1、 1 / 25第一章 误差1 问 3.142，3.141， 分别作为 的近似值各具有几位有效数字？72分析 利用有效数字的概念可直接得出。解 =3.141 592 65记 x1=3.142，x 2=3.141，x 3= .由 - x 1=3.141 59-3.142=-0.000 40知34110|02x因而 x1 具有 4 位有效数字。由 - x 2=3.141 59-3.141=-0.000 59知223|21x因而 x2 具有 3 位有效数字。由 - =3.141 59 -3.142 85=-0.001 26知72310|7|102因而 x3 具有 3 位有效数字。2 已知近似数 x*有
2、两位有效数字，试求其相对误差限。分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。解 利用有效数字与相对误差的关系。这里 n=2,a1 是 1 到 9 之间的数字。%502102|*|)(| 2* nr ax3 已知近似数的相对误差限为 0.3%，问 x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。解 a1 是 1 到 9 间的数字。 112* 0)(20)19(103%.0)( axr设 x*具有 n 位有效数字，令-n+1=-1，则 n=2，从而 x*至少具有 2 位有效数字。4 计算 sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于 0.01%。分析 本题应利用有效数
3、字与相对误差的关系。解 设取 n 位有效数字，由 sin1.2=0.93，故 a1=9。411* 0%.02|)( nr ax解不等式 知取 n=4 即可满足要求。41102na5 计算 ，视已知数为精确值，用 4 位浮点数计算。7692 / 25解 0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5760159结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：5610734.10578.60791就得到 4 位有效数字的结果。此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效
4、数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当 x 接近于 0，计算 时，应先把算式变形为xsinco1)(sincico12再计算。又例如，当 x 充分大时，应作变换 xx1)(16 计算 ，取 ，采用下列算式计算：6)2(a4.（1） ；（2） ；709（3） ；3)(（4） .1问哪一个得到的结果最好？解 显然 666 )12()12()12( a709336 3326 )()1()2()1( 所以（1）（2）（3）（4） ，这 4 个算式是恒等的，但当取 计算时，因为4.1（2） ， （3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算
5、式（4）最好，事实上，当取 时，有|x|4|ac|的情形时，有 ，则用上述公式求出的两个根中，|2总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后 8 位的计算机上进行计算，则-b=10 9+1=0.11010+0.000 000 00011010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=10 9.通过类似的分析可得9210|4bac所以，求得的两个根分别为9921 bx02142 ac显然，根 x2 是严重失真的。为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式： ，在计算机上采用如下acx21公式
6、：abx24)sgn(12c其中，sgn（b）是 b 的符号函数，当 b0 时 sgn（b）=1；当 b0 时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。8 当 N 充分大时，如何计算 1NdxI分析 函数 的原函数已知，我们自然考虑用 Newton-Leibniz 公式求这个定积分21x4 / 25的值。由于 N 很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。解 若 用 定 积 分 的 Newton-Leibniz 公 式 计 算 此 题 ， 有，则当 N 充分大时，因为 arctan（N+1）和 arctanN12arctn)1arctn(
7、Nx非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令 tan 1=N+1, tan 2=N，则由,得)()1(tan1t)tan(2121 NNarctnrtrc就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当 N 充分大时，用 计算积分的值较好。1 221artnNx9 计算积分 .0,(dxeIn分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。解 利用分部积分法，有 10 1010110| dxendxexdexe nxnnn得递推公式：（1）1(,2)nnII
