计算方法练习题与答案.doc

1、练 习 题 与 答 案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练 习 题 一一、是非题1. *x12.0326 作为 x 的近似值一定具有 6 位有效数字，且其误差限4102。 ( )2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( )3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )4. 用21x近似表示 cosx 产生舍入误差。 ( )5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。 ( )二、填空题1. 为了使计算 23349121yxx的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2. *x0.00345

2、7 是 x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为 ；5. 设计算法应遵循的原则是 。三、选择题1 *x0.026900 作为 x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2舍入误差是( ) 产生的误差。(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3用 1+ x 近似表示 ex 所产生的误差是 ( )误差。(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4用 s*= 21gt2 表示自由落体运动

3、距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在时间 t 内的实际距离，则 st s*是（ ）误差。(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断51.41300 作为 2的近似值，有 ( )位有效数字。(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。四、计算题1 3.142，3.141，27分别作为 的近似值，各有几位有效数字？2 设计算球体积允许的相对误差限为 1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1) 1|,12xx， (2) 1|12xdtx(3) |,e， (4) )ln(4真空中自由落体运动距离 s

4、与时间 t 的关系式是 s= 21gt2，g 为重力加速度。现设 g 是精确的，而对 t 有 0.1秒的测量误差，证明：当 t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。5*. 采用迭代法计算 7，取)(210kkxxk=0,1,若 k是 7的具有 n 位有效数字的近似值，求证 1kx是 7的具有 2n 位有效数字的近似值。练 习 题 二一、是非题1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )2. 牛顿法是二阶收敛的。 ( )3. 求方程 310x在区间 1, 2内根的迭代法总是收敛的。 ( )4. 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( )5. 求非线性方程 f (x )=0 根的方

5、法均是单步法。 ( )二、填空题1. 1. 用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为 ；1. 2. 设 )(xf可微,求方程 )(f的牛顿迭代格式是 ；2. 3. 用二分法求方程 310x在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 ，要求准确到 ，则至少应二分 次； 3. 4. 2()(5)x，要使迭代格式 1()kkx局部收敛到 *5x，则的取值范围是 ；4. 5. 求方程 340根的单点割线法是 ，其收敛阶为 ；双点割线法是 ，其收敛阶为 。三、计算题1. 用二分法求方程 210x的正根，使误差小于 0.05。2. 求方程 32在 0.5附

6、近的一个根，将方程改写为下列等价形式，并建立相应迭代公式。(1) 21x，迭代公式 12kkx；(2) 32，迭代公式 131kk；(3) 21x，迭代公式kkx；试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似值。3. 用牛顿切线法求 5的近似值。取 02x, 计算三次，保留三位小数。4. 用割线法求方程 31x的在 01.5附近的一个根，精确到小数点后第二位。四 *、证明题已知方程 ()0fx，试导出求根公式12()()kk kfxxf并证明：当 *x是方程 ()0f的单根时，公式是 3 阶收敛的。练 习 题 四一、是非题1矩阵 5213A具有严格对角优势。 (

7、 )2 3是弱对角优势矩阵。 ( )3高斯塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。 ( )4 1|M是迭代格式 (1)()kkMxf收敛的必要条件。 ( )5*. 逐次超松弛迭代法是高斯赛德尔迭代法的一种加速方法。 ( )二、填空题1. 解方程组 021531x的雅可比迭代格式（分量形式）为， 该迭代矩阵的谱半径 )(1B ；2. 解方程组 02531x的高斯赛德尔迭代格式（分量形式）为 ，迭代矩阵 2B ， 该迭代矩阵的谱半径 )( ；3. 幂法的迭代公式为 ； 4*QR 算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。5*雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。 三、选择题1

8、. 解方程组 bAx的迭代格式 (1)()kkMxf收敛的充要条件是( )（A） 1|； （B） |；（C） )(； （D） )(。2幂法的收敛速度与特征值的分布（ ） （A）有关； （B）无关； （C）不一定。3幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大； （B）按模最小；（C）任意一个； （D）所有的。4解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 （ ）（A） 10； （B） 10；（C） 2； （D） 2。5反幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大； （B）按模最小；（C）任意一个； （D）所有的。 四、计算题1用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性

