1、1/35,有限单元法Finite Element Method,主讲团队：徐远杰 教授 胡 衡 副教授 王雁然 副教授 楚锡华 副教授,武汉大学硕士研究生公开课 2009-2011,2/35,第二讲：有限元法的理论基础,1 引言2 微分方程的等效积分形式和加权余量法3 变分原理和里兹法4 弹性力学的基本方程和变分原理5 小结,2018/3/4,FEM的概念是由Turner与Clough最早提出的1。1952年美加利福尼亚大学伯克利分校的学者Clough RW应邀参加了波音航空公司夏季开发小组，在波音公司结构振动分析专家Truner MJ的带领下开展了三角形机翼结构分析，在经历了运用传统一维梁分
2、析失败后，1953年Clough在Turner的建议下，运用直接刚度位移法，成功地给出了用三角单元求得平面应力问题的正确答案；1960年Clough进一步研究了弹性问题的应力分析，并首次使用“有限元(Finite Element)”这一术语。,1Clough RW. Early history of the finite element method from the view point of a pioneer J. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 60: 283-287,Institute
3、 of Mechanical Engineering and Automation,引言,1 引言,2018/3/4,此后，一些应用/计算数学家、物理学家和工程师从2条分支研究FEM，形成了成熟的理论体系。即：应用/计算数学领域 研究的目的是建立完整的FEM理论体系，为工程应用奠定必备的理论基础。 工程具体问题计算领域(计算物理/计算力学/工程学) 研究的目的是面向具体工程应用问题，主要是离散格式研究，通过分析验证解的收敛性，估计误差，为工程设计优化提供指导。,工科学生学习 FEM、研究FEM、应用FEM的立足点,Institute of Mechanical Engineering and
4、Automation,1 引言,2018/3/4,应用/计算数学领域 Besseling ， Melosh ，Jones ，Pian 等人证明了有限元单元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式，与经典Ritz法的区别在于有限单元法并非全域插值，而是在单元求解区域上插值，进而通过单元叠加形成全域求解方程，因而可以用来处理很复杂的连续介质问题2。,60年代，我国学者冯康独立于西方给出了基于分片插值和变分方法的偏微分方程的数值解法，可以看作最早给出的二维有限元收敛性的证明，从而奠定了有限元方法的数学理论基础3 。,2 OC Zienkiewicz. The birth of the finite
5、element method and computational mechanics J.International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 60: 3-10 3李开泰, 黄艾香, 黄庆怀. 有限元方法及其应用M. 西安: 西安交通大学出版社, 1992,要求能量/势能泛函存在，限制了其应用。,Institute of Mechanical Engineering and Automation,1 引言,2018/3/4,6,工程计算领域 Zienkiewicz，Cheung，Bathe，Cook等进一步拓展了有限
6、元方法，利用Galerkin变分原理，求解只知道物理问题的本构关系，即偏微分方程(Partial Different Equations, PDEs)/控制方程(Governing Equations) 和边界条件，但是变分的势能泛函尚未找到或者根本不存在的情况，使得FEM可应用于几乎所有学科中的PDEs求解 ，真正成为一种计算工具。,Zienkiewicz (1921- )是需要特别提到的一位学者，他是英国威尔士(Wales)大学土木工程学院教授，担任联合国教科文组织工程数值计算委员会主席，他在工程FEM计算方面作出了卓越贡献，这些贡献主要体现在他的600多篇论文与25部专著中。1968年创
7、办FEM主流杂志International Journal for Numerical Methods in Engineering，有力地推动了有限元在工程计算中的应用。,1 引言,2018/3/4,不同领域交叉研究 通过众多学者几十年的研究，数学领域和工程计算领域已经密不可分，在不断修正认识上错误的前提下打下有限元坚实的理论基础。Ritz变分形式(对应于最小位能原理)和Galerkin 变分形式(对应于虚功原理)二者实际上相互等价。现在一般统一称为Ritz- Galerkin变分原理或Galerkin变分原理。有限元分析领域大师级人物如： Zienkiewicz， Bathe等具有十分深厚
