1、静力学1-3 试画出图示各结构中构件 AB 的受力图FAxFA y FB(a) (a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4 试画出两结构中构件 ABCD 的受力图1-5 试画出图 a 和 b 所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a1-5bFAxFA yFDFByFAFBxFBFAFAxFA yFDxFDyWTEFCxFC yWFAxFA yFBxFB y FCxFC yFDxFDyFBxFByTENFBFDFANFAFBFD1-8 在四连杆机构的 ABCD 的铰链 B 和 C 上分别作用有力 F1 和 F2，机构在图示位置平衡。试求二力 F1 和 F2 之间的关系。解
2、：杆 AB，BC，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法 1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对 B 点有：0xF045cos2对 C 点有：31FBC解以上二个方程可得： 2216.3F解法 2(几何法)分别选取销钉 B 和 C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在 B 和 C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对 B 点由几何关系可知： 0245cosF对 C 点由几何关系可知： 13B解以上两式可得： 26.2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆 AB 上作用有主动力偶 M。试求 A 和 C 点处的
3、约束FABFBCFCD60oF130oF2FBC45oF2FBCFABB45oyx FCDC60oF130oFBC xy0453力。解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆 AB 在 B 点处受到约束力的方向沿 BC 两点连线的方向。曲杆 AB 受到主动力偶 M 的作用，A 点和 B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆 AB 保持平衡。AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 0M0)45sin(10MaFA 3.其中： tan。对 BC 杆有：aFABC54.0。A，C 两点约束力的方向如图所示。2-4 四连杆机构在图示位置平衡，已知 OA=60cm,B
4、C=40cm,作用在 BC 上力偶的力偶矩M21Nm。试求作用在 OA 上力偶的力偶矩大小 M1和 AB 所受的力 ABF。各杆重量不计。解：机构中 AB 杆为二力杆，点 A,B 出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点 O,C 处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对 BC 杆有： 0M03sin2MCBF对 AB 杆有： AB对 OA 杆有： 1AO求解以上三式可得： mN3， NFCB5，方向如图所示。FBFAFBFCFAFOOFA FBFBFCC2-6 等边三角形板 ABC,边长为 a，今沿其边作用大小均为 F 的力 321,，方向如图 a,b所示。试分别求其最简
5、简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为: jFi231， i2， jFiF2313先将力系向 A 点简化得（红色的）： jiR3， kaMA23方向如左图所示。由于 RF，可进一步简化为一个不过 A 点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距 A 点的距离 ad43，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过 A 点的力（绿色的） ，主矢为： iFR2其作用线距 A 点的距离 ad43，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13 图示梁 AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物 D。设重物重为 P, AB 长为 l，斜绳与铅垂
6、方向成 角。试求固定端的约束力。法 1解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为 x 轴正向，竖直向上为 y 轴正向，力偶以逆时针为正）：0F0sinBxFPycosy选梁 AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程：xyFRMA FRdxFR MAFRdyPBFBxFByP0xF 0BxAF yyAMl求解以上五个方程，可得五个未知量 AByxAyxM,分别为：sinPFBxA（与图示方向相反） )co1(y（与图示方向相同）l（逆时针方向）法 2解：设滑轮半径为 R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：0xF0sinPAxycoy0AM0
7、2tansi)(s)( RPlRlA求解以上三个方程，可得 AyAxMF,分别为：sinPFAx（与图示方向相反）)co1(y（与图示方向相同）lM（逆时针方向）2-18 均质杆 AB 重 G，长 l ，放在宽度为 a 的光滑槽内，杆的 B 端作用着铅垂向下的力 F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角 。解：选 AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0AM0coss2cos lFlaNDyF0求解以上两个方程即可求得两个未知量 ,DN，其中：31)2(arcoslGa未知量不一定是力。2-27 如图所示，已知杆 AB 长为 l， 重为 P，A 端用一球铰固定于地面上，B 端用绳索
8、CBMA FBxFByFAxFA yMAPFAxFA yPANANDD拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面 AOB 与 Oyz 夹角为 ，绳与轴 Ox 的平行线夹角为 ，已知 NPmcao20,45,3tan,4.0,7. 。试求绳子的拉力及墙的约束力。解：选杆 AB 为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程： 0yM0tansicostan21 cFcPBCBCNFBC6.0x 0sin acBCNB1由 0yF和 z可求出 Azy,。平衡方程 xM可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29 图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力 F作用在平面BDEH 内
