1、1突破之 2:运动学一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动:微元法问题：如图所示，以恒定的速率 v1 拉绳子时，物体沿水平面运动的速率 v2 是多少？ 普通量和小量；等价、同价和高价有限量（普通量）和无限量 x0的区别. 设有二个小量 x1和 x2，当 , x1和 x2为等价无穷小，可互相代替，当 普通量, x1和21 21xx2为同价无穷小，当 （或 ）, x2比 x1为更高价无穷小。1在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。如当 0时，AB弧与AB 弦为等价， （圆周角）和 （弦切角）为同价。如图OAB为等腰三角形，
2、 OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD 。，即 （等价）。OADBAOD,tan,sin tansi，比 更高价的无穷小量。2sico1回到问题：因为DD为高价无穷小量，绳子拉过的长度 s1=BD=BD，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（v 2=v1/cos）例：如图所示，物体以v 1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求（1）杆与物体接触点P的速率？（v 2=v1cos）（2）杆转动的角速度？ （ =v1sin/OP）。 1.细杆M绕O轴以角速度为 匀速转动 ,并带动套在杆和固定的 AB钢丝上的小环C 滑动,O 轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与 点距离为x时，小环沿
3、钢丝滑动的速度.（答案： ）dx22.用微元法求：自由落体运动，在t 1到t 2时间内的位移。（答案： ）21gtt解：把t 1到t 2的时间分成n等分，每段为 t,则 ,且看成匀速。nt12则v 1=gt1+gt,s1=( gt1+gt)t,v2=gt1+2gt,s2=(gt1+2gt)t,vn=gt1+ngt,sn=(gt1+ngt)t,s=s1+s2+sn= .2121122 )()()1( gtttgtgn若v 1=gt1,s1=gt1t,v2=gt1+gt,s2=(gt1+gt)t,vn=gt1+（ n-1）g t,sn=gt1+（n-1）g tt,s=s1+s2+sn= 21211
4、22 )()()( gtttgtt 也可用图象法求解。 3.蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m的A点处时,速度是v 1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L 2=2m的B点所需的时间为多少 ? （答案：75s）解法1:将蚁巢中心定为坐标原点 O,OA连线即为x轴正方向 ,则坐标x 处蚂蚁的速度可表示为.将AB连线分成n等份,每等份 .当n很大时,每小段的运动可看成是匀速运动.x L)(1每小段对应的速度为 ， ， 。 1Lvxv12 xv)1(3)2()(21 Lxvtn合2s7522)(2)(2)1( 1111 vLvLLnvxnxLv
5、解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度 ,x即 ，1/v -x的图象如图所示。Lv1蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面积， t= =75s. 12121)( LvLv二.运动的合成与分解1.相对运动3.某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失,汽艇立即调头航行,并在丢失点下游s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 4.在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v 0射出很多的小球,问(1)这些小球在空间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少 ?5.一只气球以10m/s的速度匀速上升 ,某时刻在气球正下方距气
6、球为 10m的地方有一个石子以v 0的初速度竖直上抛(取g=10m/s 2),石子要击中气球,则v 0应满足什么条件? 2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。求下列各图中v 1和v 2的关系.6.如图所示，AB杆的A 端以匀速v 沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为 时，求此时：（1）杆上与半圆周相切点C 的速度大小。（2）杆转动的角速度。（3）杆上AC中点的速度大小。（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。答