8、的数学功底，他们的研究亦涉及到误差估计理论、解的收敛性等研究。,国内长期从事FEM研究的有钱令希、钟万勰、石钟慈 、程耿东 、龙驭球等。主要从事FEM方法改进研究。,Institute of Mechanical Engineering and Automation,1 引言,2018/3/4,FEM相关主流期刊,应用/计算数学领域,SIAM Journal of Numerical Analysis/SIAM 数值分析 SIAM Journal on Scientific Computing /SIAM科学计算Computing/计算Computers and Mathematics wit
9、h Applications/计算机和数学及应用 Applied Mathematics and Computation/应用数学与计算 Journal of Computational and Applied Mathematics /计算与应用数学计算数学应用数学与力学,Institute of Mechanical Engineering and Automation,1 引言,2018/3/4,FEM相关主流期刊,Computer Modeling in Engineering and Sciences/工程和科学中的计算机模型International Journal for Num
10、erical Methods in Engineering/工程中的数值方法Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering/应用力学和工程中的计算方法Computational Mechanics/计算力学Computers & Structures/计算机与结构Finite Elements in Analysis and Design/有限元分析与设计ASCE Journal of Engineering Mechanics/ASCE工程力学计算力学学报各学科专业期刊(侧重于用FEM作为工具获得分析结果),工程计算领域,Insti
11、tute of Mechanical Engineering and Automation,1 引言,且， 应满足边界条件：,表示对独立变量 (时间，空间) 的微分算子,2 加权余量法,连续介质问题微分方程的一般表示,注：若,表示线性微分算子，,即指：方程中未知函数 及其各阶导数,都是一次的，这种方程,称为线性微分方程。,2 加权余量法,方程的分类：,1）稳态问题（平衡问题边值问题）,与时间无关,场函数解,2 加权余量法,2）瞬态问题（传播问题，初边值问题）,、 可以理解为时空域，t 为开域 ( 0 , ),t = 0 时可称为初值条件,2 加权余量法,3）特征值问题,齐次方程,2 加权余量法
12、,2 加权余量法,微分方程的等效积分形式,因此有：,同样，在边界上：,结合（3）式和（4）式：,2 加权余量法,对任意 上述积分式均成立，则表明积分形式与微分方程的定解问题等价。,2 加权余量法,即（5）式是等效于满足微分方程（1）和边界条件（2）的积分形式。 当然（5）必须是可积的。,2 加权余量法,(I) 对 和 的限制：单值，可积(有限) in , on .,(II) 对于 则取决于：,取决于 算子中微分的阶数2m ,则要求 具有2m-1 阶连续性，或 连续。(可积性),2 加权余量法,图1： 为一个连续函数，,图2：在x方向有一个一阶不连续点，但一阶导可积。,图3：二阶导数趋于无穷，使
13、积分不能进行。,2 加权余量法,例：,21/35,2 加权余量法,目的：降低对未知函数的连续性的要求,形式：对等效积分形式中 进行m次分部积分。,可得：,（6）,此时 均为m阶微分算子。,分部积分公式:,2 加权余量法,微分方程的等效积分弱形式,意义：,1) 降低了对 的连续性的要求。,2) 对连续介质问题，便于有限元构造单元和插值函数,且可得到对称的系统矩阵,3) 代价是提高对任意函数 和 的连续性要求。,2 加权余量法,4) 在物理上更符合实际问题对连续性的要求,24/35,2 加权余量法,例： 简支梁弯曲问题,上面微分方程的等效积分形式,等效积分弱形式：,对等效积分形式要求在域内，w 三
14、阶导数连续，很难实现。,如果采用对等效积分弱形式要求在域内，则w 一阶导数连续即可。,2 加权余量法,26/35,边界条件的处理：一般边界条件有三种形式1）基本边界条件 边界上函数的导数值已知2）自然边界条件 边界上函数值已知3）混合边界条件 柯西边界条件 对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于基本边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。,2 加权余量法,自然边界条件线性微分算子。,设：定解问题,线性微分算子。,基本边界条件线性微分算子。,加权余量法,基本思想：基于等效积分的近似方法。,2 加权余量法,加权余量法步骤,3）完备性。n 时 , ,1
15、.构造近似解,未知待定系数， 形函数，且应满足：,1）一定的连续条件,2）线性独立。N1 Nn,2 加权余量法,当 n 有限时，方程存在偏差（余量）,2 加权余量法,2. 加权意义上为零，形成求解方程组 （等效积分的弱解形式）,即：,或：,为权函数, (预先设定) 线性无关。,作用：强迫余量在某种平均意义上为零。,2 加权余量法,取 (j=1,2,n),2 加权余量法,3. 加权余量法的关键(两种函数的选择),1）与等效积分形式不同：一个是精确解，,而加权余量法得到的为是近似解。,a) 近似表达式为有限项。,b) 对某些特定的权函数。(非任意),2 加权余量法,2）试函数：如能满足一定的域内条
