1、第一讲 基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为：, ,21 222 121mnmnbxaxa 其中未知数的个数 和方程式的个数 不必相等。线性方程组的解是一个 维向量 （称为解向量） ，它满足：当每个方程nk,21中的未知数 都用 替代时都成为等式。ixik线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。对线性方程组讨论的主要问题有两个：（1）判断解的情况。 （2）求解，特别是在有无穷多解时求通解。的线性方程组称为齐次线性方程组。021mbb维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有n两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解） 。把一个非
2、齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 ，所得到的齐次线性方程组称0为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。2矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。由 个数排列成的一个 行 列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个nmmn型矩阵。例如8139245201是一个 矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵和mnmnaaA 212112 mnmnbaaA 212112|为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。一个矩阵中的数称为它的元素，位于第 行第 列的数称为 位元素。ijji,元素全为 的矩阵称为零矩阵，通常
3、就记作 。00两个矩阵 和 相等（记作 ）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类ABBA型相同） ，并且对应的元素都相等。由 个数构成的有序数组称为一个 维向量，称这些数为它的分量。nn书写中可用矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是 的向量可表示成na,21或 ，na,21 21请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是 矩阵，n1右边是 矩阵） 。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。 （请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别。 ）一个 的矩阵的每一行是一个 维向量，称为它的行向量；每一列是一个 维向nmn m量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩
4、阵，例如当矩阵 的列向量组为A时（它们都是表示为列的形式！）可记 。n,21 nA,21矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为 的向量称为零向量，通常也记作 。00两个向量 和 相等（记作 ） ，是指它的维数相等，并且对应的分量都相等。（2）线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明。加（减）法：两个 的矩阵 和 可以相加（减） ，得到的和（差）仍是 矩nmABnm阵，记作 ，法则为对应元素相加（减） 。BA数乘：一个 的矩阵 与一个数 可以相乘，乘积仍为 的矩阵，记作 ，cncA法则为 的每个元素乘 。c这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律： 加法交换律： 。
5、 加法结合律：A。CBA 加乘分配律： 。 。cBcdAc 数乘结合律： 。 或 。Ad0转置：把一个 的矩阵 行和列互换，得到的 的矩阵称为 的转置，记作nmmn（或 ） 。 有以下规律：TA 。 。 。TTTBTcA转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个向量看作矩阵了。当 是列向量时， 表示行向量，当 是行向量时， 表示列向量。TT向量组的线性组合：设 是一组 维向量， 是一组数，则称s,21 nsc,21scc21为 的（以 为系数的）线性组合。s, sc,21维向量组的线性组合也是 维向量。nn（3） 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都
6、为 的矩阵也常常叫做 阶矩阵。nn把 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线。 （其上的元素行号与列号相等。 ）下面列出几类常用的 阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的。对角矩阵：对角线外的元素都为 的 阶矩阵。0单位矩阵：对角线上的元素都为 的对角矩阵，记作 （或 ） 。1EI数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数 的对角矩阵，它就是 。cc上三角矩阵：对角线下的元素都为 的 阶矩阵。n下三角矩阵：对角线上的元素都为 的 阶矩阵。对称矩阵：满足 矩阵。也就是对任何 位的元素和 位的元素总是ATji,ij,相等的 阶矩阵。n（反对称矩阵：满足 矩阵。也就是对任何 位的元素和 位的元Tji,i