7、案：（1） ；（2） ；（3）； ；（4） cosvsintaRv sinco2v sintav解：把A的速度分解成沿杆的速度 ，和垂直杆方向速度 。s1（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小 。co1C（2）A点对C点的转动速度为 ，in2v所以杆转动的角速度为 。sitacotsiRACv（3） 4i)2(21vAC（4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也为，sintaR杆与半圆周相切的切点的速度大小 。 sintavRC7.如图所示，杆 长为 ，可绕过 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点 系着一跨过定滑轮 、OAROAB的不可伸长
8、的轻绳，绳的另一端系一物块 ，滑轮的半径可忽略， 在 的正上方， 之间的CMBO距离为 。某一时刻，当绳的 段与 之间的夹角为 时，杆的角速度为 ，求此时物块 的HBM速率 。Mv解： ，A沿绳 的分量BcosAv由正弦定理知 siniOR由图看出 2由以上各式得 sinMvH3.运动的合成与分解:在船渡河中， 。推广合合合v 乙 丙甲 乙甲 丙 vv8.当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来 ,当骑自行车的人的速度增加到10m/s 时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向 . （答案： m/s，方向正东南）253V风对地 =V风对人 +V人对地 ，得V
9、 风对地 = m/s，方向正东南 259.如图所示,质点P 1以v 1的速度由A向B 作匀速直线运动,同时质点 P2以v 2的速度由B向C作匀速直线运动,AB=L,ABC=,且为锐角,试确定何时刻t,P 1、P 2的间距d最短 ,为多少?10.一半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为v做匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点P，此杆只能沿竖直方向运动,如图所示.求当OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为 时,竖直杆运动的速度和加速度.（答案：vtan ； ）32cosRva解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照系中P点做圆周运动,v 杆柱 的方向沿着圆上P点的切线方向,v杆
10、地 的方向竖直向上,因为 ,合合合v矢量图如图a所示.得v 杆地 =vtan。也可用微元法求.(2)有 ,合合合a因a 柱地 =0,所以a 杆地 =a杆柱 ,而a 杆地 的方向竖直向下,又a 杆柱 可分解成切线方向a t和法线方向a n,矢量图如图b所示,所以得到 .22cosRv合 32cossRvn合问题：若圆柱体的加速度为a，则a 杆地 =？ ，合合合合 aaatn，a 杆地 的方向仍在竖直方向上。 tncs22tnav合三抛体运动1.竖直上抛运动:v= v0-gt,s=v0t-gt2/2.如初速 v0=20m/s 竖直向上抛出,取 g=10m/s2.求经 t=3s 物体的位移.可用分段
11、解,也可用 s=v0t-gt2/2 直接求解(15m,方向向下)例.在地面上的同一点分别以v 1和v 2的初速度先后竖直向上抛出两个可视作质点的小球,第二个小球抛出后经过t时间与第一个小球相遇,改变两球抛出的时间间隔,便可改变t的值,已知v 1v2,则 t的最大值为 .(忽略空气阻力) （答案： ）g12.平抛运动水平方向匀速运动:v x=v0,x=v0t 竖直方向自由落体运动:v y=gt,y=gt2 1.如图所示,从高H处的同一点先后平抛两球 1和2.球1直接经竖直挡板的顶端落到水平地面B点,球2与地面的A点碰撞后经竖直挡板的顶端,第二次落到水平地面B点.设球2与地面的碰撞是弹性碰撞,求竖
12、直挡板的高度h. （答案： ）Hh432.解:因球2与地面的碰撞是弹性碰撞 ,所以弹起后的运动与原来的运动对称,它的运动时间为t 2=3t1,它们的水平初速v 1=3v2,所以当水平位移相等时,它们的运动时间为3倍关系,两球飞抵挡板的时间是t 2=3t1,设球2第一次着地到飞跃挡板顶端的时间为t,因小球的上升和下落的运动是对称的,所以它们的时间关系为:.得ghHtg/)(/ gHht /2/)(23对球2下落 解得 . ,243.斜抛运动（抛射角为 ，初速为 v0）水平方向：v x=v0cos,x=v0cost,竖直方向：v y=v0sin,y= v0sint- gt2,1物体运动到最高点的时
