1、全等证明题练习1、 （1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC= DAE=90当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1 ，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1 ，BAC=
2、DAE90解：（1）结论：BD=CE，BDCE ；结论：BD=CE，BDCE1 分理由如下：BAC=DAE=90BACDAC=DAE DAC，即BAD=CAE1 分在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS）BD=CE1 分延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H在ABF 与 HCF 中，ABF=HCF，AFB=HFCCHF=BAF=90BDCE3 分（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=902 分2、如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使
3、 DM= BD，EN= CE，得到图，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系：在图中，BD 与 CE 的数量关系是 ；在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想；解：（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC，DAE=BAC，CAE=BAD，在BAD 和CAE 中CAEBAD（SAS） ，ACE=ABD，DM= BD，EN= CE，BM=CN，在ABM 和ACN 中，ABMACN （SAS ） ，AM=AN，BAM=CAN，即MAN=BAC；3、CD 经过BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CBE，F 分别是直线 CD 上两点，且
4、BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA=90， =90，则 BE = CF；EF = |BEAF| （填“”， “” 或“=”） ；如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，=BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明） 解：（1）BCA=90， =90，BCE+CBE=90 ，BCE+ACF=90 ，CBE=ACF，CA=CB，BEC=
5、CFA ；BCE CAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+ BCA=180证明：在BCE 中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE= BCA ，CBE=ACF，又BC=CA，BEC= CFA，BCE CAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CF CE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF 4、 （1）已知：如图，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60，求证：AC=BD；APB=60 度；（2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则 AC 与 BD
6、 间的等量关系式为 AC=BD ；APB 的大小为 ；解：（1）AOB=COD=60 ，AOB+BOC=COD+ BOC 即：AOC=BOD又OA=OB， OC=OD，AOCBODAC=BD由得：OAC=OBD，AEO=PEB ，APB=180（BEP+OBD） ，AOB=180（OAC+AEO ） ，APB=AOB=60（2）AC=BD，5、如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC，BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所
7、在直线的位置关系为 垂直 ，线段 CF、 BD 的数量关系为 相等 ；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CF BC（点C、F 不重合） ，并说明理由证明：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF ，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90 ，即 CFBD当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 度BAC=90，DAF=BAC ，DAB=FA
8、C，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF= ACB+ACF=90 度即 CF BD（2）当ACB=45时，CF BD（如图） 理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等） ，AD=AF ，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF= ACB+ACF=45+45=90，即 CFBC6、已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重
9、合） ，以 AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF； AC=CF+CD ；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF 、CD 之间存在的数量关系（1）证明：菱形 AFED， AF=AD，ABC 是等边三角形， AB=AC=BC，BAC=60=DAF，BACDAC=DA
10、FDAC ， 即BAD=CAF，在BAD 和CAF 中，BADCAF， CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即BD=CF ，AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD 不成立， AC、CF 、CD 之间存在的数量关系是 AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC= DAF+ DAC， 即BAD=CAF，在BAD 和CAF 中， BADCAF，BD=CF，CF CD=BDCD=BC=AC，即 AC=CFCD （3）AC=CDCF 理由是：BAC=DAF=60， DAB=CAF ，在BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS
11、） ，CF=BD，CDCF=CD BD=BC=AC，即 AC=CDCF 7、 （1）如图（1） ，已知：在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合） ，点 F