8、0edx利用公式（1）计算 In，由于初值 I0 有误差，不妨设求 I0 的近似值 时有大小为 的误差，*0I即 0I则由递推公式（1）得 1001 III !2212 333 IIII !4!44 !)1(nIn显然初始数据的误差 是按 n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当 n=10 时，5 / 2510！3.62910 6, ，这表明 I10 时已把初始误差 扩大了很多倍，从而!10|10I的误差已把 I10 的真值淹没掉了，计算结果完全失真。10I但如果递推公式（1）改成)2,31,()1knIIn于是，在从后往前计算时，I n 的误差减少为原来的 ，所以，若取 n 足够大，误并逐步减
9、小，显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。10 为了使计算32)1(6)(4130xxy的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解 设 .6(,1txt在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。11 若 x*=3587.64 是 x 的具有六位有效数字的近似值，求 x 的绝对误差限。12 为使 的近似值的相对误差小于 0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？7013 利用四位数学用表求 x=1-cos2的近似值，采用下面等式计算：（1）1-cos2（2）2sin 21问哪一个结果
10、较好？14 求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知 ） 。982.7315 数列 满足递推公式0n),21(10nxn若取 (三位有效数字 )，问按上述递推公式，从 x0 计算到 x10 时误差有多大？这41.20x个计算过程稳定吗？16 如果近似值 的相对误差限mnaaax 1)10(2321 小于 ，证明：这个数具有 n 位有效数字。10)(2na6 / 25第二章 插值法与数值微分1 已知 ，试利用插值法近似计算 。124,12,0 15分析 由题中已知条件本题可利用三点二次 Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton 插值，它们所得结果相同。解
11、 利用三点二次 Lagrange 插值。记 ，则 的二次12,10,4,12,0,)( yyxxf )(xfLagrange 插值多项式为 )()(210120102 xyL12xx)14)(0()4)( 20)15()15(2Lf)142)(01(5)40 76.21)(04(12因为 ，5238,),)( xfxfxf(22LR)14,0(),()!31210 xxf所以|)5()(|)5(| 22Lf|)145)(21(08361| 225 063.92 已知 的函数表)(xfy7 / 25xi 0 1 2yi 8 -7.5 -18求函数 在0,2之间的零点的近似值。)(f分析 一般情况
12、下，先求出 在0，2 上的插值函数 ，然后求 的零点，)(xf )(xP)(x把此零点作为 的近似零点。特别地，若 的反函数存在，记为 ，那么求xf )(f y的零点问题就变成求函数值 的问题了，利用插值法构造出 的插值函数，从)(xf 0而求出 的零点 的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反)(插值条件，即函数 必须有反函数，也即要求 单调。本题 是严格单调下fy)(xfyi降排列，可利用反插值法。解 将原函数表变成反函数表yi 8 -7.5 -18xi 0 1 2利用三点二次 Lagrange 插值，由上反函数表构造 的反函数 的二次)(xfy)(yLagrange 插
13、值多项式。令 ，则 的二次 Lagrange 插2,18,5.7,810210xyy值多项式为)()()( 21012102 yyxyxyL)(1202函数 的近似零点为)(xfy)185.7)(.(0)8(5.702 L).1)(02345.3 设 ，试用 Lagrange 插值余项定理写出以-1 ，0，1，2 为插值节点的三次)(xf插值多项式。解 设 以-1，0。1，2 为插值节点的三次 Lagrange 插值多项式为 ，由f )(3xLLagrange 插值余项定理有)2(1)0(!4)()()(33 xxfxLfxR)2(1)0(8 / 25因而 )2(1)0()(3 xxfxLx3