9、方程组 8413521x取 (0),)Tx，列表计算三次，保留三位小数。2用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 132548x取 (0),)Tx，列表计算三次，保留三位小数。3用幂法求矩阵 210A按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取 (),Tx，保留两位小数。4*取 46.1，用松弛法解线性方程组 0412331x取 (0),)Tx，列表计算三次，保留三位小数。5*用雅可比方法求实对称矩阵 1024A的特征值及相应特征向量（按四位小数计算， 1.0）。6*用 QR 算法求矩阵 41032A的全部特征值。练 习 题 五一、是非题1. 在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 (

10、)2. 1200)xx表示节点 0x处的二次插值基函数。 ( )3. 牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )4. 在拉格朗日插值中，插值节点 01,nx 必须按顺序排列。 ( )5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算 附近的 f，用后插公式。 ( )二、填空题1. 已知 3n，则三次插值基函数 )(2xl=_。2. n+1 个节点的拉格朗日插值基函数 )(li的和 nixl0_)(。3. 已知 4)(xf，取节点 ,12kx），用线性插值求 )1.2(f的近似值，其计算公式 12.)(.)_fP。4. _插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函

11、数值而且取已知导数值。5. 已知 (1)2,(0)1,(2)3,fff则 0,1f_，,0f_， ,_，牛顿二次插值多项式2()Nx_。三、选择题1函数 10x表示线性插值( )点的基函数.(A) ； (B) 0y ； (C) 1x (D) 1y。2过点 4,23,(的二次插值多项式 )(2xp中 2的系数为( ).(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) -23给定互异的节点 01,n )(是以它们为插值节点的插值多项式，则)(xp是一个( ).(A). n+1 次多项式 (B). n 次多项式 (C). 次数小于 n 的多项式 (D). 次数不超过 n 的多项式4 差 商,750

12、3)(69xf (2,110f )(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -75对于次数不超过 n 的多项式 为次 插 值 多 项 式它 的),( xp( ).(A) 任意 n 次多项式 (B) 任意不超过 n 次的多项式(C) )(xf本身 (D) 无法确定四、计算题1. 已知 ,4)2(,3)1(,2)(fff 求 )(xf的牛顿插值多项式 )(2xN，及)5.1(f的近似值，取三位小数。2. 证明：若 f (x)二阶连续可微，则对于 f (x)的以 10,为节点的一次插值多项式 1()P，插值误差 01211() ()ma8xfxPf3. 设 2)(4xf，利用拉格朗日插值余项求

13、以 -1，0，1，2 为插值节点的三次插值多项式。4 *已知函数 )(xfy的数据 010)(,)2(,)1( mfyff ，用基函数法求 f (x)的二次插值多项式 2H使 2,H.5 *要给出 ()xfe在区间 -2,2上的等距节点函数表，用分段三次 Hermite 插值求 的 近 似 值x，要使误差不超过 810，问函数表的步长 h 应为多少？ix1 1 4 6. 已知的 f(x)函数表 )(if2 4 5(1) 求 f (x)的二次插值多项式；(2) 用反插值求 x，使 f (x)=0。练 习 题 六一、判断题1 在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )2 向前差分与向后差分不

14、存在等量关系。 ( )3 已知观察值 ,iyx( ,210,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为 n 次。 ( )4 利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。 ( )5 数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 ( )二、填空题1 已知某函数的二阶向前差分 12f为 0.15,则其二阶向后差分 32f为_。2 利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的 t，其计算公式为 t =_。3 已知函数 iiyxnbaxfy处 的 函 数 值个 节 点上 的在 1,)( ，则其三次样条插值函数 满 足 的 条 件 为)(xs_。4 已知 ,i( ,21,30

15、)，其线性拟合的正规方程组为_。5 用形如 baxy的非线性拟合数据 ),(iyx做变换_后为线性拟合 = 。三选择题1. ( )是利用函数的值求自变量的值。(A) 三次样条插值 (B) 反插值 (C) 分段插值 (D) 爱尔米特插值 2记 *,12,iiiyn ,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( ) (A) ini1max (B)i1(C) ni12(D) ni13当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。(A) (A) 未知数的个数等于方程的个数 (B) (B) 未知数的个数大于方程的个数(C) (C) 未知数的个数小于方程的个数(D) (D) 未知数的个数与方程的个数大小任意4 *x

