1、1数列的通项与求和一求数列的通项的一般方法、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例 1等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列， 求nanS931,a25aS数列 的通项公式.n点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。、二、公式法若已知数列的前 n项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式nSanan求解。211Sann例 2已知下列两数列 的前 n 项和 sn的公式，求 的通项公式.n（1） . （2）3n 12点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能211nSa
2、nn合写时一定要合并、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。2类型 1 递推公式为 )(1nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。1f例 3. 已知数列 满足 ， ，求 。n2nan21na类型 2 递推公式为 nnaf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。1fn例 4. 已知数列 满足 ， ，求 。na321na1变式：已知 ， ，求 。31anna211)(na类型 3 递推式： nfpan13解法：只需构造数列 ，消去 带来的差
3、异nbf类型 递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。3 pa1 )01(pq解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为)(1ttnnt等比数列求解。类型 递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。 3 nnpa1 )01)(qp（或 ,其中 p，q, r 均为常数）1nnaprq解法：该类型较类型 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：3 1nqqnn1引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用类型 的方法解决。nbnaqbpnn113例 5数列a 满足 a =1，a = a +1（n2 ） ，求数列a 的通项公式。n1n1n变式：数列 a 满足 a =
4、1， ,求数列a 的通项公式。n10731nn4例 6. 已知数列 中， , ，求 。na65111)2(3nnana变式：已知数列 满足 ， ， 求 na1123nna)(na点评：递推式为 （p、q 为常数）时，可同除 ，得11nna1nq，令 从而化归为 （p、q 为常数）型1nnqapbann1取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有 项，直接求相邻两项的关系很困难，1n但两边同除以 后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 。1na na5例 7、已知数列 ， = ， ，求na11nnaNna变式、已知数列 满足 ，且 （ ） 求数列 的na13213nna2nN()na通项
5、公式。二、数列求和的方法（1 ）公式法：等差数列： ；等比数列： ；dnansn2)1(2)(11)1()1(1)(1qnaqaqnsnk12);(6（2 ）错位相减法:这是推导等比数列前 项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列 的前n nba项和，其中 分别是等差数列和等比数列。nba、6（3 ）倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。（4 ）分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。（5 ）裂项法这是分解与组合思
6、想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项法有： )(11)(1 babann ； )2()2(n数列 是等差数列，na11nnada（6 ） 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，并项求和法等1分组与公式法求和：例 1已知数列x n的首项 x13，通项 xn2 npnq( nN *，p，q 为常数) ，且x1，x 4，x 5成等差数列求：(1)p，q 的值；(2)数列x n前 n 项和 Sn的公式2错位相减法求和例 2.(2013唐山统考)在等比数列 an中，a 2a332，a 532.(1)求数列a n的通项公式；7(
7、2)设数列a n的前 n 项和为 Sn，求 S12S 2nS n.3.裂项相消法求和例 3。 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S nna n n(n1)(nN *) (1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.2anan 1本例条件不变，若数列b n满足 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.1Sn n.84.倒序相加法求和例 4.求 2222sin1isin3sin89 变式：1、设 ，求 的值。21)(xf )0()4(5fff )6(5.f5.其他求和例 5.已知数列 的通项 ，求其前 项和na65()2nn为 奇 数为 偶 数 nnS