14、4 4 设 是以 为节点的 Largange 插值基函数，试证：,)(,10lln n,1（1） .nkx（2） .jjl0),()（3） .nkkj n10(（4） nkjkxl0)(分析 本题是关于 Lagrange 插值基函数 的性质问题，观察要证明),10)(nkxl的结论，应考虑对常数 1 和 进行插值入手，通过插值余项为 0 得到结论。j证 （1）设 ,则 以 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式为)(xf)(fn,10nkkxllxL0)()(由插值余项定理知)(!1()(xnfxf n从而fL即nkxl01)(（2）设 则 以 为插值节的 n 次 Lagrange
15、 插值多),1()jxffn,项式为nkkllfL00)()(由插值余项定理知0)(!1()( xnfxLf n从而 )fn即 kxl01(（2）设 ，则 以 为插值节点的 n 次 Lagrange 插),1()jxf)fnx,0,j,2,)(10nn9 / 25值多项式为nknkjxlxlfxL00)()()(由插值余项定理0)(!1()()xnfxLf n从而)(fn即 kjj nxl0 ),1(（3）将 按二项式展开，得jkx)(ji ijkijjk xC0)()(代入左端，得 nknkhi kijij xlCxl00)()1()(jinkkijijil00)()(利用（2）的结论，有
16、ji jijinkkj xxCxl00 0)()1()(（4）当 时，由（2）的结论知j,1|)(00xnkjjkl当 时，令 ，有nj 1)(xf )!1(1nfn以 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式为)(xfn,10kkxlL01)()(由插值余项定理知10 / 25)()(!1()( 1) xnfxLf nn从而 )()(1fnn即 nk nnk xxxl0 )1011 ()()(令 ，有xnk nnkl0101)(5 设 ，且 ，求证,)(2baCfbf|)(|max8)(|)|mx2fb分析 本章内容是代数插值，而题设 ，易知若用线性插值，线性插值0(f函数只能为
17、0，且误差为 ，这样利用余项估计式可直接把 与)()(!21af )(xf联系起来。)(xf证 以 a,b 为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为0)()()(1 bfaxfbaxL线性插值余项为),()(!2)()(1xfxf 从而)(!)(baf由于 在 处取最大值，故|)(|bxa21|)(|max|)(|x|)(|mbxbfxf |82fab6 证明：由下列插值条件x0 0.5 1 1.5 2 2.5)(f-1 -0.75 0 1.25 3 5.25所确定的 Lagrange 插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题？分析 本题是关于 Lagrange 插值问题，由已知数据表
18、构造 Lagrange 插值多项式便可得出结论。11 / 25解 令 5.2,5.1,5.0, 43210 xxx.7yyy以 为插值节点作 的二次插值多项式 ，则420,x)(f )(2L)()( 420240202 xxyxyxL)(2404)21(0(1xx2x易验证 ，因而满足插值条件)5,0()2iyLi（1）)5,10(iyLii的 Lagrange 插值多项式为 。)2xP由插值多项式的存在惟一定理知满足条件（1）的 5 次插值多项式是存在且惟一的，但该 5 次多项式并不一定是真正的 5 次多项式，而是次数5 的多项式。7 对于任意实数 以及任意正整数 ，多项式0sr,)()()
19、()( 010101xfxfxxqsr 是 次多项式，且满足 。本题说明了什么问题？sr,0qf解 本题说明由两个插值条件 构造大一 1 次的插值多项式，)(),(10ff答案是不惟一的，类似地，由 n+1 插值条件构造大于 n 次的插值多项式，答案也是不惟一的。8 我们用 sin30=0.5,sin45=0.7071,sin60=0.8660，作 Lagrange 二次插值，并用来求 sin40的近似值，最后根据插值余项定理估计此误差。分析 本题显然是利用 Lagrange 插值余项定理解 设xfxfxfxf cos)(,sin)(,cos)(,sin)( 令6981.04,072.16,7
20、854.0,5236.0210 x其插值余项为12 / 25)()(!3)( 210)2 xxfxR从而 )6981.0(|)4(22)0472.1698.)(754.06981.)(523.0.!3cos 4749 已知 对应的函数值为 ，作三次 Newton 插值多项式，如再增,20x,2y加 时的函数值 6，作四次 Newton 插值多项式。分析 本题是一道常规计算题解 首先构造差商表 ix)(ixf一级差商 二阶差商 三阶差商02351 3251 -13/2-2/35/6 3/10三次 Newton 插值多项式为)3(2103)(21)(3 xxxN增加 作差商表6,44fix)(i一
