1、24.1.2 垂直于弦的直径,知识点一,知识点二,知识点一圆的轴对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 名师解读:不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,因为对称轴一定是直线,而圆的直径是线段. 例1 下列交通标志中,是轴对称图形的是( ),知识点一,知识点二,解析:这些标志都是由圆和其他图形组成的,由于圆是轴对称图形,且对称轴是过圆心的直线,所以,只要与圆组合的图形是轴对称图形并且对称轴也过圆心即可,依次判断:A,不是轴对称图形,故本选项错误;B,是轴对称图形,故本选项正确;C,不是轴对称图形,故本选项错误;D,不是轴对称图形,故本选项错误. 答案:B,知识
2、点一,知识点二,解答这类问题,既可以采取折叠的方法判断,也可以根据圆和与其组合图形是否有共同的对称轴进行判断.,知识点一,知识点二,知识点二垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 名师解读:理解垂径定理可以从以下几个方面: (1)这类的垂“径”,可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质只要过圆心即可; (2)垂径定理中的“弦”可以是直径,是直径时,结论仍然成立; (3)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,也是计算圆中求线段的长度、求圆的半径、求角的度数的重要依据; (4)结合圆的对称性可以得出,弦的垂
3、直平分线经过圆心,这也是找圆的圆心的重要方法.,知识点一,知识点二,例2 如图,CD是O的直径,弦ABCD于点E,BCD=30,下列结论:AE=BE;OE=DE;AB=BC;BE= DE.其中正确的是( )A. B. C. D.,知识点一,知识点二,解析:根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断.CD是O的直径,ABCD, AE=BE,故正确.BCD=30,BOD=60.又OB=OD,OBD是等边三角形. ABCD,OE=DE,BE= DE,故正确.ACB=2BCD=60, 又AC=BC,ABC是等边三角形. AB=BC,故正确. 答案:D,知识点一,知识点二,解答这类问题,首先
4、要利用垂径定理得出相关结论,然后在结论的基础上进行推理,在进一步得出更多结论后,分别判断各个结论是否正确.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一垂径定理的实际应用 例1 如图,有一拱桥呈圆弧形,它的跨度(所对弦长AB)为60 m,拱高18 m,当水面涨至其跨度只有30 m时,就要采取紧急措施.某次洪水来到时,拱顶离水面只有4 m,问:是否要采取紧急措施?并说明理由.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,分析:如图,设圆的半径是R m,则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m.根据垂径定理求得AM的长,在RtAOM中,根据勾股定理求得R的值,在RtAON中,根据勾股定理求得AN的值,再根据垂径定理
5、求得AB的长,从而作出判断. 解:如图,设圆的半径是R m, 则ON=(R-4)m,OM=(R-18)m. 根据垂径定理,得AM= AB=30 m, 在RtAOM中,AO2=OM2+AM2, 即R2=(R-18)2+900,解得R=34. 在RtAON中,根据勾股定理得 ,根据垂径定理,得AB=2AN=3230.不用采取紧急措施.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类实际问题,首先弄懂题意,把实际问题转化为数学问题,然后利用垂径定理和勾股定理相结合,构造出直角三角形,进而可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点二利用垂径定理确定圆心的坐标 例2 如图所示,半
6、径为5的P与y轴相交于M(0,-4),N(0,-10)两点,则圆心P的坐标为( )A.(5,-4) B.(4,-5) C.(4,-7) D.(5,-7),拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类找圆心的问题,注意数形结合,综合运用垂径定理,勾股定理等知识进行分析计算,明确弦的垂直平分线经过圆心是关键.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点三与垂径定理有关的综合题 例3 在O中,O的直径为26,弦AB弦CD,AB=10,CD=24,求AB与CD间的距离.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,分析:作OEAB于E,OFCD于F,连接OA,OC,由垂径定理得,由于ABCD,易得
7、E,O,F三点共线,在RtAOE和RtOCF中,利用勾股定理分别计算出OE与OF,然后分类讨论:当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD的距离=OE-OF.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解:如图,作OEAB于E,OFCD于F,连接OA,OC,OA=OC=13,则ABCD,E,O,F三点共线,当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD间的距离=OE+OF=12+5=17;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD间的距离=OE-OF=12-5=7.所以AB与CD间的距离是17或7.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答圆的有关问题,当圆心或弦之间的位置关系没有明确时,注意要分类讨论,以免漏解.,