7、j,素之和总等于 的 阶矩阵。反对称矩阵对角线上的元素一定都是 。 ）0 03矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换： 交换两行的位置。 用一个非 0 的常数乘某一行的各元素。 把某一行的倍数加到另一行上。(称这类变换为倍加变换)类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了。初等行变换与初等列变换统称初等变换。阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足： 如果它有零行，则都出现在下面。 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角。简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形
8、矩阵，特点为： 台角位置的元素为 1。 并且其正上方的元素都为 0。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：1一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。2一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的。4线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组（即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组） 。线性方程组的同解变换有三种： 交换两个方程的上下位置。 用一个非 0 的常数乘某个方程。 把某个方程的倍数加到另一个方程上
9、。以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。线性方程组求解的基本方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元法。对非齐次线性方程组步骤如下：（1）写出方程组的增广矩阵 ，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 。|A|B（2）用 判别解的情况：|B如果最下面的非零行为 ，则无解，否则有解。d|0,有解时看非零行数 （ 不会大于未知数个数 ） ， 时唯一解； 时无穷多解。rnrnr（推论：当方程的个数 时，不可能唯一解。 ）nm（3）有唯一解时求解的初等变换法：去掉 的零行，得到一个 矩阵 ，并用初等行变换把它化为简|B10|B单阶梯形矩阵 ，则 就是解。|E对齐次线性方程组：（1）写出方程
10、组的系数矩阵 ，用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 。AB（2）用 判别解的情况：非零行数 时只有零解： 时有非零解（求解方法Bnrnr在第五章讲） 。 （推论：当方程的个数 时，有非零解。 ）m讨论题1设 是 阶矩阵，则An（A） 是上三角矩阵 是阶梯形矩阵。A（B） 是上三角矩阵 是阶梯形矩阵。（C） 是上三角矩阵 是阶梯形矩阵。（D） 是上三角矩阵与 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系。2下列命题中哪几个成立？（1）如果 是阶梯形矩阵，则 去掉任何一行还是阶梯形矩阵。（2）如果 是阶梯形矩阵，则 去掉任何一列还是阶梯形矩阵。AA（3）如果 是阶梯形矩阵，则 也是阶梯形矩阵。B|（4）如果 是阶梯
11、形矩阵，则 也是阶梯形矩阵。| B（5）如果 是阶梯形矩阵，则 和 都是阶梯形矩阵。BAAB第二讲 行列式一概念复习1形式和意义形式：用 个数排列成的一个 行 列的表格，两边界以竖线，就成为一个 阶行列2nn n式：nnnaa 212112如果行列式的列向量组为 ，则此行列式可表示为 。n,21 n,21意义：是一个算式，把这 个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的值。请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别。当两个行列式的值相等时，就可以在它们之间写等号！（不必形式一样，甚至阶数可不同。 ）每个 阶矩阵 对应一个 阶行列式，记作 。nAnA行列式这一讲的核心问题是值的计算，
12、以及判断一个行列式的值是否为 。02定义（完全展开式）阶和 阶行列式的计算公式：3。212121aa 3213213213213213213231 aaa一般地，一个 阶行列式nnnnaa 212112的值是许多项的代数和，每一项都是取自不同行，不同列的 个元素的乘积，其一般形式n为：，njj21这里把相乘的 个元素按照行标的大小顺序排列，它们的列标 构成 的一nj21,个全排列（称为一个 元排列） ，共有 个 元排列，每个 元排列对应一项，因此共有!n个项。!n所谓代数和是在求总和时每项先要乘 或 。规定 为全排列1nj21的逆序数（意义见下面） ，则项 所乘的是 。nj21 njja21n
13、j21全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数。逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数。例如求 的逆序数：4365。1023436512,02 至此我们可以写出 阶行列式的值：n。n nnj jjjnn aaa 21 21212112 这里 表示对所有 元排列求和，称此式为 阶行列式的完全展开式。nj21用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大。只在有大量元素为 ，使得只有少0数项不为 时，才可能用它作行列式的计算。例如对角行列式，上（下）三角行列式的值0就等于主对角线上的元素的乘积，因为其它项都为 。03化零降阶法把 阶行列式的第 行和第 列划去后所
