1、第一节 数列的概念与简单表示法知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准 类型 满足条件有穷数列 项数有限项数无穷数列 项数无限递增数列 an1 an递减数列 an1 0.n 1n 2 nn 1 n 12 nn 2n 1n 2 1n 1n 24(教材习题改编)已知数列a n的通项公式是 anError!则 a4a3_.解析：a 4a323 3(235)54.答案：545已知数列a n的通项公式为 anpn ，且 a2 ，qn 32a4 ，则 a8_.32解析：由已知得Error!解得Error!则
2、 an n ，故 a8 .14 2n 94答案：941.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)a n(nN *)由数列的前几项求数列的通项公式典题导入例 1 (2012天津南开中学月考)下列公式
3、可作为数列 an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是( )Aa n1 Ba n 1n 12Ca n2 Da n|sinn2| 1n 1 32自主解答 由 an2 可得 a11，a 22，|sinn2|a31，a 42，.答案 C若本例中数列变为：0,1,0,1，则a n的一个通项公式为 _答案：anError! (或 an 1 1n2 或 an 1 cos n2 )由题悟法1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用( 1) n或(1) n1 来调整2根据数
4、列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法1写出下面数列的一个通项公式(1)3,5,7,9，；(2) ， ， ，；12347815163132(3)3,33,333,3 333，；(4)1， ， ，.32 1334 1536解：(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，所以 an .2n 12n(3)将数列各项改写为 ， ， ， ，分母都是 3，而分子分别是939939993 99993101,10 21,10 31,10 41， .所以 an (10n1)13(4)奇数
5、项为负，偶数 项为正，故通项公式的符号为( 1) n；各 项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子 组成的数列中，奇数 项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1) n ，也可写为2 1nnanError!由 an与 Sn的关系求通项 an典题导入例 2 已知数列 an的前 n 项和 Sn，根据下列条件分别求它们的通项 an.(1)Sn2n 23n；(2) Sn3 n1.自主解答 (1)由题可知，当 n1 时， a1S 121 23 15，当 n2 时，a nS nS n1 (2n 23n)2( n1) 23(n1)4n1.当 n1 时，4115
6、a 1，故 an4n1.(2)当 n1 时，a 1S 1314，当 n2 时，anS nS n1 (3 n1)(3 n1 1) 23 n1 .当 n1 时，23 11 2a 1，故 anError!由题悟法已知数列a n的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 a1S 1 求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anS nS n1 (n2)便可求出当n2 时 an的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写以题试
7、法2(2012聊城模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn ，则 ( )nn 1 1a5A. B.56 65C. D30130解析：选 D 当 n2 时，a n SnS n1 ，则 a5 .nn 1 n 1n 1nn 1 156 130数列的性质典题导入例 3 已知数列 an的通项公式为 ann 221n20.(1)n 为何值时，a n有最小值？并求出最小值；(2)n 为何值时，该数列的前 n 项和最小？自主解答 (1)因为 ann 221n20 2 ，可知对称轴方程为 n 10.5.又(n 212) 3614 212因 nN*，故 n10 或 n11 时 ，an有最小值，其最小值
8、为 11221112090.(2)设数列的前 n 项和最小， 则有 an0，由 n221n200，解得 1n20，故数列 an从第 21 项开始为正数，所以该 数列的前 19 或 20 项和最小在本例条件下，设 bn ，则 n 为何值时，b n取得最小值？并求出最小值ann解：b n n 21，ann n2 21n 20n 20n令 f(x)x 21( x0)，则 f(x) 1 ，由 f(x)0 解得 x2 或 x2 (舍)20x 20x2 5 5而 40，则 Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3(2012江西七校联考)数列 an的通项 an ，则数列 an中的最大值是(
9、)nn2 90A3 B1910C. D.119 1060解析：选 C an ，由基本不等式得， ，由于 nN *，易知当 n91n 90n1n 90n 1290或 10 时，a n 最大1191已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2(a n1) ，则 a2 等于( )A4 B2C1 D2解析：选 A 由题可知 Sn2(a n1) ，所以 S1a 12(a 11)，解得 a12.又 S2a 1a 22(a 21)，解得 a2a 124.2按数列的排列规律猜想数列 ， ， ，的第 10 项是( )23 4567 89A B1617 1819C D2021 2223解析：选 C 所给数列呈
