1、1绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试课标 II 理科数学【试卷点评】【命题特点】2017 年高考全国新课标 II 数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的 第卷与第 II 卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查, 注重数学在生活中的应用。 同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与 2016 年相比难度稳中有降略。具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三
2、小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大) 。2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部 2017 年新修订的考试大纲（数学） 中增加了数学文化的考查要求。2017 高考数学全国卷 II 理科第 3 题以算法统宗中的数学问题为进行背景，理科 19 题、文科 18 题以以养殖水产为题材，贴近生活。3.注重基础，体现核心素养2017 年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函
3、数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。 2. 立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分 2 进行考查。3解析几何知识：解析几何试题一般有 3 道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。24.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求通项
4、及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点。 【试卷解析】一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （ ）31iA B C D2i12i2i2i【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有： ，故选 D。3+12ii【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1，z 2 互
5、为共轭复数，则 z1z2|z 1|2|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。2.设集合 ， 。若 ，则 （ ）1,24A240xmAA. B. C. D.,31,01,31,5【答案】C3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，3请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何
6、体的体积为（ ）A B C D90634236【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱的一半，其体积21346V，该组合体的体积为： 。故选 B。271267V4【考点】 三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由
7、三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）xy230xy2zxyA B C D15919【答案】A6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D5【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 种方法，然后进行全排列 即可，由乘法原理， 不同的安排方式共有 种方法。 24C3A2346CA故选 D。【考点】 排列与组合；分步乘法
8、计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素 (或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置) 为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
9、A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）1aSA2 B3 C4 D56【答案】B7(3)按照题目的要求完成解答并验证。9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则C:21xyab0ab24xy的离心率为（ ）A2 B C D3223【答案】A10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与1CAC120A 1C1A所成角的余弦值为（ ）1A B C D325053【答案】C811.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxa
10、e()fxA. B. C. D.113 35e【答案】A【解析】试题分析：由题可得 12121()2)()()xx xfxaeaeae 因为 ，所以 ， ，故(2)0ff 2fx令 ，解得 或 ，所以 在 单调递增，在 单调递减xx1()fx,2)(1,(,1)所以 极小值为 ，故选 A。()f()fe【考点】 函数的极值；函数的单调性9【名师点睛】(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同。(2)若 f(x)在(a， b)内有极值，那么 f(x)在( a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。1
11、2.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小是（ ）ABC ()PABCA. B. C. D.23431【答案】B二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二0.2 1010等品件数，则 。D【答案】 1.9614.函数 （ ）的最大值是 。23sincos4fxx0,2【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：， 22 23131cosscos3scos144fxxxx由自变量的范围： 可得： ，0,0,当 时，函数 取得最大值 1。3cos2xf
12、x【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，学科*网它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。nanS3a410S1nkS11【答案】 21n【解析】试题分析：设等差数列的首项为 ，公差为 ，1ad由题意有： ，解得 ，12340ad1数列的前 n 项和 ,1 1222n nnSad裂项有： ，据此：kk。111122.
13、 223nk nSn 【考点】 等差数列前 n 项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。学& 科& 网数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 。若 为 的FC
14、:28yxMCFyNMF中点，则 。N【答案】612【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必
15、考题：共 60 分。17.（12 分）的内角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC、 、 ,abc2sin8sinBAC（1）求 ；cos（2）若 ， 的面积为 ，求 。6aABC2【答案】(1) ；15s7(2) 。b1318.（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：14（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为
16、箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）附：22()(nadbcK【答案】(1) ；0.49(2) 有 的把握认为箱产量与养殖方法有关；%(3) 。52.3kg15（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66220634815.7019K由于 ，故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关。15.706.39%1619.（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，E 是
17、PD 的中点。o1,90,2ABCDBAC（1）证明：直线 平面 PAB；/E（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的余弦值。o45MABD【答案】(1)证明略；(2) 。10517（2）由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，BDABAB建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyz则 ， ， ， ， , ，0,A1,0B,10C,3P(103)C， ， (10)AB， ，设 则 ，Mxyz,Mxyzxyz因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 是底面 ABCD 的法向量，n18【考点】 判定线面平行；面面角的向
18、量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设 m，n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等，故有|cos |cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。20. （12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足21xy。2NP19(1) 求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 上，且 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 3x1OPQ【答案】(1) 。2y(2
19、)证明略。（2）由题意知 。设 ,则1,0F3,QtPmn，3,3OQtPnOFt。mnt由 得 ，又由（1）知 ，故1A223n2mn。30t所以 ，即 。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线OQPFAF过 C 的左焦点 F。l【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 F(x，y) 0。(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。20(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。(4)代入(相关点 )法：动点 P(x
20、，y)依赖于另一动点 Q(x0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x，y )的轨迹方程。 21.（12 分）已知函数 ，且 。2lnfxax0fx(1)求 ；(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 。f 0220ef【答案】(1) ；1a(2)证明略。（2）由（1）知 ， 。2lnfxx2lnfx设 ，则 。lnhx1h当 时， ；当 时， ，0,20x,2x0hx所以 在 单调递减，在 单调递增。hx1,1,21（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy
21、中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为1C。cos4（1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标1C|16OM2方程；（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值。(2,)32CAB【答案】(1) ；40xyx22(2) 。23【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。23.选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知 。证明：30,2ab23（1） ；5()4ab（2） 。【答案】(1)证明略；(2)证明略。