9、，并与对角线 BD 成 o45角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解：杆 1，2，3，4，5，6 均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD 为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程： 0DEM0cos2F020AOM 045cos45cos006aFa F26 (受拉) BH6 4 (受压) 0AD045sin45cos01 aFaaFF21(受压) CMi33(受拉) 0B 045cos5 aFa05F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解
10、一个未知量，避免求解联立方程。2-31 如图所示，欲转动一置于 V 形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩 cmNM150。已知棒料重 NP40，直径 cmD25。试求棒料与 V 形槽之间的静摩擦因数 sf。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: 0OyxMF02)(45sinco110221MDFNp补充方程： 21NfFs五个方程，五个未知量 sfF，21,，可得方程： 02 MDpfMSS解得 49.,3.01Sf 。当 491.2f时有：)1(SfN即棒料左侧脱离 V 型槽，与题意不符，故摩擦系数 23.0Sf。2-33 均质杆 AB 长 40cm，其中 A 端靠在粗糙的铅直墙上
11、，并用绳子 CD 保持平衡，如图所示。设 cmDcBC25,1，平衡时 角的最小值为 o45。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数 sf。解：当 045时，取杆 AB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0AyxMF 0sin2cossinicos 0iABpCTCATFSN附加方程： NSf四个方程，四个未知量 sSf，,，可求得 64.0sf。2-35 在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B 为支点，如图所示。若 ACB，A 和 B 于斜面间的静摩擦因数分别为 1sf和 2，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角 。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为 a，重为 P，列
12、平衡方程0xBAFM0sin32cosisPFaaBANB如果棱柱不滑动，则满足补充方程 NBsAFf21时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量 ,A，其中：32)(tan12sf(1)当物体不翻倒时 0NBF，则：6(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10 AB,AC 和 DE 三杆连接如图所示。杆 DE 上有一插销 H 套在杆 AC 的导槽内。试求在水平杆 DE 的一端有一铅垂力 F作用时，杆 AB 所受的力。设DEBCHDA,，杆重不计。解：假设杆 AB，DE 长为 2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：0M02ayBF取杆
13、DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： HDyFDy002axx2取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： yFByAyF(与假设方向相反)0M02axD(与假设方向相反 )BFAx(与假设方向相反 )3-12 ADCB,和 四杆连接如图所示。在水平杆 AB 上作用有铅垂向下的力 F。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力 F的位置如何，杆 AC 总是受到大小等于 F的压力。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0CM0xFbD取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0A0xbBF杆 AB 为二力杆，假设其受压。取杆 AB 和 AD 构成的组合
14、体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0EM02)2()( bFxbACDB解得 FAC，命题得证。注意：销钉 A 和 C 联接三个物体。FCxFCyFBxFByFDxFDyFHyFBxFByFDy FDxFAxFAyFCxFCyFDFABxFAByFBFExFEyFAC FB3-14 两块相同的长方板由铰链 C 彼此相连接，且由铰链 A 及 B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为 M的力偶。如 ba，忽略板重，试求铰链支座 A 及 B 的约束力。解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有： 0A0)(FBA即 BF必过 A 点，同理可得 必过 B 点。
15、也就是 AF和 B是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板 AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0CM045cos45sinMbFaAA解得： b2(方向如图所示)3-20 如图所示结构由横梁 BCA,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求 A 处的约束力及杆 1，2，3 所受的力。解：支撑杆 1，2，3 为二力杆，假设各杆均受压。选梁 BC 为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为 2qa，作用在 BC 杆中点。列平衡方程：0BM0245sin0MaqF)(3(受压)选支撑杆销钉 D 为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0xF0
