1、1第一章 矢量分析仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量),(tru场，矢量场可用一个矢量函数 来描述。矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律),(trF的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。1.1 矢量代数1.矢量的表示矢量 可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量 的大小，称为矢量的模；A A箭头的指向表示矢量 的方向。用 表示与矢量 同方向的单位矢
2、量，则Ae； Ae2.矢量的加法 矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。交换律： ；B结合律： )()(CA两个矢量的相减可以归结为相加运算。 3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量 与标量 的乘积 为矢量，大小为 。若 ， 与 同向；若 ，AkAAk0Ak0k与 反向。k(2)矢量的标积或点积 cosB标积的运算符合交换律和分配律：；AB CA)(3)矢量的矢积或叉积2大小： ；即等于矢量 和 构成的平行四边形的面积。sinABAB方向：与矢量 和 垂直，其指向由右手螺旋决定。矢量积不服从交换律，但服从分配律：；CA)(4)标量三重积（三矢量的混合积）形式： )(CBA几
3、何意义：等于矢量 构成的平行六面体的体积,性质：a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。 )()()( BACBCAb.只把两矢量对调，其积差一负号。)()()()( A (5)矢量三重积（三矢量的矢积）形式： )(CBA性质： )()(BAC)(1.2 三种常用的正交坐标系 1.直角坐标系(1)坐标变量， ，xyz(2)空间点任意空间点 是三个平面 的交点。),(0zyP00,zyx(3)单位矢量， ， ，分别沿 增加的方向，且遵循右手螺旋法则：xeyzzx,， ，zyxexzyeyxze3(4)矢量表示式 zyxeAeA(5)位置矢量zyxr(6)元位移 zyxededr(7)面积元， ，
4、zsxxzsydxysz(8)体积元dzV(9)直角坐标系中的矢量代数zzyyxx eBAeeBA )()()( zyzyxzxBe zxyxyzxzxz eBAeBAeA )()()( 2.圆柱坐标系(1)坐标变量， ， 02z(2)空间点任意空间点 是以下三个面的交点： 的圆柱面、包含 轴并与 平),(0zP0zxz面构成夹角为 的半平面、 的平面。00z(3)单位矢量， ， ，分别沿 增加的方向，且遵循右手螺旋法则：rezz,， ，zeezez4， 不是常矢量。re(4)矢量表示式 zeAeA(5)位置矢量zr(6)元位移 zededr(7)面积元， ， zszsdsz(8)体积元dzV
5、(9)圆柱坐标系中的矢量代数 zzeBAeeBA )()()( zzzBe zzzz eBAeBAeA )()()( 3.球坐标系(1)坐标变量， ，r020(2)空间点任意空间点 是以下三个面的交点：球心在原点、半径 的球面；顶点),(0rP 0r在原点、轴线与 轴重合且半顶角 的正圆锥面；包含 轴并与 平面构成夹角为z0zxz的半平面。05(3)单位矢量， ， ，分别沿 增加的方向，且遵循右手螺旋法则：re,r， ，erreer， ， 都不是常矢量。re(4)矢量表示式eAeAr(5)位置矢量r(6)元位移 edredrsin(7)面积元， ， rsi2 rsirds(8)体积元drdVs
6、in2(9)圆柱坐标系中的矢量代数 eBAeeBArr )()()( r Ber eBAeAeArrrr )()()( 4.三种坐标系坐标变量之间的关系(1)直角坐标系与柱坐标系的关系， ， ；cosxsinyz， ，2xta6(2)直角坐标系与球坐标系的关系， ， ；cosinrxsinrycosrz， ，22zzyx2taxytan(3)柱坐标与球坐标， ， ；sinrcosrz， ，2zta5.三种坐标系坐标单位矢量之间的关系(1)直角坐标系和柱坐标系中单位矢量的关系(2)直角坐标系和球坐标系中单位矢量的关系1.3 标量场的梯度标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数 来描述。与