12、为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状证明：（1）BD直线 m， CE直线 m，BDA=CEA=90， BAC=90，BAD+ CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ） ，AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=， DBA+BAD=BAD+CAE=180 ， CAE= ABD ，在ADB 和CEA 中，ADBCEA（AAS ） ，AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF 是等边三角
13、形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和 ACF 均为等边三角形， ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF， DBF=FAE，BF=AF在DBF 和 EAF 中，DBFEAF（SAS ） ，DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形8、如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图 1 中ABC 固定不变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的同侧） ，试探究线段 AD、
14、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图 2 中ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段AD、BE 在直线 MN 的异侧） 试探究线段 AD、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明解：（1）ABC 是等腰直角三角形理由如下：在ADC 与BEC 中，AD=BE，D= E=90，DC=EC，ADCBEC（SAS） ，AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE ，DC=CE，AD=DC，DCA=45，ECB=45，ACB=180DCAECB=90ABC 是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE 理由如下：在ACD 与CBE 中
15、，ACD=CBE=90BCE，ADC=BEC=90 ，AC=BC ，ACDCBE（AAS ） ，AD=CE，DC=EBDC+CE=BE+AD，即 DE=AD+BE（3）DE=BEAD理由如下：在ACD 与CBE 中，ACD=CBE=90BCE，ADC=BEC=90 ，AC=BC ，ACDCBE（AAS ） ，AD=CE，DC=EBDCCE=BE AD，即 DE=BEAD9、如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程
16、中，CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ 是直角三角形？（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数解：（1）CMQ=60不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60又由条件得 AP=BQ，ABQCAP（SAS） ，BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60（2）设时间为 t，则 AP=BQ=t，PB=4t当PQB=90 时，B=60，PB=2BQ，得 4t=2t ，t= ；当BPQ=90 时，B=60，B
17、Q=2BP，得 t=2（4t） ，t= ；当第 秒或第 秒时，PBQ 为直角三角形（3）CMQ=120不变在等边三角形中，BC=AC，B=CAP=60PBC= ACQ=120，又由条件得 BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC= MQC又PCB= MCQ，CMQ=PBC=180 60=12010、问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120 ，B=ADC=90E，F 分别是 BC，CD 上的点且EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG ，再证明AEFAGF
18、，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之
19、间的距离解：问题背景：EF=BE+DF ；探索延伸：EF=BE+DF 仍然成立证明如下：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180， B=ADG，在ABE 和ADG 中，ABEADG（SAS） ，AE=AG，BAE=DAG，EAF= BAD， GAF=DAG+DAF=BAE+ DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF 和GAF 中， AEFGAF（SAS） ，EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=
20、70， EOF= AOB ，又OA=OB，OAC+OBC=（90 30）+（70+50）=180，符合探索延伸中的条件，结论 EF=AE+BF 成立，即 EF=1.5（60+80）=210 海里答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里11、 （1）问题发现如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D ，E 在同一直线上，连接 BE填空：AEB 的度数为 60 ；线段 AD，BE 之间的数量关系为 AD=BE （2）拓展探究如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB= DCE=90 ，点 A，D，E 在同一直线上，CM为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB
21、的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由解：（1）ACB=DCE，DCB=DCB，ACD=BCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS） ，AD=BE，CEB= ADC=180CDE=120，AEB=CEBCED=60；（2）AEB=90，AE=BE+2CM，理由：如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS） ，AD=BE，ADC=BECDCE 为等腰直角三角形，CDE=CED=45，点 A、D、E 在同一直线上，ADC=135BEC=135，AEB=BECC
22、ED=90CD=CE，CMDE，DM=MEDCE=90，DM=ME=CM ，AE=AD+DE=BE+2CM12、在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90 ，AB=AC ，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE ，BDE=90 ，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合） ，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP （无需写证明过程）（1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出