16、45cos31FFAFBFCxFCyFBxFByF3DF3F2F1 xyqaMF21(受压)0y 045sin3)2(qaMF(受拉)选梁 AB 和 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF045cos3FAx )2(qaMFAx(与假设方向相反)y04sin32Py qaPFAy4M352 aqPaA4(逆时针)3-21 二层三铰拱由 DGBC,和 E四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座 ,的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： 0AM02aFByFByAxFx(1)由题可知杆 DG 为二力杆，选 GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点
17、G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得： FE2。取 CEB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0CM045sin aFaFEByx2FBx代入公式(1)可得： 2AFAxFAyF3F2MAFAxFAy FBxFByFEFGFEFGFFCy FCxFEFByFBxPFAxFAy N1N2N1T3-24 均质杆 AB 可绕水平轴 A 转动，并搁在半径为 r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子 AC 拉在销钉 A 上，杆重 16N， rACB2,3。试求绳的拉力和杆 AB 对销钉 A 的作用力。解：取杆 AB 为研究对象，设杆重为 P，受力如图所示。列平衡方程：0A
18、M06cos231r)(93.61xFinNAxFAxyy 5.2y取圆柱 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0x 03cos0s1T)(93.6NT注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不是杆 AB 对销钉的作用力。3-27 均质杆 AB 和 BC 完全相同，A 和 B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数 35.0sf。试求平衡时 角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为 L，重为 P，受力如图所示。列平衡方程：AM0cos2sin2FNtan2PFN(1)取杆 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0B 0coscs2
19、sinLPLsNS (2)补充方程： NsFf，将(1)式和(2)式代入有： 2tansf，即 01。FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP3-30 如图所示机构中，已知两轮半径量 cmR10，各重 NP9，杆 AC 和 BC 重量不计。轮与地面间的静摩擦因数 2.0sf，滚动摩擦系数 .。今在 BC 杆中点加一垂直力 F。试求：平衡时 F的最大值 ax；当 max时，两轮在 D 和 E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0yxF02PFNES由题可知，杆 AC 为二力杆。作用在杆 BC 上的力有主动力 F，以及 B 和 C 处的约
20、束力B和 AC，由三力平衡汇交，可确定约束力 B和 AC的方向如图所示，其中：31tan，杆 AC 受压。取轮 A 为研究对象，受力如图所示，设 ACF的作用线与水平面交于 F 点，列平衡方程：0M0DSMRF)(NP取轮 B 为研究对象，受力如图所示，设 B的作用线与水平面交于 G 点，列平衡方程：FSE0G0tan)(R解以上六个方程，可得： PFND41， PN43，SE， FMED1若结构保持平衡，则必须同时满足： M， ， NDsSf， NEsSFf即： PRffPRPFss431,4,3,4min，因此平衡时 的最大值 6.0maxF，此时：)(91.NSED， )(9.0cmME
21、DFND FNEFSDFSEMEMDFBFACFACFNDFSDMDFFNEFSEMEFBG3-35 试用简捷的方法计算图中所示桁架 1，2，3 杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆 CF，FG，EH 为零力杆。用剖面 SS 将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM0346cos1GHFF )(58.14kN(受拉)xin 3(受拉)y2 67.2(受压)3-38 如图所示桁架中，ABCDEG 为正八角形的一半， GBCAED,各杆相交但不连接。试求杆 BC 的内力。解：假设各杆均受压。取三角形 BCG 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF0CDFCD
22、(受压)取节点 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0yxF0sin45sincoco0CGBDCF其中： 21tan，解以上两个方程可得： FB586.(受压)3-40 试求图中所示桁架中杆 1 和 2 的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0AM03aFaFBFB5.2F2F3F1SFGFHSFGFEGFCDFAB CFBCFCDFCGA BC345FAy FAxFBSSF1F3F4F5F2用截面 S-S 将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0CM032aFaB F672(受拉)XF21 51(受拉)4-1 力铅
23、垂地作用于杆 AO 上, 115,6DOCBAO。在图示位置上杠杆水平，杆 DC与 DE 垂直。试求物体 M 所受的挤压力 MF的大小。解：1.选定由杆 OA，O 1C，DE 组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为 MF,。2.该系统的位置可通过杆 OA 与水平方向的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数 为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆 OA 有一个微小的转角 ，相应的各点的虚位移如下： AOr， BOr， COr1D1， C， ED代入可得： EA304.由虚位移原理 )(iFW有： 0)30 EMEArrr对任意 0E有： M，物体所受的挤压