7、时间无关的),(tru场称为静态场，静态标量场可用函数 来描述。为了考察标量场在空间的分布和变化规)(ru律，引进等值面、方向导数和梯度的概念。xeyezeecossin icoze xeyezerecosinsincos iesics71.标量场的等值面(1)定义空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面,等值面满足方程Cru)(2)特点a.常数 C 取一系列不同的值时，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；b.标量场的等值面族充满场所在的整个空间（连续） ；c.标量场的等值面互不相交（单值） 。2.方向导数(1)定义设 是标量场 中的一点， 是从点 出发的一条射线， 是射线上的动点，0
8、M)(ul0MM与点 的距离为 ，则llullM)()00im0定义标量场 在点 处沿 方向的方向导数。)(u显然，方向导数值既与点 有关，也与 方向有关。0l(2)意义方向导数 是标量场 在点 处沿 方向对距离的变化率。当 时，标量lu)(M0l 0lu场 沿 方向增加；当 时，标量场 沿 方向减小；当 时，标量场)(Mulu)(ul沿 方向无变化。l(3)计算公式根据符合函数求导法则，在直角坐标系中dlzulydlxul设 方向的方向余弦是 ，则l coscs，zuyxul 8上式为直角坐标系中方向导数的计算公式。(4)例：求函数 在点 处沿 方向的方向导数。22zyxu)1,0(Mzyx
9、eel23.梯度(1)定义标量场 在点 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 变化率最大的方向，大小等u u于其最大变化率，记作 ，用 表示场量 变化率最大的方向上的单位矢量，则graduleumaxle(2)计算式在直角坐标系中，令 zueyxueGcoscoszl则 ),cos(csscs lleGezuyxul 当 与 方向一致时，方向导数的值最大，等于矢量 的模 ，根据梯度的定义，直角坐lG标系中梯度的表达式为zueyxuegrad直角坐标系中，哈密顿算符表示为 zeyxe标量场 的梯度可用哈密顿算符表示为u uzeyxegrad)(标量场 的梯度可认为是哈密顿算符 作用于标量函数 的一
10、种运算。u(3)性质a. 标量场 的梯度是一个矢量场，称为标量场 所产生的梯度场；u9b. 标量场 中，在给定点沿任意方向 的方向导数等于梯度在该方向上的投影；)(Mulc. 标量场 中每一点 处的梯度，垂直于过该点的等值面，指向 增加的方)(Mu向。证明：沿等值面方向导数为零，说明梯度与等值面垂直；沿梯度方向方向导数为正，说明 增加。)(Mu(4)例 1.3.11.4 矢量场的通量与散度矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数 来描述，与时间无关的),(trF场称为静态场，静态矢量场可用函数 来描述。)(rF1.矢量场的矢量线(1)定义矢量场可以用一些有向曲线形象地表示矢量在空间的分
11、布，称为矢量线。在矢量线上，任一点的切线方向必与该点的场矢量方向相同。(2)性质a. 矢量线充满场所在的整个空间（连续） ；b. 任意两条矢量线不相交（单值） 。(3)矢量线的微分方程在直角坐标系中，矢量函数 可表示为FzyxeeF矢量线上任一点的切向长度元可表示为 zyxddr根据定义，矢量线上任一点的切向长度元与该点的矢量场 的方向平行，即F0)(rF将 和 的表达式代入，整理得矢量线的微分方程组rdzyxd10解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制矢量线。(4)纵场和横场矢量场的矢量线分为两种：一种有始有终，这种场称为纵场；一种为闭合曲线，这种场称为横场。(5)例题 1.4.12.
