1、1配餐作业(五十七) 抛物线(时间：40 分钟)一、选择题1设抛物线 y22 px 的焦点在直线 2x3 y80 上，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x2C x3 D x4解析 因为抛物线 y22 px 的焦点 在直线 2x3 y80 上，所以 p8，所以抛(p2， 0)物线的准线方程为 x4，故选 D。答案 D2若抛物线 y24 x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2， O 为坐标原点，则 OFP 的面积为( )A. B112C. D232解析 设 P(xP， yP)，由题可得抛线物焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1，又点 P 到焦点 F 的距离为 2，由定义知点 P 到准
2、线的距离为 2， xP12， xP1，代入抛物线方程得| yP|2， OFP 的面积为 S |OF|yP| 121。故选 B。12 12答案 B3已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，| AF| x0，则 x0( )54A1 B2C4 D8解析 由题意知抛物线的准线为 x 。因为| AF| x0，根据抛物线的定义可得14 54x0 | AF| x0，解得 x01，故选 A。14 54答案 A4(2016广州模拟)如果 P1， P2， Pn是抛物线 C： y24 x 上的点，它们的横坐标依次为 x1， x2， xn， F 是抛物线 C 的焦点，若 x1 x
3、2 xn10，则|P1F| P2F| PnF|( )A n10 B n20C2 n10 D2 n202解析 由抛物线的方程 y24 x 可知其焦点为(1,0)，准线为 x1，由抛物线的定义可知| P1F| x11，| P2F| x21，| PnF| xn1，所以|P1F| P2F| PnF| x11 x21 xn1( x1 x2 xn) n n10。故选A。答案 A5(2017郑州模拟)已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， P， Q 是抛物线上的两个点，若 PQF 是边长为 2 的正三角形，则 p 的值是( )A2 B23 3C. 1 D. 13 3解析 F ，设 P ， Q (y1
4、 y2)。由抛物线定义及 |PF| QF|，得(p2， 0) (y212p， y1) (y22p， y2) ，所以 y y ，又 y1 y2，所以 y1 y2，所以| PQ|2| y1|2，| y1|1，y212p p2 y22p p2 21 2所以| PF| 2，解得 p2 。故选 A。12p p2 3答案 A6(2016大连二模)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A， B 两点，点M(1,2)。若 0，则直线 l 的斜率 k( )MA MB A2 B1C1 D2解析 抛物线 C： y24 x 的焦点 F(1,0)，由题意可知直线 l 的斜率存在，故可设直线l
5、的方程为 y k(x1)，联立Error!，消去 y 得， k2x2(2 k24) x k20，16 k2160，设交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，Error! ，Error! ( x11， y12)( x21， y22)( x11)( x21)( y12)( y22)MA MB x1x2 x1 x21 y1y22( y1 y2)41 14 4 0，4 k248 k0，即2k2 4k2 8k 4k2 4 8kk2k22 k10， k1，故选 C。答案 C二、填空题7(2016郑州一中一联)顶点在原点，经过圆 C： x2 y22 x2 y0 的圆心且准2线与 x 轴垂直的抛物线方
6、程为_。3解析 将圆 C 的一般方程化为标准方程为( x1) 2( y )23，圆心为(1， )。2 2由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且经过点(1， )。设抛物线的标准方2程为 y22 px，因为点(1， )在抛物线上，所以( )22 p，解得 p1，所以所求抛2 2物线的方程为 y22 x。答案 y22 x8(2016沈阳第一次质检)已知抛物线 x24 y 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过 P 作 PA l 于点 A，当 AFO30( O 为坐标原点)时，| PF|_。解析 令 l 与 y 轴交点为 B，在 Rt ABF 中， AFB30， BF2，所以
7、AB 。设233P(x0， y0)，则| x0| ，代入 x24 y 中，则 y0 ，故| PF| PA| y01 。233 13 43答案 439(2017辽宁五校协作体模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，过点 F 倾斜角为 60的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A， B 两点，则 的值等于|AF|BF|_。解析 设| AF| m，| BF| n，则|BC| n，| AD| m，| AE| m n，| AF| BF| m n。在 Rt ABE 中，由于 BAE60，所以 cos60 ，解得 3，即 的值等于 3。m nm n mn |AF|BF|答案 3
8、三、解答题10(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y t(t0)交 y 轴于点 M，交抛4物线 C： y22 px(p0)于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H。(1)求 ；|OH|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由。解析 (1)由已知得 M(0， t)， P 。(t22p， t)又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N ， ON 的方程为 y x，代入 y22 px，整理得(t2p， t) ptpx22 t2x0，解得 x10， x2 。因此 H 。2t2p (2t2p， 2t)所以 N 为