24、力的方向竖直向下。4-4 如图所示长为 l 的均质杆 AB，其 A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度 。解：4a1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数 为广义坐标。由几何关系可知： tanh杆的质心坐标可表示为： cos2tlzC3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 逆时针旋转一个微小的角度 ，则质心C 的虚位移： sinsin2laz4.由虚位移原理 0)(FW有：0)si2si( lPzC对任意 0有：
25、rA rC rB rD rE0sin2sinla即杆 AB 平衡时： 31)arci(l。解：4b1.选杆 AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为 P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定，有一个自由度。选参数 为广义坐标。由几何关系可知： sinRzA杆的质心坐标可表示为： cos2ilC3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆 AB 顺时针旋转一个微小的角度 ，则质心C 的虚位移： sin2cossin2lRzC4.由虚位移原理 0)(FW有：0)sicosin( lRPz对任意 0有： 02cossin2lR即平衡时 角满足： i
26、3。4-5 被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重 P，弹簧原长为 2a，试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力 21,F，且 21，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有 21,，以及重力 P。2. 该系统只有一个自由度，选定 为广义坐标。由几何关系可知：sinazBA3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移 ，则质心的虚位移为：coszC弹簧的长度 2sinal，在微小虚位移 下：co4.由虚位移原理 0)(iFW有： 0)2coscos(2 aFPalzPC其中)sin(2akF，代入上式整理可得：
27、 02)cossin(co ka由于 0，对任意 0可得平衡时弹簧刚度系数为： )2cssi2(Pk4-6 复合梁 AD 的一端砌入墙内，B 点为活动铰链支座，C 点为铰链，作用于梁上的力kNFkNF3,4,521，以及力偶矩为 mkNM2的力偶，如图所示。试求固定端 A 处的约束力。解：解除 A 端的约束，代之以 AyAxMF,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力MF,321的作用。系统有三个自由度，选定 A 点的位移 Ayx,和梁 AC 的转角为广义坐标。1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0yx，如图所示。由虚位移原理 0)(iW有：Ax对任意 0A可得： xF2在不破坏约束的
28、前提下给定一组虚位移 0,0AAyx，如下图所示。由虚位移原理 0)(i有： 321 MFyAy(1)由几何关系可得各点的虚位移如下： ACyy31 ACy312ACy3代入(1)式： 0)3131(2 Ay yMFF对任意 0Ax可得： )(4kNAy，方向如图所示。3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0AAyx，如上图所示。由虚位移原理 0)(iFW有： 321 MFyMA(2)有几何关系可得各点的虚位移如下： 21y 3C2y代入(2)式： 0)(1FA对任意 0可得： (7mkNMA，逆时针方向。4-7 图示结构上的载荷如下： mkNq2；力 kF41；力 kN12，其方向与水平
29、成 o60角；以及力偶，其力偶矩为 M8。试求支座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在 CD 中点的集中载荷 3，大小为 q6。1.求支座 B 处的约束力解除 B 点处的约束，代之以力 BF，并将其视为主动力，系统还受到主动力MF,321的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆 AC 不动，梁 CDB 只能绕C 点转动。系统有一个自由度，选转角 为广义坐标。给定虚位移 ，由虚位移原理0)(iW有： 0150cos45cos 320 yFyFMrB(1)各点的虚位移如下： 26923代入(1)式整理可得： 0)39( FFB对任意 0可得： (6.18kN，方向如图所示。2.求固定端 A 处
30、的约束力解除 A 端的约束，代之以 AyAxM,，并将其视为主动力，系统还受到主动力F,321的作用。系统有三个自由度，选定 A 点的位移 Ayx,和梁 AC 的转角 为广义坐标。2a.求 AxF在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0Ayx，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理 )(iFW有： 12cos21xA(2)各点的虚位移如下： 21代入(2)式整理可得： 0)5.0( AxxFF对任意 A可得： (kNAx，方向如图所示。2b.求 y在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0AAyx，此时梁 AC 向上平移，梁 CDB 绕 D 点转动，如上图所示。由虚位移原理 )(iFW有
31、：3cos23MFyFAy(3)各点的虚位移如下： ACy122 Ay612代入(3)式整理可得： 0)6431( AyFF对任意 0Ay可得： )(8.3kNFAy，方向如图所示。2c.求 AM在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0,0AAyx，此时梁 AC 绕 A 点转动，梁 CDB 平移，如上图所示。由虚位移原理 )(iFW有：12cos21F(4)各点的虚位移如下： 31x6Cx代入(4)式整理可得： 0)(2MA对任意 0可得： (4mkN，顺时针方向。4-8 设桁架有水平力 1F及铅垂力 2作用其上，且 KEDBCEAD，o3。试求杆 1，2 和 3 所受的力。解：假设各杆受拉，杆