14、得到的 阶行列式称为 位元素 的nij1nji,ija余子式，记作 。称 为元素 的代数余子式。ijMijiijA1ija定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和。命题 第三类初等变换（倍加变换）不改变行列式的值。化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为 ，再用定理，于0是化为计算一个低 阶的行列式。1化零降阶法是实际计算行列式的主要方法，因此应该熟练掌握。4其它性质行列式还有以下性质： 把行列式转置值不变，即 。 某一行（列）的公因子可提出。于是，AT。Acn 对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量 ，则原行列式等于两个行列式之和
15、，这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量 换为 或 所得到的行列式。例如。, 2121 把两个行（列）向量交换，行列式的值变号。 如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数，则行列式的值为 。0某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 。如果 与 都是方阵（不必同阶） ，则AB。 *0范德蒙行列式：形如 ininiinnaa 321 22231 1的行列式（或其转置） 。它由 所决定，它的值等于 。,3 jii因此范德蒙行列式不等于 两两不同。n,021对于元素有规律的行列式（包括 阶行列式） ，常常可利用性质简化计算，例如直接化为三角行列式等。5克莱姆法则克
16、莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数 （即系数矩阵为 阶矩nn阵）的情形。此时，如果它的系数矩阵的行列式的值不等于 ，则方程组有唯一解，这个0解为，DDn/ ,/ ,/21这里 是系数行列式的值， 是把系数行列式的第 个列向量换成常数列向量所得到的行i i列式的值。说明与改进：按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值。因此法则的主要意义在理论上，用在对解的唯一性的判断，而在这方面法则不够。法则的改进：系数行列式不等于 0 是唯一解的充分必要条件。实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵 作初等行变换，使得 变为单位矩阵：|AA， 就是解。|EA用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数
17、矩阵 是方阵，则它只有零解的充分必要条件是 。0第三讲 矩阵一概念复习1矩阵乘法的定义和性质定义 21 当矩阵 的列数和 的行数相等时，和 和 可以相乘，乘积记作 。ABABAB的行数和 相等，列数和 相等。 的 位元素等于 的第 个行向量和 的第ABji, i个列向量（维数相同）对应分量乘积之和。j设 , , mnmnaa 212112 nsnsbbB 212112,msmsccABC 21211则 。njijijiij baba矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同： 矩阵乘法有条件。 矩阵乘法无交换律。 矩阵乘法无消去律，即一般地由 推不出 或 。0AB0B由 和 推不出 。 （无左消去律）
18、CC由 和 推不出 。 （无右消去律）请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来。矩阵乘法适合以下法则： 加乘分配律 ， 。ABABCA 数乘性质 。 结合律 。c 。TTAB2 阶矩阵的方幂和多项式n任何两个 阶矩阵 和 都可以相乘，乘积 仍是 阶矩阵。并且有行列式性质：ABn。如果 ，则说 和 可交换。BA方幂 设 是正整数， 阶矩阵 的 次方幂 即 个 的连乘积。规定 。knkk EA0显然 的任何两个方幂都是可交换的，并且方幂运算符合指数法则： 。 。 但是一般地 和 不一定相等！hkkkhkAkBk阶矩阵的多项式n设 ，对 阶矩阵 规定011axxaxfmm
19、 nA。EAA1称为 的一个多项式。请特别注意在常数项上加单位矩阵 。乘法公式 一般地，由于交换性的障碍，小代数中的数的因式分解和乘法公式对于阶矩阵的不再成立。但是如果公式中所出现的 阶矩阵互相都是乘法交换的，则乘法公n n式成立。例如当 和 可交换时，有：AB；22B。BAA2二项展开式成立： 等等。miiiC1前面两式成立还是 和 可交换的充分必要条件。B同一个 阶矩阵的两个多项式总是可交换的。一个 阶矩阵的多项式可以因式分解。n n3分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法。对两个可以相乘的矩阵 和 ，可AB以先用纵横线把它们切割成小矩阵（一切 的纵向切割和 的横向切割一致！）
20、 ，再用它AB们来作乘法。（1）两种常见的矩阵乘法的分块法则（2） 21221122121 ABA要求 的列数 和的行数相等。ijjk准对角矩阵的乘法：形如nAA 021的矩阵称为准对角矩阵，其中 都是方阵。kA,21两个准对角矩阵， kAA 021 kBB 021如果类型相同，即 和 阶数相等，则 。ii kAA 021（2）乘积矩阵的列向量组和行向量组设 是 矩阵 是 矩阵。 的列向量组为 ， 的列向量组为AnmBsAn,21 B， 的列向量组为 ，则根据矩阵乘法的定义容易看出（也是s,21 s,21分块法则的特殊情形）： 的每个列向量为： ， 。ii,即 。ss AA, 2121 ，则