23、你的结论，无需证明题干引论：证明：如答图 1，过点 D 作 DFMN ，交 AB 于点 F，则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90，FDP+2=90，1=2在BDF 与 PDA 中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP 成立证明：如答图 2，过点 D 作 DFMN ，交 AB 的延长线于点 F，则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90 ，ADB+2=90，1=2在BDF 与 PDA 中，BDF PDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP证明：如答图 3，过点 D 作 DFMN ，交 AB 的延长线于点 F，则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF
24、在BDF 与 PDA 中，BDF PDA（ASA）BD=DP13、将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACB= DEB=90 ，A= D=30 ，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 060，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60 180，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF 与
25、 DE 之间的关系，并说明理由（1）证明：连接 BF（如图） ，ABCDBE（已知） ，BC=BE，AC=DE ACB=DEB=90，BCF= BEF=90 BF=BF，RtBFCRt BFE CF=EF 又AF+CF=AC，AF+EF=DE（2）解：画出正确图形如图（1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立；（3）不成立证明：连接 BF，ABCDBE，BC=BE，ACB=DEB=90，BCF 和BEF 是直角三角形，在 Rt BCF 和 RtBEF 中，BCFBEF（HL） ，CF=EF ；ABCDBE，AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF14、已知：1=2，CD=DE，EF/AB ，求
26、证：EF=AC过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点 GCGEF，可得， EFD CGD ； DEDC； FDEGDC（对顶角）EFDCGDEFCG CGD EFD又，EFAB ，EFD11=2CGD2 AGC 为等腰三角形，ACCG 又 EFCGEFAC15、已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C证明：延长 AB 取点 E，使 AEAC，连接 DEAD 平分BAC EAD CADAFB CAMNE1 234AEAC，ADADAED ACD （SAS） ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BD BE BDEEABCE+BDE ABC2EABC2C16、已知
27、ABC=3C，1=2，BEAE ，求证：AC-AB=2BE证明：在 AC 上取一点 D，使得角 DBC=角 CABC=3CABD=ABC-DBC=3C-C=2C ；ADB=C+DBC=2C; AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD 中，AE 是角 BAD 的角平分线，AE 垂直 BD BEAE点 E 一定在直线 BD 上，在等腰三角形 ABD 中，AB=AD，AE 垂直 BD点 E 也是 BD 的中点BD=2BE BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB 。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BE
28、AC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=AB ABMNACAM=AN（2） ABMNAC BAM=NN+ BAN=90 BAM+BAN=90即MAN=90 AMAN18、如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF和 BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEF BEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+ F=90，故1=3。在 ABD和 ACF中，1=3，AB=AC ，
29、BAD= CAF=90 ，ABD ACF，BD=CF，BD=2CE。19、ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。（方法一）证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP
30、=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 （方法二）如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。（方法五）如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。20、如图，四边形 ABCD 中，ADBC，DCB=45，BDCD过点 C 作 CEAB 于 E，交对角线 BD 于 F，点 G 为 BC 中点，连接 EG、AF求证：CF=AB+AF证明：在线段 CF 上截取 CH=BA，连接 DH，BDCD，BECE，EBF+EFB=90，DFC+DCF=90，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=CH，ABDH
31、CD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45，HDC=45，HDB=BDCHDC=45，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF21、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A 90 ，AB AD ，DECD 交 AB 于 E，DF 平分CDE交 BC 于 F，连接 EF证明：CF EF解：过 D 作 DGBC 于 G由已知可得四边形 ABGD 为正方形，DEDC ADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A= DGC 且 AD=GD，ADE GDC，DE=DC 且 AE=GC在EDF 和C
32、DF 中EDF=CDF，DE=DC，DF 为公共边，EDFCDF，EF=CF22、已知：在ABC 中，A=900 ，AB=AC ，D 是 AC 的中点，AEB F CDAEBD，AE 延长线交 BC 于 F，求证：ADB=FDC。 证明：过点 C 作 CG CA 交 AF 延长线于 GG+ GAC=90又AEBDBDA+GAC=90综合，G=BDA在BDA 与AGC 中，G= BDABAD=ACG=90BA=CABDAAGCDA=GCD 是 AC 中点，DA=CDGC=CD由1=45 ，ACG=90，故 2=45=1在GCF 与 DCF 中， GC=CD2=45=1CF=CFGCF DCF G
