1、三 质数与合数(A)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_；既不是合数又不是质数的有_；既是偶数又是质数的有_.2. 最小的质数与最接近 100 的质数的乘积是_.3两个自然数的和与差的积是 41，那么这两个自然数的积是_.4. 在下式样中分别填入三个质数,使等式成立.+=505. 三个连续自然数的积是 1716,这三个自然数是_、_、_.6. 找出 1992 所有的不同质因数,它们的和是_.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_.8. 9216 可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_.9. 从一块正方形的木板上
2、锯下宽为 3 分米的一个木条以后,剩下的面积是 108 平方分米.木条的面积是_平方分米.10. 今有 10 个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103. 如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有 101 的这组数从小到大排列,第二个数应是_.二、解答题112，3，5，7，11，都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13. 学生 143
3、0 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至 200 之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 ,求最重的两瓶内有多少油?三 质数与合数(B)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 在 1100 里最小的质数与最大的质数的和是_.2. 小明写了四个小于 10 的自然数,它们的积是 360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是_、_、_和_.3. 把 232323 的全部质因数的和表示为 ,那么 A B AB=_.4. 有三个学生
4、,他们的年龄一个比一个大 3 岁,他们三个人年龄数的乘积是 1620,这三个学生年龄的和是_.5. 两个数的和是 107,它们的乘积是 1992,这两个数分别是_和_.6. 如果两个数之和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两数之差是_.7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为 256.这个数是_.8. 有 10 个数:21、22、34、39、44、45、65、76、 133 和 153.把它们编成两组,每组 5 个数,要求这组 5 个数的乘积等于那组 5 个数的乘积.第一组数_；第二组数是_.9. 有_个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,
5、得到的三位数能被原两位数整除.10. 主人对客人说：“ 院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于 72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“ 我还不能确定答案。 ”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“ 有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。 ”主人家的楼号是_ ,孩子的年龄是_.二、解答题11甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质数”.乙说： “两个质数之和一定不是质数 ”.丙说：“ 两个质数之和不一定是质数”. 他们当中,谁说得对?12. 下面有 3 张卡片 3 , 2 , 1 ，从中抽出一张、二张、三
6、张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数. 把所得数中的质数写出来.13. 在 100 以内与 77 互质的所有奇数之和是多少?14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶） ，或者是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少4 环.求甲、乙的总环数.答 案答 案:1. 9，1，2在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有 9 为合数 ,故第一个空填 9.在一位自然数中,质数有 2、3、5、7，合数有 4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为 1.又在一位自然数中,偶数有 2、4
7、、6、8，所以既是偶数又是质数的数为 2.2. 202最小的质数是 2,最接近 100 的质数是 101,它们的乘积是 2 101=202.3. 420首先注意到 41 是质数,两个自然数的和与差的积是 41,可见它们的差是 1,这是两个连续的自然数,大数是 21,小数是 20,所以这两个自然数的积是 20 21=420.4. 2、5、43接近 50 的质数有 43,再将 7 分拆成质数 2 与质数 5 的和.即2+5+43=50另外,还有2+19+29=502+11+37=50注填法不是唯一的.如也可以写成41+2+7=505. 11,12,13将 1716 分解质因数得1716=2 2 3
8、 11 13=11 (2 2 3) 13由此可以看出这三个数是 11,12,13.6. 88先把 1992 分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.1992=2 2 2 3 83所以 1992 所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是 2+3+83=88.7. 210最小的四个质数是 2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是2 3 5 7=2108. 192先把 9216 分解质因数,然后再用“试验法” 解答9216=2 2 2 3 310 个=96 96欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为 96+96=192.9. 36如下图所示,要求木条的