21、。Tnb, nbb21应用这两个性质可以得到：如果 ，则Tiii ,。niiiiA21即：乘积矩阵 的第 个列向量 是 的列向量组 的线性组合，组合BiAn,21系数就是 的第 个列向量 的各分量。ii类似地，乘积矩阵 的第 个行向量是 的行向量组的线性组合，组合系数就是AB的第 个行向量的各分量。Ai以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出。它们无论在理论上和计算中都是很有用的。（1）当两个矩阵中，有一个的数字很简单时，直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量，从而提高了计算的速度。（2）利用以上规律容易得到下面几个简单推论：用对角矩阵 从左侧乘一个矩阵，相当
22、于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵 从右侧乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。数量矩阵 乘一个矩阵相当于用 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。kEk两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。（3）矩阵分解：当一个矩阵 的每个列向量都是另一个 的列向量组的线性组合时，CA可以构造一个矩阵 ，使得 。BA例如设 ， ，令,A2,3,2，则 。2103（4）初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵 作一次初等（行或列）交换，所得到的矩阵称为初等矩阵。E有三类初等矩阵： ：交换 E 的
23、 ， 两行（或列）所得到的矩阵。ji,ij：用非 0 数 乘 的第 行（或列）所得到的矩阵，也就是把 的对角线上的cic E第 个元素改为 。：把 的第 行的 倍加到第 行上（或把第 列的 倍加到第 列jE,jijciicj上）所得到的矩阵，也就是把 的 位的元素改为 。i,c命题 对矩阵作一次初等行（列）变换相当于用一个相应的初等矩阵从左（右）乘它。4矩阵方程和可逆矩阵（伴随矩阵）（1）矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程：（I） 。 （ II） 。BAXBXA这里假定 是行列式不为 0 的 阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且n唯一的。 （否则解的
24、情况比较复杂。 ）当 只有一列时， （I）就是一个线性方程组。由克莱姆法则知它有唯一解。如果 有B列，设 ，则 也应该有 列，记 ，则有ss,21 ssXX,21， ，这是 个线性方程组。由克莱姆法则，它们都有唯一解，从而iiAX有唯一解。B这些方程组系数矩阵都是 ，可同时求解，即得A（I）的解法：将 和 并列作矩阵 ，对它作初等行变换，使得 变为单位矩阵，此时 变为BAB解 。XEBA（II）的解法：对两边转置化为（I ）的形式： 。再用解（I）的方法求出TTBX，转置得 。 TXTTXEBA矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往并不直接写成（I）或（II ）的形式，要用恒等变形简
25、化为以上基本形式再求解。（2）可逆矩阵的定义与意义定义 设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 ， ，则称 为nnBEABA可逆矩阵。此时 是唯一的，称为 的逆矩阵，通常记作 。BA1如果 可逆，则 在乘法中有消去律：A； 。 （左消去律） ； ； 。 （右消0C0C去律）如果 可逆，则 在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边）：。 。BC11AB由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：（I） 的解 。 （II ） 的解 。AXAX1BA这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大（多了一次矩阵乘积运算） 。（3）矩阵可逆性的判别与性质定理 阶矩阵 可逆 。n0证明 “ ”对 两边取行列式
26、，得 ，从而 。 （并且EA1 1A0。 ）1A“ ”因为 ，矩阵方程 和 都有唯一解。设 ， 分别是它0XEBC们的解，即 ， 。事实上 ，于是从定义EBCCB得到 可逆。推论 如果 和 都是 阶矩阵，则 。nA于是只要 （或 ）一式成立，则 和 都可逆并且互为逆矩阵。A可逆矩阵有以下性质：如果 可逆，则也可逆，并且 。1A1也可逆，并且 。T TT时， 也可逆，并且 。0c 11c对任何正整数 ， 也可逆，并且 。kkkA（规定可逆矩阵 的负整数次方幂 。 ）Ak如果 和 可逆，则 也可逆，并且 。 （请自己推广到多个可逆B11B矩阵乘积的情形。 ）初等矩阵都是可逆矩阵，并且， ， 。ji
27、Eji,111ciEi cjiEcji,1（4）逆矩阵的计算和伴随矩阵计算逆矩阵的初等变换法当 可逆时， 是矩阵方程 的解，于是可用初等行变换求 ：A1AX1A1AE这个方法称为求逆矩阵的初等变换法。它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多。伴随矩阵若 是 阶矩阵，记 是 的 位元素的代数余子式，规定 的伴随矩阵为Anijji, A。TijmnnnA 212121*请注意，规定 阶矩阵 的伴随矩阵并没有要求 可逆，但是在 可逆时， 和A*有密切关系。1A基本公式： 。EA*于是对于可逆矩阵 ，有，即 。/11因此可通过求 来计算 。这就是求逆矩阵的伴随矩阵法。1和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非 ，一般不用它来求逆2n矩阵。对于 2 阶矩阵，acbdcba*因此当 时，0。bcdcdc1伴随矩阵的其它性质：如果 是可逆矩阵，则 也可逆，并且 。A*A*/*11AA 。1*n 。TT 。c ； 。Bkk*当 时， ； 时， 。2nAn2*A*