16、是超定方程组 Axb的最小二乘解的充分必要条件是 ( ).(A) T是 的 解 (B) *TAxb是 的 解(C) *是 的 解 (D) 三者都不对5勒让德多项式21d()(1)!nnnPx是 ( )(A) 小于 n 次的多项式 (B) 等于 n 次的多项式(C) 大于 n 次的多项式 (D) 小于等于 n 次的多项式 四、计算题1 已知函数 解 答 下 列 问 题的 函 数 表 如 下 ,)(xfyi)(if(1) 列出相应的差分表；(2) 分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；(3) 用三次插值多项式求 )32.0()4.(ff和 的近似值。2 已知 0.2)1.(,58.,.1

17、76.,814)3.( ffff ，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。3 求超定方程组 1235412x的最小二乘解。4已知观察值 43210yyi 利用 的 二 次 拟 合 多 项 式)(xf )0(,fxp求 的近似值。5用形如 bayln的函数拟合下列数据 i)(ixf练 习 题 七一、填空题1. 已知 (1).f， (2)1.f， (3)1.5f，则三点式高斯求积公式为31()dfx( )，用抛物线求积公式求得31()dfx（ ）。2. 已知 30f， 45.f， 31f，则用三点式可求得（ ）， (0（ ）， ()f（ ），且 ()fx（ ）。3. 复合梯形求积公式为 )dba

18、fx（ ），当 2,fCab时,其余项 )(fRn( )。4. 数值积分代数精确度的定义是（ ）。5. 求积公式 0()d()nbkafxAfx的代数精度以（ ）求积公式为最高，具有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。二、选择题1. 求积公式研究的误差为（ ） 。A.观测误差 B.模型误差 C.舍入误差 D.截断误差2. 已知在a,b上， ()2fx，且 ,)(2baCxf，步长 nabh，则复合梯形求积公式的误差限为（ ）。A. 6)(3B. 63C. 2habD. h3. 梯形公式、抛物线公式及 n 阶 CN求积公式的代数精度分别至少为（ ）。A. 1,2,n B. 2,3,n C. 1

19、,3,n D. 1,4,n+14. 数值微分的二点公式中，其误差限为（ ），其中 01xh 01x。A )(2hO B. ()2hfC. f D. 01max5. 已知 2,0)(4Cxf，在 0，2内 )(4f，20()dfx有两位整数，用复合抛物线求积公式计算要保证有 5 位有效数字，步长最多应为（ ）。A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4三、判断题1、 高斯求积公式)()(1knkbaxfAdxf的代数精度为 2n+1。 ( )2、 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )3、 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )4、 n 越大， CN求积公式

20、的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。 ( )5、 具有 n+1 各节点的插值型求积公式至少具有 n+1 次代数精度。 ( )四、计算题1、 分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 dx104，0，1八等分，并估计误差。2、 n=4，用复合梯形公式求230()x的近似值，取四位小数，并估计误差。3、 用复合抛物线公式计算1.50dxe，要使截断误差不超过4102，应至少将区间0 ，1.5多少等份？4、 设有求积公式20120()()()3()fxAffAf，求 210,A使代数精度尽量高。5、 利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算 2)(xf在1.0,x和 2.处的导数值。

21、练 习 题 八一、填空题1. 用 Euler 方法解常微分方程初值问题 1)0(yx，步长 1.0h，计算格式为 1ny=（ ）， 1=（ ）。2. 求解常微分方程初值问题 0)(,yxf改进的欧拉公式为（ ）3. 常微分方程初值问题的数值解法一般分为（ ）法和（ ）法。4. 求解常微分方程初值问题的 Adams 公式是（ ）步法。5. 求解常微分方程初值问题的四阶 R-K 方法的局部截断误差为（ ）。二、选择题1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为 )(2hO，则该方法的阶是（ ）。A1 B2 C0 D32、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法。A多 B2 C3 D