21、级差商 二阶差商 三阶差商 四级差商023561 32561 -13/21-2/35/6-1/63/10-1/4 -11/120四次 Newton 插值多项式为)3(203)(21)(4 xxxN510 已知 ，求 及1)(47f ,710f 2,810f分析 本题 是一个多项式，故应利用差商的性质。x13 / 25解 由差商与导数之间的关系 及 ， 知)(!1,0nnfxf !7)(xf0)(8xf72,)(710!8,)(8ff11 若 有 n 个相异的实根 ， ，则有011)( axxaxfnn 1xn,22,k分析 有 n 个相异实根，故 可表示成 ，考察本题要证明的结论和)(xf )
22、(xfniix1)()(f的特点，应考虑利用差商可表示为函数值的线性组合这一性质。证 由于 是 的 n 个互异的零点，所以nx,21 )(f121() )()niifaxax1()(njjiifa（1）111()()()kk knnnj j jjj jji jii ixxxf记 则,)(kkxg20nk（2）11an由（1） ， （2）得1211(),()knj kj nnj j njiixgxgkxf a20k11nan12 设 ，且 互不相同，证明xaf1)( x,210njjkf1)(an)(1gnk(1)!nkg14 / 25),21()(1,010 nkxaxaxfk 并写出 的 n
23、 次 Newton 插值多项式。)(分析 利用差商的定义可证得证 用数学归纳法证明当 时1k 11)(, 00100 xaxxfxf )(a假设当 时，结论成立，即有mk ,1,)(1, 121010 miiii xaxfxxf 那么10110110 , mmxffxf )()(1010iiiixax10010)(miixa0)(miix即当 时，结论成立。1mk由数学归纳法知对任意 ，结论是成立的。k以 为插值节点的 n 次 Newton 插值多项式为)(xfnx,0 )()()( 10110 nn xaxaxaaN 13 设 定义,)(1bCxf,lim00fxf证明： 。)(,00ff分
24、析 本题应利用差商的概念和微分中值定理将差商与导数联系起来。证 由微分中值定理有10),()(,000 xfxfxf所以15 / 25)(lim,li, 00000 xfxfxfxf 14 设 ，且 ，试证11)( aan nnhf!)(其中 为等距节点步长。h分析 由于 是多项式，因此应考虑用差商的性质和差商与差分的联系来证明。)(xf证 记),21,0(nihi nnn afxfx!(,!)(10所以nnhaxf!)(15 已知函数 的函数表)(fyx0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)(f1.00 1.32 1.68 2.08 2.52 3.00试列出相应的向前差分表，并写出
25、 Newton 向前插值公式。分析 这是常规计算题，按照公式计算即可。解 构造向前差分表ix)(ixfifif2if30.00.10.20.30.40.51.001.321.682.082.523.000.320.360.400.440.480.040.040.040.040.000.000.00的 Newton 向前插值公式为)(xf )1.0()55tNx20!(!fff1,.3.2. ttt16 给出 的数据表nxf1)(x0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9)(1n-0.916 29 -0.693 -0.510 -0.356 -0.223 -0.105 16 / 25147
26、826 675 144 361（1）用线性插值及二次插值计算 1n0.54 的近似值。（2）用 Newton 向后插值公式求 1n0.78 的近似值，并估计误差。分析 本题属于常规计算题，按照公式计算即可。解 （1）线性插值，取 ，则6.0,5.10x5.064)82(.4)17693.(54.0 n=-0.620 219二次插值，取 ，则7.0,6.,5.021xx)7.05)(6.(4)493.(4. n0.8251.0)6.07)(5.(4.)673.(=-0.616 838 2也可取 进行二次插值得6.0,5.,4.01xx1n0.540.615 319 8（2）记 ，构造向后差分表9
27、.0,.,7.,.,.,. 5432 xix)(ixfifif2if3if4if50.40.50.60.70.80.9-0.916 291-0.693 147-0.510 826-0.356 675-0.223 144-0.105 3610.223 1440.182 3210.154 1510.133 5310.117 783-0.40 823-0.028 170-0.20 620-0.015 7480.012 6530.007 5500.004 872-0.005 103-0.002 678 0.002 425由 Newton 向后插值公式 )()thxNnxnn fttftf )1()!1