33、= FDC,又G=BDAADB=FDC23、如图，ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC=120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角NDM，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并加以证明证明：BM+CN=NM延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE，BDC 是顶角BDC=120 的等腰三角形，ABC 是等边三角形，BCD=30，ABD=ACD=90，DB=DC，CE=BM，DCEBMD，MDN=NDE=60DM=DE（上面已经全等）DN=ND（公共边）DMNDENBM+CN=NM24、如图，已知点 D 为等腰直角
34、 ABC 内一点，CAD=CBD=15E 为 AD 延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；证明：AC=BC，ACB=90CAB= ABC=45 CAD=CBD=15 ，BAD=ABD=30AD=BD在 DE 上截取 DM=DC，连接 CM，AD=BD，AC=BC，DC=DC ，ACDBCD ACD=BCD=45 CAD=15，EDC=60DM=DC，CMD 是等边三角形CDA=CME=120CE=CA，E=CADCADCEM ME=ADDA+DC=ME+MD=DE即 AD+CD=DE25、如图，已知 P 为AOB 的平分线 OP 上一点，PCOA 于 C，PA=PB，求证 AO
35、+BO=2CO 证明：过点 P 作 PQOB 于 Q，则PQB=90OP 平分AOB，且 PCOA，PQOBPC=PQ在 Rt POC 与 RtPOQ 中，PC=PQPO=PORtPOCRt POQ（HL ）OC=OQ2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在 Rt PCA 与 RtPQB 中，PC=PQPA=PBRtPCARtPQB（HL） CA=QB又 2OC=OC+OB+BQ2OC=OC+OB+CA=OA+OB26、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF 27、ABC 中，ABC45，AHBC 于点 H，将AHC 绕点 H 逆时针旋转 9
36、0后，点 C 的对应点为点D，直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH如图 1，当BAC 为锐角时，求证：BEAC； 求BEH 的度数；（1）证明：AHBC 于点 H，ABC45，ABH 为等腰直角三角形，AHBH，BAH45，AHC 绕点 H 逆时针旋转 90得BHD，BHDAHC，121 分1C90，2C90，BEC90，即 BEAC2 分如图 12，过点 H 作 HFHE 交 BE 于 F 点，FHE90，即4590又35AHB90，34在AHE 和BHF 中， ，3421BHAAHEBHF，3 分EHFHFHE90，FHE 是等腰直角三角形，BEH454 分28、 （1）如图
37、1，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=80，A+C=180，点 M 是 AD 边上一点，把射线 BM 绕点 B 顺时针旋转 40，与 CD 边交 于 点 N， 请你补全图形，求 MN， AM， CN 的 数 量 关系 ；（2）如图 2，在菱形 ABCD 中，点 M 是 AD 边上任意一点，把射线 BM 绕点 B 顺时针旋 12ABC，与 CD 边交于点 N，连结 MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出 AM，CN，MN 的数量关系是 512 3 4FEDH CBA图 12MACBD图 2图 1MBCAD；解：（1） EMBCADN1延长 DA 到点 E，使 AE=CN，连接 BEB
38、AD+C=180EAB=C又AB=BC，AE=CN，ABECBNEBA=CBN，BE=BN2EBN=ABC ABC=80，MBN=40，EBM=NBM=40BM=BM，EBMNBMEM=NM3MN=AM+CN4（2） EMACBDN5MNAM+CN629、 在 ABC 中，AB=AC，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角为 ，且 ，018a连接 AD、BD （1 ）如图 1，当BAC=100， 时，CBD 的大小为_；60a=（2 ）如图 2，当BAC=100， 时，求CBD 的大小；2CBAFD解：（1）30； 1 分（2）如图作等边AFC，连结 DF、BF AF=FC
39、=AC， FAC=AFC=60.BAC=100，AB=AC，ABC=BCA =40.ACD=20，DCB=20.DCB=FCB=20. AC=CD，AC=FC ，DC=FC. BC=BC，由，得 DCBFCB，DB=BF， DBC=FBC.BAC=100， FAC=60，BAF=40.ACD=20，AC=CD，CAD=80.DAF=20.BAD=FAD=20. AB=AC， AC=AF，AB= AF. AD= AD，由，得 DABDAF.FD= BD.FD= BD=FB.DBF=60.CBD=30. 4 分30、已知：如图， 中， MNQ （1）请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与
40、 全等的三角形，画出图形，并简要说明MNQ构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：EDCBA如图，在四边形 ABCD 中，ACB=CAD=180，B=D， 求证：CD=AB解：（1）过点 N 在 MN 的同侧作MNR =QMN，在 NR 上截取 NP=MQ，连结 MP 即为所MNP求（2）证明：延长 BC 到点 E，使 CE=AD，连结 AE ，180ACBD， 又AD = CE， AC = CA， AC ED= E ，CD=AE B=D ，B=EAE =AB CD=AB 31、在等腰三角形 ABC 中， AC=BC，点 P 为 BC 边上一点（不与 B、C 重合） ，
41、连接 PA，以 P 为旋转中心，将线段 PA 顺时针旋转，旋转角与C 相等，得到线段 PD，连接 DB（1）当C=90 时，请你在图 1 中补全图形，并直接写出DBA 的度数；QNMDCBA（2）如图 2，若C=，求DBA 的度数（用含 的代数式表示） ；（1 ）如图，补全图 1 DBA= 90 （2 ）过点 P 作 PEAC 交 AB 于点 E EBCA AC=BC， P EB又 DPADPE， ，PA B E 11(80)922， PDAPB= 0 B. 32、如图，等边ABC，其边长为 1，D 是 BC 中点，点 E，F 分别位于 AB，AC 边上，且EDF=120.（1）直接写出 DE 与 DF 的数量关系；（2）若 BE，DE，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）PEDCBADCABEFDCABEF（3）思考：AE+AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.解：（1）相等. （2）思路：延长 FD 至 G，使得 GD=DF，连接 GE，GB.证明FCDGBD，GED 为等边三角形，GED 为所求三角形.最大角为GBE=120. （3）过 D 作 DM，DN 分别垂直 AB，AC 于 M，N.DMB=DNC=DMA=