13、间： ,gsin0射高： ，gvy2sin0射程： ，当 =45时 x 最大。gvtx2sinco006.一物体以v 0的初速从A 点开始以恒定的加速度作曲线运动，经1s运动到B点，再经1s运动到C点。已知AB=3m，BC= m，AB BC，求初速度大小v 0和加速度大小a。3（答案： m/s; m/s2,）21a解：物体与加速度垂直方向是匀速运动，在相等时间内的位移相等。作直角三角形，AC的中点P与B的连线应是加速度反方向，如图所示。4在A到B的过程，设x 方向的初速为v x,则 m/s5.130costAPv设y方向的初速为v y,加速度大小为a, m2C在A到B的过程 016singtA
14、By在A到C的过程 2)(3v解得加速度大小 m/s2, m/s，所以 m/s=4.58m/s。 a35y 2120yxv6.如图所示,一仓库高25m,宽40 m.今在仓库前L、高5m 的A点处抛出一石块过屋顶,问L为多少时所需的初速v 0可最小.（答案：14.6m）7.如图所示,一人从离地平面高为h处以速率v 0斜向上抛出一个石子,求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？（答案： ; ）ghv2sin01ghvx2ma8.如图所示，弹性小球从高为h处自由下落，落到与水平面成 角的长斜面上，碰撞后以同样的速率反弹回来。求：（1）每相邻两点第一点和第二点、第二点和第三点 第n点和第（n+
15、1） 间的距离。（2）当小球与斜面发生碰撞前瞬间，斜面以v的速度竖直向上作匀速直线运动，求第一点和第二点间的距离。答案：（1） ; sin81hxn 212)(si4vghx解：（1）取沿斜面向下为x轴，垂直斜面方向为y轴。小球与斜面第一次碰撞前后的速度大小 ，方向与y轴对称，gv0则v x1=v0sin,ax=gsin,vy1=v0cos,ay=-gcos,第一点与第二点碰撞时间间隔 。t12cos所以第一点与第二点间的距离 。sin8si4sin1i20102 hgvttvx 第二次碰撞时刻的速度v x2=v0sin+gsint1=3v0sin,vy2=v0cos-gcost1=-v0co
16、s,碰后，v y大不变，每相邻两次碰撞时间间隔不变， 。gvt02所以第二点与第三点间的距离 。sin8sin1si32102 httvx同理，第n点与第n+1点间的距离 。81hn(2)因 ，当斜面向上作匀速运动时，以斜面为参照物，小于与斜面碰撞时的速度gvxsin4201v=v0+v,所以 。2202 )(si4)(i vghv四圆周运动1.质点的匀速圆周运动(1)线速度度 ,(2)角速度 ,(3)角加速度 ,tsvtt(4)线速度和角速度的关系 ,(5)角速度与时间的关系 ,Rv t0(6)角度与时间和关系 ,(7)向心加速度( 改变速度方向) ,201t vRvan2(8)切向加速度(
17、改变速度大小 ) tat(9)质点的加速度(法向和切向的合成 ) .tna5.一质点以半径为R,线速度为v作匀速圆周运动,求证质点的向心加速度 .Rvan2解:根据相似三角形,得 ,Rsv5两边同除 t,得 ,tsRvta当 t0时, 0,v的方向与v A方向垂直,即加速度的方向指向圆心, 就是线速度,所以得到向心加速ts度大小 .an2问题： ，对非匀速圆周运动适用吗？ Rv6.赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶,在0.1s时间内速度由10.0m/s加大到10.5m/s, 那么该赛车在半径为30m的环形公路段中 ,达到同样的结果需要多少时间?当环行公路的半径为多少时,赛车的速度就不可
18、能增大到超过10m/s?设公路的平面是水平的.（答案：0.14s;20m ）7.如图所示,半径为r的圆轮在半径为R的固定圆柱上滚动,已知半径为r的圆轮的轮心的速率恒为v,求当圆轮在固定圆柱的最高点的如图时刻:(1)圆轮上P点的加速度.(2)圆轮与圆柱接触点的加速度. 答案：(1) ; )(2Rrv2)(rvaP解:(1)P点相对 O转动,有 ,P点相对地的速度多大 ?合合合OPa由 .无相对滑动时,v P地 =0，a P地 0，v PO大小等于v O地 =v，有滑动时？合合v而a P对O = ,方向向上;a O对地 = ,方向向下.r2Rrv2所以P点的速度度a P对地 =aP对O -aO对地
19、 = ,方向向上.)(2(2)接触点P运动的线速度v= ,接触点的加速度 . rv22)(rRvaP8.如图所示，利用定滑轮绳索拉物体，已知拉绳索的速率v恒定不变。求如图时刻：物体离定滑轮的水平距离为s、物体离定滑轮的竖直距离为h时物体的加速度。（答案： ）23vsha注意：若拉绳子的加速为a,则物体的加速度多大？物体沿绳子方向相对地的加速度a 地 =a+ an ，所以物体的加速度： 。shsan322cos合a合 不是a和a的合成，为什么？（a 不影响a n，但要影响a t,a合 的方向仍水平方向）。 2.刚体的转动、瞬时轴(1)刚体上各点相对某一点的角速度都相等。(2)瞬时轴是指某时刻的速