28、|)1(!22由于 ，当 ，故tn 2.0./87.0(,4,78.0t时).(78.014=-0.223 144+0.133 531(-0.2)620.)(12.0)(!17 / 25)507.)(2.0)(1.)(20!31)13.(.40.248 453由插值余项5)(44 )4(1!5)( httfxNfxRs知|)(|,ma|)4(1|!5|)78.0(| 5404 xfxtth |)42.03.2.(.20|. 45198.4.!17 已知 sin30=0.5， sin45=0.7071， sin (30)=cos30=0.8660， sin (45)=cos45=0.7071，求
29、 sin40。分析 本题不仅给出两点上的函数值，而且还给出了导出数值，因此应利用两点三次Hermite 插值。解 利用两点三次 Hermite 插值)92()40(sin33H5.0)4/6/1271.2)(46/2(80./9)(71.)642(2=0.6428|)492()6(!4)sin|)92(| 2R 01.3)18218 已知自然对数 1nx 和它的导数 1/x 的数表18 / 25x0.40 0.50 0.60 0.70n1-0.916 291 -0.693 147 -0.356 675 -0.223 1442.50 2.00 1.43 1.25（1）利用 Lagrange 插值
30、公式，求 1n0.60。（2）利用 Hermite 插值公式，求 1n0.60。分析 本题属常规计算题，按有关公式计算即可。解 记 。首先列表计算80.,7.,50.,4. 3210 xx)3)(,6.(illii (li )6.(il )(ixl0 0jjx-0.166 667 -15.833 333301jj1 301jj0.666 667 1.666 66731jjx2 32jjx0.666 667 1.666 667320jj3 30jj-0.166 667 15.833 333301jjx（1）利用 Lagrange 插值公式，有303)(6.).(60.iixflLn=-0.166
31、 667(-0.916 291)+0.666 667(-0.693 147)+0.666 667(-0.356 675)+(-0.166 667)(-0.223 144)=-0.509 976（2）利用 Hermite 插值公式，有 30 227 )()()(21)(i iiiii xflxflxxH从而 -0.510 889。67n注：本题的真值 -0.510 825 623，可以看出 Hermite 插值所得结果要比nLagrange 插值结精确得多。19 设已知 上三个互异的节点，函数 上具有连续的四阶,210bax是 ,)(baxf在导数，而 是满足下列条件的三次多项式：)(3H)2,
32、10()(ixfii1（1）写出 的表达式。)3x（2）证明： ),()()(!4( 210)3 baxxff 19 / 25分析 这是带导数的插值问题，但又不是 Hermite 插值问题，要求我们灵活运用插值方法，解决这类问题的方法较多，常用的有以下两种解法。（1）解法一 用插值法加待定系数法来做。设 为满足插值条件 的二次式，由插值条件可设)(2xN)2,10)(2ixfNi的形式为3H()(3 xAx,),( 2100100 xfff（1）)2x其中 A 为待定系数，显然由（ 1）确定的 满足 ，待定系数3H),(3ifiA 可由插值条件 来确定，为此对（1）式两边求导数)(13xf,)
33、(,)( 2102003 fxfH)(12 xx令 ，并利用插值条件 有1)(13f)(,)( 202010 Axff于是从而)(,)(21021xffA ,)(,)( 210003 fxfxfH)(,)210211 xf)(0xx解法二 用插值基函数来构造。首先构造四个三次插值基函数 ，使其满足条件)(,)(,1210xhh0)(,1)(10 xxh,)()(, 12222 ,0)()(1101 xhx由 所满足的条件，可设 ，其中 A 为待定系数。由 ，)(0xh )(2Axh 1)(0xh得 ，故有)(201A)(2010xx同理可得)()(02122xxh由 满足的条件，可设 ，其中
34、C 为待定系数，由)(1xh (211C20 / 25，得 ，故有1)(xh)(120xC)()(2101xh下面求 满足条件，设 ，其中)(,1xh由 )(210xba为待定系数，利用 得ba, )(,1x1ba01)()( 2101xbax由此得)(210xa21b所以 21201 20201 )()()()() xxxxh 易验证 )()()()()( 12103 hffhfxfH（2）证 当 为插值节点 中任一点时，结论显然成立，下面设 异于0,x x。10,x由于 满足)()(33fR0)(,)(,)(, 1323130 RxR故可设 ，其中 K 为依赖于 的待定系数。21xxK固定