10、现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列 an的通项公式，a n(1) n1，故 a10 .2n2n 1 20213数列a n的前 n 项积为 n2，那么当 n2 时，a n( )A2n1 Bn 2C. D.n 12n2 n2n 12解析：选 D 设数列a n的前 n 项积为 Tn，则 Tnn 2，当 n2 时，a n .TnTn 1 n2n 124已知数列a n满足 a10， ，则数列 an是( )an 1an 12A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析：选 B 0，则 an0，an 1an 12an 10 ，解得 n6 或 n
11、1(舍) 故从第 7 项起各项都是正数11已知数列a n的前 n 项和 Sn2n 22n，数列b n的前 n 项和 Tn2b n.求数列a n与b n的通项公式解： 当 n2 时，a nS nS n1 (2n 22n)2( n1) 22(n1)4n，当 n1 时，a 1S 14 也适合，an的通项公式是 an4n(n N*)Tn 2b n，当 n 1 时，b 12b 1，b11.当 n2 时，b nT nT n1 (2b n)(2b n1 )，2bnb n1 .数列 bn是公比为 ，首项为 1 的等比数列12bn n1 .(12)12(2012福州质检)数列a n中，已知 a12，a n1 a
12、 ncn( nN *，常数 c0)，且a1，a 2，a 3 成等比数列(1)求 c 的值；(2)求数列a n的通项公式解：(1)由题知，a 12，a 22c，a 323c ，因为 a1，a2，a3 成等比数列，所以(2c) 22(2 3c )，解得 c0 或 c2，又 c0，故 c2.(2)当 n2 时，由 an1 a ncn 得a2a 1c，a3a 22c，ana n1 (n1)c ，以上各式相加，得 ana 112(n1) c c，nn 12又 a12，c2 ，故 ann 2n2(n2) ，当 n1 时，上式也成立，所以数列a n的通项公式为 ann 2n2(n N*)1(2013嘉兴质检
13、)已知数列 an满足 a11，a n1 an2 n(nN *)，则 a10( )A64 B32C16 D8解析：选 B 因为 an1 an2 n，所以 an1 an2 2 n1 ，两式相除得 2.又an 2ana1a22，a 11，所以 a22，则 2 4，即 a102 5.a10a8a8a6a6a4a4a22数列a n中，S n为a n的前 n 项和，n(a n1 a n)a n(nN *)，且 a3 ，则 tan S4 等于( )A B.33 3C D.333解析：选 B 法一：由 n(an 1a n)a n得nan1 (n1) an，可得 3a44a 3，已知 a3，则 a4 .43又由
14、 2a33a 2，得 a2 ，23由 a22a 1，得 a1 ，故 S4 a1a 2a 3a 4 ，3 103tan S4tan .103 3法二：由 n(an1 a n)a n，得 nan1 (n1)a n即 ，an 1n 1 ann .ann an 1n 1 an 2n 2 a33 3an n，3S4 a1a 2a 3a 4 (1234) ，tan S4tan .3 103 103 33(2012甘肃模拟)已知数列 an中，a 11，且满足递推关系an1 (nN *)2a2n 3an man 1(1)当 m1 时，求数列 an的通项公式 an；(2)当 nN *时，数列 an满足不等式 a
15、n1 a n恒成立，求 m 的取值范围解：(1)m1，由 an1 (nN*)，得2a2n 3an 1an 1an1 2a n1，2an 1an 1an 1an 1 12(a n1)，数列 an1是以 2 为首项，公比也是 2 的等比数列于是 an122 n1 ，an2 n1.(2)an1 a n，而 a11，知 an1， a n，即 m a 2a n，2a2n 3an man 1 2n依题意，有 m(a n1) 21 恒成立an 1，m2 213，即满足题意的 m 的取值范围是3，)1下列说法中，正确的是( )A数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7B数列 1,0，1，2 与数列 2，1
16、,0,1 是相同的数列C数列 的第 k 项为 1n 1n 1kD数列 0,2,4,6,8，可记为 2n解析：选 C 数列 的通项公式为 an 1 ，ak1 .故 C 正确；由数列n 1n n 1n 1n 1k的定义可知 A、B 均错；D 应记作2(n1) 2数列a n满足 ana n1 (nN *)，a 22，S n是数列a n的前 n 项和，则 S21 为( )12A5 B.72C. D.92 132解析：选 B a1 a 2 2，a 22，a 3 2，a 42， ，知12 12 12a2n2，a 2n1 2，故 S2110 a 15 2 .12 12 12 723如图关于星星的图案中，第
17、n 个图案中星星的个数为 an，则数列a n的一个通项公式是( )Aa nn 2n1 Ba nnn 12Ca n Da nnn 12 nn 22解析：选 C 从图中可观察星星的构成规律，n1 时，有 1 个；n2 时，有 3 个；n3 时，有 6 个；n4 时，有 10 个，故 an1234n .nn 124已知数列a n中，a 13，a n1 ，则其通项公式为 _an2an 1解析：两边取倒数，得 2 ，故有 2.故数列 是首项为1an 1 2an 1an 1an 1an 1 1an 1an ，公差为 2 的等差数列，所以 2(n1) ，故 an .1a1 13 1an 13 6n 53 3
18、6n 5答案：36n 55已知数列a n满足：a 11，(n1) ann2 nan1 (nN，n2)，则数列a n的通项公式为_解析：当 n2，有(n1)a n n2nan1 ，故 2n，则有 2n1 ，anan 1 nn 1 an 1an 2 n 1n 2 2n2 ， 22.上述 n1 个式子累乘，得 an 2an 3 n 2n 3 a2a1 21 ana1 ( nn 12n) n 2n(n1)(n2)2 n2(n 1n 22n 1) (n 2n 32n 2) (2122).又因为 a11，所以 ann2 ，而当 n1 时，a 112 01，也 满足n 1n 22 n 1n 22上式，故数列a n的通项公式 为 ann2 .n 1n 22答案：a nn2n 1n 22