32、长均为 a。1求杆 1 受力去掉杆 1，代之以力 1P，系统有一个自由度，选 AK 与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形 ADK 形状不变，绕 A 点转动，因此有 KArDr,，且： aa3滑动支座 B 处只允许水平方向的位移，而杆 BK 上 K 点虚位移沿铅垂方向，故 B 点不动。三角形 BEK 绕 B 点旋转 EBr，且：E对刚性杆 CD 和杆 CE，由于 ECrDr,，因此 0Cr。由虚位移原理0)(iFW有： 6cos60cos)11PP代入各点的虚位移整理可得： 2(a对任意 0可得：11F（受压） 。2求杆 2 受力去掉杆 2，代
33、之以力 2P，系统有一个自由度，选 BK 与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆 AK 绕 A 点转动，因此有KAr，且： ar3同理可知 B 点不动，三角形 BEK 绕 B 点旋转 EBr，且：EaDE杆 AD 绕 A 点转动 ArD，由刚性杆 DE 上点 E 的虚位移可确定 D 点位移方向如图所示，且： a同理可知 0Cr。由虚位移原理 0)(iFW有： 012cos15cos120cos 21 KDrPrPF 代入各点的虚位移整理可得： )3(a对任意 0可得： 612（受压） 。3求杆 3 受力去掉杆 3，代之以力 3P，系统有一个自由度，选
34、AK 与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形 ADK 绕 A 点转动，KArDr,，且： ara3,同理可知 B 点不动， EBr，且：aDE0Cr由虚位移原理 0)(iFW有： 012cos15cos6cos 331 KrPPr 代入各点的虚位移整理可得： )2(a对任意 0可得： 613F（受拉） 。4-12 杆长 2b，重量不计，其一端作用铅垂常力 ，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为 k，当 0y时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置 y，讨论此平衡位置的稳定性。解：F 大小和方向不变，常力也是有势力。取杆
35、和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选 为广义坐标，如图所示。取 0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为： FV弹 )cos1(2)cos1(2Fbkb由平衡条件0dV可得： 0sin2)cos1( kb有： 0sin和 F即： 和 kbs也就是： y和 )(2两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能 V 的二阶导数： 2coscos)2(2kbFkbdV当 0时， 02，即 y时是不稳定平衡。当 kb1cos时， )(42FdV由上式可知：1 当 kbF21cos且 时， 02dV即 )(Fkby是稳定平衡位置；2 当 且 时， 即 是不稳定平衡位置。4-15 半径
36、为 r的半圆住在另一半径为 R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解：取半径为 r 的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与 y 轴夹角 为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中 34rh。由于半圆柱作纯滚动，有： Rr（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为： )cos(34cs)(rrRmgzVC代入（1）式有： )s()( rRrVinin34gd由平衡条件 0dV可得 为平衡位置。势能 V 的二阶导数： cos)cos(3)(4)(2 rRrRmgd由上式可得当 rR)14
37、3(， 0是稳定的。努力学习吧！ 动力学13解：运动方程： tanly，其中 kt。将运动方程对时间求导并将 03代入得4cos22lkllyv938in3llka16证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为： nta,设质点的速度为 v，由图可知:ayncos，所以: yvn将 vy， 2n代入上式可得 c3证毕17证明：因为 n2av， vasi所以： 3证毕110解：设初始时,绳索 AB 的长度为 L,时刻 t时的长度为 s,则有关系式： tvL0，并且 22xls 将上面两式对时间求导得： 0s， xsxyoanvytayzonx ovovFNgmy由此解得： xsv0 （a）(a)式
38、可写成： ，将该式对时间求导得：202vsx(b)将(a)式代入(b)式可得： 32020xlvvxa（负号说明滑块 A 的加速度向上）取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： gFamN将该式在 yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： Nsinco其中： 22si,coslxlx0,320yxlv将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： 2320)(1(xllvgmF111解：设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以 RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等，即：cosv
39、 （a）因为xR2cs（b）AxO AAxOBvBR将上式代入（a）式得到 A 点速度的大小为：2Rxv（c）由于 xvA， （c）式可写成： 2，将该式两边平方可得： 2)(xx将上式两边对时间求导可得： xRxRx232)(将上式消去 x2后，可求得： 24)(x(d)由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 24)(RxaA取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有： gFamN将该式在 yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： gFyNsinco其中： xRxR2cos,si, 0,)(24yRx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 2525 )(,)(4 RxmgFRxmFN113解：动点：套筒 A；动系：OC 杆；xAvAO NFBR gmyaver