9、面积,必须知道正方形木板的边长.把 108 分解质因数.108(cm2)平方分米3 分米108=2 2 3 3 3=12 9由此可见,9 加 3 正好等于 12,所以正方形木板边长是 12 分米.所以,木条面积是12 3=36(平方分米)10. 31这 10 个质数之和是 598,分成两组后,每组五个数之和是 598 2=299.在有 79 这组数中,其他四个质数之和是 299-79=220,个位数是 0,因此这四个质数的个位数可能有三种情形:(1)三个 1 和一个 7；(2)二个 3 和二个 7；(3)三个 3 和一个 1.31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有
10、47,情形(1)被否定.17+67=84,220-84=136,个位数为 3 有 23,53,83,只有 53+83=136,因此从情形(2) 得到一种分组:17,53,67,79,83 和 23,31,41,101,103.所以,含有 101 这组数中,从小到大排列第二个数是 31.注从题目本身的要求来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形 (3)还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262,262-220=42, 我们能否从 53,83,103 中找出一个数 ,用比它少 42 的数来代替呢?53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有 11 和 61,只
11、有 41.又得到另一种分组:23,41,53,79,103 和 17,31,67,83,101.由此可见,不论哪一种分组,含 101 这组数中,从小到大排列,第二个数都是 31.11. 由于长+宽是 36 2=18将 18 表示为两个质数和 18=5+13=7+11 所以长方形的面积是 5 13=65 或 7 11=77 故长方形的面积至多是 77 平方单位.12. 先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=7 2 20=2 2 521=3 7 28=2 2 730=2 3 5 7从上面五个数分解质因数来看,连 7 在
12、内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和 30第二组：14、21 和 20且 7 28 30=14 21 20=5880 满足要求.注解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.13. 把 1430 分解质因数得1430=2 5 11 13根据题目的要求,应在 2、5、11 及 13 中选用若干个数，使它们的乘积在 100 到 200 之间，于是得三种答案：（1）2 5 11
13、=110；（2）2 5 13=130；（3）11 13=143.所以,有三种分法:一种是分为 13 队,每队 110 人；二是分为 11 队，每队 130 人；三是分为 10 队，每队 143 人.14. 由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍,即 4 瓶油(加瓶)共重(8+9+10+11+12+13) 3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有 2,故有(1)油重之和为 19 千克,瓶重之和为 2 千克,每只瓶重 千克,最重的两瓶内的油为 13-212=12(千克).21(2)油重之和为 2 千克,瓶重之和
14、为 19 千克,每只瓶重 千克,最重的两瓶内的油为 13-494192= (千克), 这与油重之和为 2 千克矛盾,不合要求 ,删去.7答 案答 案:1. 99100,98 是偶数,99 是 3 倍数,从而知 97 是 1100 中最大的质数,又最小的质数是 2,所以最小的质数与最大的质数的和是 99.2. 3,3,5,8根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将 360 分解质因数得:360=2 22 5 3 3所以,这四个数是 3,3,5 和 8.3. 1992依题意,将 232323 分解质因数得232323=23 10101=23 3 7 13 37从而,全部不同质因数之和
15、=23+3+7+13+37=83AB所以,A B =8 3 83=1992.4 36 岁根据三个学生的年龄乘积是 1620 的条件，先把 1620 分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大 3 岁的条件进行组合.1620=2 2 3 3 3 3 5=9 12 15所以,他们年龄的和是 9+12+15=36(岁)5. 83,24先把 1992 分解质因数,再根据两个数的和是 107 进行组合1992=2 2 2 3 83=24 8324+83=107所以,这两个数分别是 83 和 24.6. 14根据两数之积能整除 4875,把 4875 分解质因数,再根据两数之和为 64 进行组合.487
16、5=3 5 5 5 13=(3 13) (5 5) 5=(39 25) 5由此推得这两数为 39 和 25.它们的差是 39-25=14.7. 15解法一因为相同两数相加之和为原数的 2 倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为 1.所以原数的 2 倍加上原数乘以原数应是 256-1=255.把 255 分解质因数得:255=3 5 17=3 5 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.解法二依题意,原数的 2 倍+0+原数 原数+1=256,即原数的 2 倍+原数 原数=256-1原数的 2 倍+原数 原数=255把 255 分解质因数得255=3 5 17=15