20、度为零，确定方法：任意两点的速度方向垂直的直线的交点，它与某点的距离 R=v/（3）瞬时轴的速度为零，加速度不为零。如图所示,小球在地上无滑动的滚动,求 A、B、C 的速度大小加速度的大小？用速度的合成（或用 A 点为瞬时轴）求解：v A=0;vB= ;vC=2v。2O 点作匀速运动，对地的加速度等于对 O 点的加速度，都为 （或用 ）RaA2合合a9.一辆汽车沿水平公路以速度v无滑动地运动,如果车轮的半径为R,求从车轮边缘抛出的水滴上升的最大高度（离地）。（答案：当 , ;当 ，y m=2R）gv2Rgvym22解:设水滴抛出时速度方向与水平面成 角，根据速度的合成（或瞬时轴），水滴的速度v
21、= 2Rcos=2vcos其高度： 22cos)sinco2(gvy= =)1(112Rgv Rgv2coscs2当cos2 = 时， .2vRgvym2因cos2 1，所以当 ，即 时， R2Rv2gvym2当 ，即 时，y m=2R（是 的最小值）. Rgv2gv2 Rvg23.曲线运动的曲离半径: na2如当圆柱体在水平地面上滚动时:B 点运动的曲离半径 ，R因 vB= , ,所以曲离半径2van2RavnB261.求抛物线 曲率半径与x关系。（答案： ）2ay ax2)41(/3解：因平抛运动的轨迹为抛物线，如图3所示。设平抛运动的初速度为v 0，则平抛运动的水平位移为 ,竖直高度为
22、，平抛运动的轨迹为 。比较 和 ，当tx0 21gty 20xvgy 2xvgy2ay，或 时平抛运动的轨迹与抛物线 的轨迹相同。20vga30vaa根据机械能守恒定律，物体在任一点（P点）时的速度大小：。y把 和 代入上式得2ax30vg 2041xav在P点物体的法向加速度： 。vgan30cos所以抛物线 曲率半径与x关系： 。2y axan2)41(2/330抛物线 顶点（x=0）的曲率半径： 。a也可直接求顶点的曲率半径： 。 agv2102.有一只狐狸以不变的速度v 1沿直线AB逃跑,一猎犬以不变的速率v 2追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处,猎犬在D处,FDAB,且F
23、D=L (如图所示)求此时猎犬的加速度大小.（答案： ）vRa2五综合题例5.百贷大楼一、二楼间有一部正在向上运动的自动扶梯,某人以速度v沿梯向上跑,数得梯子有N 1级,到二楼后他又反过来以速度v沿梯下跑,数得梯子有N 2级,那么该自动扶梯的梯子实际为 级. （答案： ）21解:因人相对扶梯的速度不变 ,所以扶梯的级数与时间成正比,N =t=S/v-(1),-(2), -(3).得N = 合vst1 合vst2 216.在高为h处有一木球A由静止开始下落,由于空气阻力的作用,下落的加速度大小为g/10,同时在A正下方的地面上有一铁球B以v 0的初速度竖直上抛(空气对铁球的阻力可以忽略不计 ,铁
24、球的加速度大小为g) 要使A和B在空中相撞,v 0应满足什么关系? （答案： ）hgv590解:相碰时位移关系v 0t- gt2+ at2=h-(1)1v0较大时,A和B在空中一定能相撞,当v 0较小时,B在下落过程中与A相碰, v0最小的临界条件速度相等,即-(v0-gt)=at-(2),式中 代入(2)式得 ,1gagvt91把 和 ,代入(1),得 ,即要使A和B在空中相撞 .1gavt90hv50 hgv5907.如图所示,水平方向以v 0速度向右运动的车厢，车厢内的桌面上离车厢底的高度为h处有一小球，当车厢以速度度大小为a作匀减速度直线运动时，小球以v 0的速度水平离开车厢。求小球落
25、到车厢底上距桌面边缘A点的距离（车厢底足够长）。（答案：当 时 ;当 时， .）gv02asgvh02avghs278.如图所示,直杆AB搁在半径为R的固定圆环上作平动,速度恒为v。求当杆运动到如图位置时,杆与环的交点M的速度和加速度.（答案： ; ）sinv32sinRvaM合9.有两艘船在大海中航行,A船航向正东,船速每小时15km,B 船航向正北,船速每小时20km ,A船正午通过某一灯塔,B船下午2时通过同一灯塔.问: 什么时候A、B两船相距最近?最近距离是多少?（答案：下午1.28h,A、B两船相距最近; 24km）10.如图所示,一小球以速度v 0水平投射到光滑的斜面上,斜面与水平面的夹角为 ,小球与斜面的碰撞是弹性碰撞,求小球第一次与斜面碰撞点到第二次与斜面碰撞点间的距离s(空气阻力不计).（答案： )tan1(si220g11.A、B、C 三个芭蕾演员同时从边长为L 的三角形顶点A、 B、C 出发,以相同的速率v 运动,运动中始终保持A朝着B,B朝着 C,C朝着A运动,试问经多少时间三人相聚?每个演员跑了多少路程?(注:若四人从边长为L的正方形顶点出发,情况又怎样?)（答案：t= ,s= ）v32