35、 ，作辅助函数)()()() 2103ttHtfG显然 上有四个零点 ，其中 为二重零点。,)(bat在 210,利用 Rolle 定理，知 在 组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为tx，加上 上至少有 4 个零点，反复利用 Rolly 定理：321,)(,1x在 ba内至少有 3 个零点。)(t在内至少有 2 个零点。,ba在内至少有 1 个零点，即存在一点 ，使 。)4(tG在 0)(4G由于 ，从而求得 ，所以Ktf!4)()(!)(4f)()(!)( 210)33 xxfxHfxR21 / 2520 对于给定插值条件，试分别求出满足下列边界条件的三次样条函数 ：)(xS（1） 2)
36、3(.)0(S（2）分析 这是三次样条插值问题，给出了两种边界条件，我们按样条插值的求解方法即能求得问题的解。解 记,0,1,0,3,2,10 321yyxx计算二阶差商 ii )(if一阶差商 二阶差商01230123011010-1- 21-231201 hxx,jjj三次样条插值函数的表达式为 3131)(6)(6)( jjj xMxxS)(1jjjji xyy（1）2,0,1xj（1） )(6,6100 xfd8233)2(,101 f6322 xd关于 的方程组为10,M=210310M8x0 1 2 3)(f0 1 1 022 / 25解得 )2(706.1,3.4,35.0,72
37、6.021 MM将数据（2）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当 时，x33)(.(6)(.)( xxS05.0172061 xxxx 8.1)(4.8.)(54. 33 当 时，2,1x33)(.(61)2(.0(6)( xxS )1(.45.1 280.)1(8.0)2(80. 33 xxx16.1当 时，3,2x 33 )2(706.1()(.4(6)( xxS)(.1.386.1)2(458.)3(8.03xxx245.1（2） （3）,30M关于 的方程组为21和4272121解得（4）6.,3.21M将（3）和（4）代入（1）得所求三次样条插值函数为：当 时，1,0x33 )0(
38、.(6)() xxS176.1023 / 25xxxx 2.1)(671.02.0)1(67.033 当 时，2,1x 33)(.(6)2(.(6) xxS)1(76.11 2)(78.0)(.033 x782x当 时，3,x33)2(61)(6.1() xS)(07)3(78.1.)(82.033 xx 321 求超定方程组1421x35（1）6721的最小二乘解，并求误差平方和。分析 求解超定方程组 ，可直接求解正则方程组 。bAXbAXTT解 方程组（1）写成矩阵形式为7631215342x正规方程组为 763125431253541322x即48516382x24 / 25解得 824
39、1.,304.1xx误差平方和21)5()2(xE1276=0.340 6622 已知 的近似值。,4,39,4求23 有下列正弦数表 x0.5 0.6 0.7sin0.479 43 0.564 64 0.644 22试分别用线性插值与二次插值求 sin0.578 91 的近似值，并估计误差。24 利用反插值法求方程 在区间 内的根。081264xx2,125 设 ，试用 Lagrange 插值余项定理写出以-1，0，1，2 为插值节点2)(34xf的三次插值多项式。26 证明：对于 以 为节点的一次插值多项式 ，插值误差为的f10, )(1xP,|,)(|max8)(|)(| 0211 xf
40、xPf 27 若 ，求 。37,81028 对任意的整数 ，证明恒等式,nkninij0)(29 给定数据表ix1 2 4 6 7)(f4 1 0 1 1求 4 次 Newton 插值多项式，并写出插值余项。30 有如下列表函数ix0 1 2 3 4)(f3 6 11 18 27试写出此列表函数的向前差分表，并写出 Newton 向前插值公式31 已知函数 的函数表)(xfyix0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)(f1.00 1.32 1.68 2.08 2.52 3.00试列出相应的向后差分表，并写出 Newton 向后插值公式，用其估值 。)45.0(f25 / 2532 证
41、明：（1） 。 （2） 。iii fgf1)( 1)(iiiigff33 已知单调连续函数 的下列数据：(xyix-1.1 0.0 1.2 2.1y-2.20 -1.10 1.00 2.10用插值法计算当 为何值时， 。0)(xf34 给出 的等距节点函数表，如用线性插值计算 的近似值，使其误差xfcos)( )(xf不大于 ，则函数表的步长应取多少？510235 设 为互不相同的节点， 为已知函数，求不超过二次的多项式 ，使, )(xf )(2xH满足条件：)(,),( 021202 xfHfxfH并估计误差。36 求一个次数3 的多项式 ，满足插值条件：)(3ix1 2 3y2 4 12i3并估计误差。37 求一个三次多项式 ，使在节点 上满足条件)(3xP1,0x1,0)(33fP，并估计余项。9)1(,1 fff38 已知函数 的函数表如下：)(yx0 1 4 5)(f0 -2 -8 -4在区间0，5 上求满足条件 的三次样条插值函数 ，并分别49)5(,2)(S)(xS计算 在 处的值。)(xS5,3.