12、 矢量场的通量(1)面元矢量设 为曲面 上的面元， 为与此面元相垂直的单位矢量，定义矢量dSnedSen为面元矢量。的取法分两种情形：若 为开表面上的面元，开表面由闭合曲线 c 围成，选择 cne的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为 方向；若 为闭合面上的面元，nedS则闭合面的外法线方向为 方向。ne(2)矢量的通量a. 矢量 穿过 的通量定义为FSddSen矢量 穿过面元 的通量为代数量：当 与 相交成锐角时，通过面元 的通量为 FneSd正值；当 与 相交成钝角时，通过面元 的通量为负值；当 与 相交成直角时，通Fne Fne过面元 的通量为零。Sdb.矢量 穿过曲面 的通量S
13、ndSeFc.矢量 穿过闭合面 的通量FSSn以电场的高斯定理为例，说明矢量 对闭合面 的通量表示闭合面内源的分布情况：FS若 ，闭合面 内必有发出矢量线的源，称为正通量源；若 ，闭合面SdF0 SdF011内必有汇集矢量线的源，称之为负通量源；若 ，闭合面 内无通量源。S SdF0S3.散度(1)定义 VSdFdivs0lim(2)意义一个标量，它表示点 处的单位体积内散发出来的矢量 的通量，描述该点通FivMF量源的密度：若 ，则该点有发出矢量线的正通量源；若 ，则该点有汇集0div 0div矢量线的负通量源，若 ，则该点无通量源。Fi(3)散度在直角坐标系中的表达式在直角坐标系中，以 为
14、顶点作平行六面体，边长分别为 、 、 ，各),(zyxMxyz面分别与各坐标面平行。矢量场 穿过该六面体表面 的通量为FSdSd下上右左后前 由于 zyxFzyxFzyxFSd xx ),(),(),(前 x后 ,所以 zyxFSdx),(前 后 同理可得 zyxSdy),(左 右 zF),(上 下矢量场 穿过该六面体表面 的通量为FS12zyxFyxSdFz)(代入散度的定义式，得到散度在直角坐标系中的表达式 Vdivs0limzyx利用算符 ，可将 表示为FiFeFezyexdiv zyx )()(4)例题 1.4.24.散度定理或高斯定理(1)内容 VSdF(2)证明将体积 分成许多体积
15、元： 、 、，从闭合面 穿出的通量从包围每个体积元1V2S的小闭合合面 传出的通量之和，即iS12SSdFdF由散度的定义式 iSVi )(所以 S VdFdFdF211.5 矢量场的环流与旋度矢量场的通量和散度描述了通量源的分布情况，反映了矢量场的一个重要性质。反映矢量场的空间变化规律的另一个重要性质是矢量场的环流和旋度。1.矢量场的环流(1)定义13矢量场 沿场中的一条闭合路径的曲线积分FCld称为矢量场 沿该闭合路径 C 的环流。其中 是路径上的线元矢量，其大小为 ，方向 ld dl沿路径 C 的切线方向。(2)以安培环路定理为例说明，矢量场的环流用来描述矢量场的涡旋特性：若 ，场中0必
16、定有产生这种场的涡旋源； ， 则在这个场中不可能有涡旋源。0(3)环流面密度定义矢量场 在点 处沿方向 的环流面密度为FMneSldrotCn0lima.矢量场 在点 处的环流面密度与面元 的法线方向 有关； Sneb. 矢量场 在点 处的环流面密度就是在该点处沿方向 的涡旋源密度。FM2.旋度(1)旋度的定义矢量场 在点 处的旋度是一个矢量，记作 ，它的方向沿着是环流面密度取最F Frot大值的面元法线方向，大小等于该环流面密度最大值，即max01liCSldFnrot式中 是环流面密度取最大值的面元正法线方向单位矢量。n矢量场 在点 处的旋度就是在该点的涡旋源密度。FM(2)环流面密度与旋
17、度的关系Frotertn(3)旋度在直角坐标系中的表达式以点 为顶点，取平行于 面的矩形面元，面元矢量为 。在点yz zyeSxx处的矢量 沿闭合路径的积分为：MzyxeFeFCld zFyzFyyzzy )()(14zyFz)(因此 在 方向上的投影为Frotxe FrotzyldFSxyCxx 1lim0若取面元 ， 在 方向上的投影为zeyyroterotxzldSyzCyy 1li0若取面元 ， 在 方向上的投影为xezzFrotzeFrotyxldSzxCzz 1lim0因此 rtertFrotet zyx )()()( yFxeFz xzxyx 利用算符 ，可将 表示为FrotFe
18、Fezyext zyx )()( 也可写成zyxzyxFeFrot (4)例题 1.5.13.斯托克斯定理(1)内容CSldF(2)证明15将曲面 分成许多小面元： 、 、，对每一个小面元，沿包围它的闭合路径取S1dS2的环流，路经的方向与大回路 一致，则所有沿小回路积分的总和等于沿大回路 的积F C C分，即12CCldFlldF由旋度的定义式 111 SrotlC222 dFdF所以 C SdFdFSldF 211.6 无旋场与无散场矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质，它们的主要区别在于：(1)一个矢量场的旋度是一个矢量函数，一个矢量场的散度是一个标量函数。(2)旋度描述的是矢量场