17、 (15+2)=15 2+15 15所以,这个数是 15.8. 21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.先把 10 个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这 10 个数分成两组:21=3 7 22=2 1134=2 17 39=3 1344=2 2 11 45=3 3 565=5 13 76=2 2 19133=7 19 153=3 3 17由此可见,这 10 个数中质因数共有 6 个 2,6 个 3,2 个 5,2 个 7,2 个 11,2 个 13,2 个 17,2 个19.所以,每组数中应包含 3 个 2,3 个 3,5、7、11、13、17 和
18、 19 各一个.于是,可以这样分组:第一组数是:21、22、65、76、153；第二组数是:34、39、44、45、133.注若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990 年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):把 20,26,33,35,39,42,44,55,91 等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.答案是如下分法即可:第一组：20，33，91；第二组：44，35，39；第三组：26，42，55.9 12设这样的两位数的十位数字为 A，个位数字为 B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B 能被 10A+B 整除.因为 100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质
19、可知 90A 能被 10A+B 整除.这样只要把 90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.90A=2 32 5 AA 1 2 3 4 5 6 7 8 990A10 915 618 520 9 30 9 40 945 8 50 9 60 9 70 980 9 90 9B10,1518 20 30 40,45 50 60 70 80 90所以,符合条件的两位数共 12 个.10. 14；3 岁，3 岁，8 岁因为三个孩子年龄的积是 72，所以，我们把 72 分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过 15 岁，所以所有不同的乘积式是72=1 6 12=1 8 9=2 3
20、 12=2 4 9=2 6 6=3 3 8=3 4 6三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14 就是主人家的楼号.如果楼号不是 14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是 14.亦即三个孩子年龄的和为 14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2 岁、6 岁、6岁；或 3 岁、3 岁、8 岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是 3岁、3 岁、8 岁.主人家的楼号是 14 号.11. 因为两个质数之和可能是质数如 2+3=5,也可能是合数如 3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.12
21、. 从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为 1、2、3，其中只有2、3 是质数.从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是 2 的两位数和个位与十位上数字之和是 3 的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有 13,23,31.因为 1+2+3=6,6 能被 3 整除 ,所以由 1、2、3 按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.故满足要求的质数有 2、3、13、23、31 这五个.注这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数 12,21,32 排除即可.13. 1
22、00 以内所有奇数之和是1+3+5+99=2500，从中减去 100 以内奇数中 7 的倍数与 11 的倍数之和7 (1+3+13)+11 (1+3+9)=618，最后再加上一个 7 11=77（因为上面减去了两次 77） ，所以最终答数为2500-618+77=1959.注上面解题过程中 100 以内奇数里减去两个不同质数 7 与 11 的倍数,再加上一个公倍数 7 11,这里限定在 100 以内,如果不是 100 以内,而是 1000 以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有 7 11 的 1 倍,3 倍,也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.14. 依题意知,每射一箭
23、的环数,只能是下列 11 个数中的一个0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.而甲、乙 5 箭总环数的积 1764 0,这说明在甲、乙 5 箭得到的环数里没有 0 和 10.而 1764=1 2 2 3 3 7 7 是由 5 箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是 7，从而可知另外 3 箭的环数是 5 个数1，2，2，3，3经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有 5 种：（1）1，4，9；（2）1，6，6；（3）2，2，9；（4）2，3，6；（5）3，3，4因此，两人 5 箭的环数有 5 种可能：7，7，1，4，9 和是 28；7，7，1，6，6 和是 27；7，7，2，2，9 和是 27；7，7，2，3，6 和是 25；7，7，3，3，4 和是 24。甲、乙的总环数相差 4,甲的总环数少.甲的总环数是 24,乙的总环数是 28.