22、13、梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。A2 B4 C3 D54、四阶 R-K 方法每步要计算（ ）次 f的值。A4 B5 C2 D35、改进的 Euler 公式的局部截断误差为（ ）。A. )(2hO B. )(3h C. )(4hO D. )(5h三、判断题1、R-K 法是一类低精度的方法。 ( )2、求解微分方程初值问题的二阶 R-K 方法是多步法。 ( )3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )4、求解微分方程初值问题的向后 Euler 法是隐式方法。 ( )5、求解常微分方程初值问题的预估校正公式的局部截断误差为 )(2hO。( )四、计算题1、 用 Euler 法求解 1)0

23、(2yx（ 10x）2.0h，保留两位小数。2、 用 Euler 法求 20()dxtye在 0.2,51.,0x处的近似值，保留 5 位小数。3、 用改进的 Euler 法（梯形公式）解初值问题 2)1(38y（ 21x）取步长 2.0h，至少保留 5 位小数。4、 用预估校正公式求初值问题 1)0(2yx（ 1x）的数值解，取步长 2.0h，以四位有效数字计算。五 *、证明题对常微分方程初值问题 1)0(y证明梯形公式求得的近似解为nnh2，并进一步证明当步长0h时， xney。计算方法练习册答案习题一一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 二、1 1,)9(xty； 23610,4； 3

24、略；4略； 5略三、1C ； 2A； 3C； 4C； 5A四、14 位，3 位，3 位； 2 %3.0； 3（1） 23x， （2）)1(arctnx，（3） !1xx， （4） )1ln(；4略； 5略习题二一、1 ； 2 ； 3 ； 4 二、1 nab； 2 )(11nnxfx； 3 10,2； 4 )0,5(； 5,)(40031 xnnn 618.),(41331 nnn xxx三、1 97.； 2（1）收敛，（2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度快，46*； 3 6.；4 8.四、略习题三一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 二、1 6,4； 2 6,78；3 320012,3402

25、13012LLUA； 4 7； 53102,32三、1B ； 2B ； 3B ； 4B ； 5D四、1x=（2, -2, 1） T； 2x= （1, 1,1） T； 3x=（1, 1, 1, 1） T；4x= （2, 1, -1） T习题四一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 二、16,215)()(2)(2)(1kkxx； 265,03,235)1()1(2)()( kkxx；3 kkkymxA1)a(； 4任意实的非奇异； 5实对称三、1D； 2A； 3A； 4C； 5B四、1x=（2.444, 0.333, -2.531） T； 2x=（2.399, 0.401, -2.499） T；

26、3)1.0,7,(,1v4略； 5略；6略习题五一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 二、1 )()(321202xx； 2 1； 3 5.2； 4 Hermit； 5 x)(, 三、1A； 2A； 3D； 4A； 5C四、1 125.0,25)1(25)1(2)( xxN； 2略； 3 x 4 )3()(20 xmxyyH ； 50.03；6(1) 5382, (2)7习题六一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 二、1 5.0； 2 hx0； 3略； 4 3013012iiiiii yxax； 5 xy1,三、1B ； 2C ； 3C ； 4A； 5B 四、1略； 2 .6.； 3x=（1.

27、6530, 0.6612） T 4)(0431yy； 5 93748.2ln08.x习题七一、1 467.2),5(9)2(8)52(9fff； 2 8,40,； 3(1,2310 fnabxfxffhnii ； 4略； 5高斯（ Gaus）， ，高斯（ Gus）二、1D； 2C； 3C； 4D； 5D三、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 四、1 748 1039.,1859.0,1069.,16.0 RSRT ； 2 5.,.4； 38；4 32AA； 5727.习题八一、1 1,.0.9.0nxy； 2 ),(),(211 nnn yxfyxfhy； 3单步，多步； 4多； 5 )(5h二

28、、1A； 2D； 3A； 4A； 5B三、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 四、1n 0 1 2 3 4 5xn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0yn 1 1.2 1.52 1.98 2.62 3.462 n 0 1 2 3 4xn 0 0.5 1.0 1.5 2.0yn 0 0.5 0.88940 1.07334 1.126043n 0 1 2 3 4 5xn 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0yn 2 2.30769 2.47337 2.56258 2.61062 2.636494n 0 1 2 3 4 5xn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0yn 1 1.02 1.086 1.311 1.598 2.205五、略