19、中各点的场量与涡旋源的关系，散度描述的是矢量场中各点的场量与散度源的关系。(3)矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律，矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律1.无旋场(1)无旋场的概念如果一个矢量场 的旋度处处为 0，即F0则称该矢量场为无旋场，它是由散度源产生的。(2) 梯度的性质梯度的旋度恒等于 0，即)(u证明： 16)(zeyxe )(zueyxu)()()( xyuz zyx 0(3)标量位对于一个旋度处处为 0 的矢量场 ，总可以把它表示为某一标量场 的梯度，使得F uuF标量函数 称为无旋场 的标量位函数，简称标量位。式中加负号为的是使其与电磁场中电
20、场强度 和标量电位 的关系相一致。E(4) 无旋场的性质由斯托克斯定理，无旋场 沿闭合路径 的环流等于 0，即FC0Cld这一结论等价于无旋场 的曲线积分 与路径无关，只与起点 和终点 有关。QPldPQ(5) 一个标量场由它的梯度完全确定 QPPQPQP ululldF )(若选点 为固定点，则上式可看成是点 的函数CluQP)(上式为标量位 的积分表达式，任意常数 取决于固定点 的选择。上式也可表示为QldQP)(这表明，一个标量场由它的梯度完全确定。2.无散场(1)无散场的概念如果一个矢量场 的散度处处为 0，即F0则称该矢量场为无散场，它是由涡旋源产生的。17(2)旋度的性质旋度的散度
21、恒等于 0，即)(A证明： )( )(zeyxe )()()( yAxeAzezAy xzxyx )()()( xAxyzxz0(3) 矢量位对于一个散度处处为 0 的矢量场 ，总可以把它表示为某一矢量场 的旋度，使得F AAF矢量函数 称为无散场 的矢量位函数，简称矢量位。(4)无散场的性质由散度定理，无散场 通过任意闭合曲面 的通量等于 0，即SSdF01.7 拉普拉斯运算与格林定理1.拉普拉斯运算(1)标量场 的拉普拉斯运算u称为标量场 的拉普拉斯运算，记为)(u2)(称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中2)(2 zueyxue 22zuyx(2)矢量场 的拉普拉斯运算F矢量场 的拉普拉斯运
22、算 定义为F218)()(2 FF在直角坐标系中)()()( zFyxxzyFx222)()()( yzx F)()( xzyFzxFxzxxy2222xxxF)()()(2 xxxx Fzy2222同理 ；yy22zz22于是 zyxee（ ）iiF22)(,2.格林定理格林定理又称为格林恒等式，是由散度定理导出的重要恒等式。(1)格林第一恒等式在散度定理VSdF中，令 ，其中 是体积 内的两个任意标量函数，则有F,VVS)()(由于 2ne19代入得格林第一恒等式VSdndV)(2是闭合面 上的外法线导数。nS(2)格林第二恒等式将格林第一恒等式中的 与 对调，有VSdndV)(2与格林第
23、一恒等式相减，得格林第二恒等式VSS)()(22格林定理描述了两个标量场之间满足的关系，如果已知其中一个场的分布，可以利用格林定理求解另一个场的分布。1.8 亥姆霍兹定理1.亥姆霍兹定理在有限区域 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域 的闭合面V V上的矢量场的分布）唯一地确定，且可表示为S)()()(rAruF其中 SdrFeVdrFrSnV )(41)(41)( ASnV )()()(2. 亥姆霍兹定理表明(1) 矢量场 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和来表示。标量函F数由 的散度和 在边界面 上的法向分量完全确定；矢量函数由 的旋度和 在边界面S F上的切
24、向分量完全确定；S(2)由于 、 ，一个矢量场可以表示为一个无旋场和无散0)(ru0)(rA场之和，即20ClF其中； 0lFC0(3)如果在区域 内矢量场 的散度与旋度处处为 0，则 由其在边界面 上的场分布VFS完全确定；(4)对于无界空间，只要矢量场满足（ ）1rF0则 、 表达式中的面积分等于 0，矢量场由其散度和旋度完全确定。因此，在无界)(ruA空间，散度与旋度处处为 0 的矢量场不存在。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，矢量场由它的散度和旋度唯一确定，所以，分析矢量场总是从研究它的散度和旋度着手，散度方场和旋度方程组成了矢量场的基本方程。必须指出，只有在 连续的区域内， 、 才有意义，因为它们都包含着对空FF间坐标的导数。在区域内如果存在 不连续的表面，则在这些表面上就不存在 的导数，F因而不能使用散度和旋度来分析表面附近场的性质，这时可以从矢量场沿闭合面的通量和盐闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。