9、 OH 的中点，即 2。|OH|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点。理由如下：直线 MH 的方程为 y t x，p2t即 x (y t)。2tp代入 y22 px 得 y24 ty4 t20，解得 y1 y22 t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点。答案 (1)2 (2)没有，理由见解析11(2016浙江高考)如图，设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于| AF|1。(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB
10、 垂直的直线交于点 N， AN 与 x 轴交于点 M。求 M 的横坐标的取值范围。解析 (1)由题意可得，抛物线上的点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得 1，即 p2。p2(2)由(1)得，抛物线方程为 y24 x， F(1,0)，可设 A(t2,2t)， t0， t1。因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF： x sy1( s0)，由Error!消去 x 得 y24 sy40，故 y1y24，所以 B 。(1t2， 2t)5又直线 AB 的斜率为 ，故直线 FN 的斜率为 。2tt2 1 t2 12t从而得直线 FN： y (x1)，直线 BN：
11、 y ，所以 N 。t2 12t 2t (t2 3t2 1， 2t)设 M(m,0)，由 A， M， N 三点共线得 ，2tt2 m2t 2tt2 t2 3t2 1于是 m 。2t2t2 1所以 m2。经检验， m2 满足题意。综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，)。答案 (1)2 (2)(，0)(2，)(时间：20 分钟)1已知抛物线 C： y x22，过原点的动直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点， P 是 AB 的中点，设动点 P(x， y)，则 4x y 的最大值是( )A2 B2C4 D4解析 设直线 l 的方程为 y kx，与抛物线 C 的方程 y x22 联立，
12、消去 y，得x2 kx20。设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 k，所以 x ， y ，所以k2 k224x y2 k (k2) 22。故当 k2 时，4 x y 取最大值 2。故选 A。k22 12答案 A2(2016四川高考)设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y22 px(p0)上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且| PM|2| MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B.33 23C. D122解析 设 P ，易知 F ，则由| PM|2| MF|，得 M ，当 t0 时，(t22p， t) (p2， 0) (p t22p3 ，
13、 t3)直线 OM 的斜率 k0，当 t0 时，直线 OM 的斜率 k ，所以tp t22p1pt t2p6|k| ，当且仅当 时取等号，于是直线 OM 的斜率的最1p|t| |t|2p12 p|t|t|2p 22 p|t| |t|2p大值为 ，故选 C。22答案 C3(2016天津高考)设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，准线为 l。过抛物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为 B。设 C ， AF 与 BC 相交于点 E。若| CF|2| AF|，且 ACE 的(72p， 0)面积为 3 ，则 p 的值为_ 。2解析 抛物线的普通方程为 y22 px，故 F ， l： x 。由| CF
14、|2| AF|，得(p2， 0) p2|AF| p，不妨设点 A(x， y)在第一象限，则 x ，即 x p，所以 y p。易知32 p2 3p2 2ABE FCE， ，所以| EF|2| AE|，所以 ACF 的面积等于 AEC 的面积的 3|AB|CF| |AE|EF| 12倍，即 S ACF9 ，所以 S ACF 3p p9 ，解得 p 。212 2 2 6答案 64(2016湖南六校联考)已知抛物线的方程为 x22 py(p0)，其焦点为 F，点 O 为坐标原点，过焦点 F 作斜率为 k(k0)的直线与抛物线交于 A， B 两点，过 A， B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于
15、点 M。(1)求 ；OA OB (2)设直线 MF 与抛物线交于 C， D 两点，且四边形 ACBD 的面积为 p2，求直线 AB 的323斜率 k。解析 (1)设直线 AB 的方程为 y kx ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，p2由Error! 得 x22 pkx p20，则Error!7 x1x2 y1y2 p2。OA OB 34(2)由 x22 py，知 y ，xp抛物线在 A， B 两点处的切线的斜率分别为 ， ，x1px2p直线 AM 的方程为 y y1 (x x1)，直线 BM 的方程为 y y2 (x x2)，x1p x2p则可得 M 。(pk， p2) kMF ，直线 MF 与 AB 相互垂直。1k由弦长公式知，| AB| |x1 x2| 2 p(k21)，k2 1 k2 1 4p2k2 4p2用 代替 k 得，| CD|2 p ，1k (1k2 1)四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD|122p2 p2，解得 k23 或 k2 ，(2 k21k2) 323 13即 k 或 k 。333答案 (1) p2 (2) k 或 k34 3 33
