)?k?0。k?由此解得f(?)g(?)， 代入 2 中可得f(?)?证毕。证法二： 行列式法 f(b)?f(a)b?a不难发现 Cauchy 中值定理的结论有着独特的形式，f(b)?f(a)和g(b)?g(a)与二阶行列 f(b)式 1g(b)11 有着密切的联系，根据此关系可构造一个行列式作为辅助函数f(x)?(x)?f(b)f(a)g(x)1g(b)1f(a)
8、1f(a)1 和 g(a)显然该函数满足 Roller 中值定理的所有条件。于是，根据 Roller中值定理的结论可得，至少-?少存在一个，使得(?)?0，即解得 f(?)g(?)0?(?)?f(b)g(b)1?0f(a)f(a)1f(?)g(b)?g(a)?g(?)f(b)?f(a)?0因为 f(b)?f(a)，且 f(?)和 g(?)不同时为零，所以上式可改写成f(?)f(b)?f(a)?g(?)g(b)?f(a)证毕。不难发现 Lagrange 中值定理的结论有着独特的形式，f(b)?f(a)和 b?a 与二阶行列式 - 4 -f(b)f(a)1b11 和 a1 有着密切的联系，根据此关
9、系可构造一个行列式作为辅助函数f(x)x1?(x)?f(b)b1f(a)a1显然该函数满足 Roller 中值定理的所有条件。于是，根据 Roller中值定理的结论可得，至少?少存在一个，使得(?)?0，即由此可得 f(?)10?(?)?f(b)b1?0f(a)a1-f(?)(b?a)?f(b)?f(a)?0因为 b?a，所以上式可以改写为f(?)?证毕。证法三： 坐标旋转法考察参数方程 f(b)?f(a)b?a?x?g(t)?y?f(t) ?a?t?b?3?由 Cauchy 中值定理的条件可知，方程 3 的图像是 XOY平面上一条连续且光滑的曲线 L，其端点分别为 A?g(a),f(a)?和
10、 B?g(b),f(b)?。如图 1，设弦 AB 与 x 轴正方向的夹角为?，且 AB?r。旋转 x 轴，使得 Ox平行于 AB，曲线 L 在 Ox上的投影分别为g(a),g(b)，则曲线上一点 M,?g(t),f(t)?在新坐标系xOy的坐标为(x,y)?(g(t)cos?f(t)sin?,f(t)cos?) cos?其中，g(b)?g(a)f(b)?f(a)sin?rr，- 5 -。故曲线 L 在新坐标系 xOy下的参数方程为g(b)?g(a)f(b)?f(a)?x?g(t)?f(t)?rr?g(b)?g(a)f(b)?f(a)y?g(t)?f(t)?rr ?-记m?g(b)?g(a)f(
11、b)?f(a)n?rr ，则?4?式可化为?x?mg(t)?nf(t)?y?mg(t)?nf(t)dxdy显然，对于任意 t?(a,b)，dt 与 dt 均存在。 dx?0dt 设，则方程 3 在g(a),g(b)上满足 Roller 中值定理的所有条件并且有： dydxx?g(?)?0即至少存在?(a,b)，使得：- 6 -dy?mg(t)?nf(t)?0dxx?g(?)mg(t)?nf(t)x?g(?)经化简可得：f(a)?f(b)f(?)?g(b)?g(a)g(?)证毕。比较 Lagrange 中值定理和 Roller 中值定理便可知道，它们的区别仅仅在于区间端点的函数值相等与不相等，如
12、果将 Lagrange 中值定理中函数所对应的图象通过旋转坐标使得该函数两端点的函数值相等。于是旋转后图像所对应的新函数则满足 Roller 中值定理的所-有条件，从而证明 Lagrange 中值定理。先引入坐标系的旋转变换 T,即：?x?Xcos?Ysin?y?Xsin?Ycos? ， ?因为其系数行列式cos?sin?1,即： ?sin?1?0cos? 所以还存在变换T 的逆变换 T不难求得当 ?X(x)?xcos?ysin?xcos?f(x)sin?Y(x)?xsin?ycos?xsin?f(x)cos?arctanf(b)?f(a)b?a时，Y(a)?Y(b) 同时可知 Y(x)在a,b 上连续，在 (a，b)内可微，故知 Y(x)满足罗尔定理条件，则存在一点?(a,b),使得 Y(?)?0，即：?sin?f(?)cos?0因为 0?90?，所以 cos?0，从而上式可转化为- 7 -f(?)?证毕。sin?f(b)?f(a)?tana?cos?b?a- 8 -