16、件或边界条件， 使问题简化，且有一定的精确度。,3）权函数：不同的权函数，涉及不同的计算格式。,例如：,2 加权余量法,4)若 和 取特定函数， 则为加权余量法的不同格式。,注：分部积分法,2 加权余量法,采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱”形式。来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。它是求微分方程近似解的一种有效方法。,注：权函数：不同权函数的选择涉及不同的计算格式。,2 加权余量法,加权余量法的几种基本方法,（1）.配点法,取：,则有：,注：Dirac 函数,为了讨论方便，不失一般性，认为 以满足边界条件，仅剩域内积分； 为线性微分算子。,2 加权余量法,所以上式可表示为：,2
17、加权余量法,矩阵式：,或：,其中：,这种方法相当于简单地强迫若干个在域内的点上余量等于零。说明：Aij非对称，不用求积分。,2 加权余量法,（2）子域法,在n个子域内权函数为wj=I,2 加权余量法,在子域外权函数为wj=0.,此方法的实质是强迫余量在n个子域的积分为零,即：,试取权函数,3.最小二乘法,最小二乘法是加权余量法的一种。标准最小二乘法是：要使域内每一点的残数（或误差）的平方和最小，或平方的积分最小。,2 加权余量法,对上式求偏导：,上式展开的矩阵形式：,其中： ，,可见，矩阵对称，但需要数值积分。,2 加权余量法,4.Galerkin（伽辽金）法,非对称、系数矩阵含积分运算。,2
18、 加权余量法,说明：, 如果要形成有限元格式，则希望得到对称 系数矩阵，同时希望积分中的微分阶数降低。, Galerkin加权余量法（见后）,2 加权余量法,对Galerkin法,运用格林公式：,2 加权余量法,如果 L为二阶微分算子，则C、D均为一阶。,如果 L为四阶微分算子，则C、D均为二阶。,如果 L为自伴随算子，第一项将得到对称系数矩阵。,2 加权余量法,2 加权余量法,46/35,基本方法举例,例：求解二阶常微分方程,边界条件,取近似解,余量的加权积分为零,47/35,2 加权余量法,一项近似解：n=1,两项近似解：n=2,代入式，余量为,近似解可取式中的一项、两项或n项，项目取得越
19、多，计算精度就越高。为方便起见我们只讨论一项和两项近似解,余量为,2 加权余量法,48/35,(1)配点法,所以一项近似解为,一项近似解：取x=1/2作为配点,49/35,2 加权余量法,解得,所以两项近似解为,两项近似解：取三分点x=1/3及x=23作为配点，得到,2 加权余量法,50/35,(2)子域法,所以一项近似解为,51/35,2 加权余量法,两项近似解：,取：,解得,两项近似解为：,由式得到,2 加权余量法,52/35,(3)最小二乘法,选择近似解的待定系数ai,使余量在全域的积分值I达到极小。为此必须有,由此得到n个方程，用以求解n个待定参数ai.将式与式比较可知，最小二乘法的权
20、函数选择为,用式对ai求导数得到,将余量的二次方R2在域中积分,53/35,2 加权余量法,一项近似解,代入得到,一项近似解为：,积分后得,2 加权余量法,54/35,两项近似解,代入得到二个方程,两项近似解为：,解得,2 加权余量法,55/35,(4)力矩法,此结果与子域法的结果相同,一项近似解为：,求得：,一项近似解：取w1=1,由式得到,56/35,2 加权余量法,两项近似解：取w1=1, w2=x由式得到,解得,两项近似解为：,2 加权余量法,57/35,(5)伽辽金法,取近似函数作为权函数,一项近似解：,一项近似解为：,积分后得到,取权函数,由式得到,58/35,2 加权余量法,两项
21、近似解：,取权函数,代入式得到,解得,两项近似解为：,2 加权余量法,如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：,不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解；,还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法Ritz法。,线性、自伴随微分算子,3 变分原理和里兹法,为微分算子,线性、自伴随微分方程的定义：,3 变分原理和里兹法,对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：,边界项,3 变分原理和里兹法,泛函的构造,Galerkin（伽辽金）格式,因为算子是线性、自伴随的，所以：,3 变分原理和里兹法,3 变分原理和里兹法,整理得到：,微分方程的等效积分形式：,3 变分原理和
22、里兹法,某些问题的物理本质往往能够以变分原理的形式直接叙述出来。,例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。,自然变分原理,3 变分原理和里兹法,对这类问题：,是未知场函数，,为特定算子。,包含 及 的1至m阶导数。,连续介质问题的解： 使泛函取极值（或驻值）。,存在泛函 是一个标量,3 变分原理和里兹法,例：最小位能原理,3 变分原理和里兹法,其中：,近似解：,3 变分原理和里兹法,其中：,待定参数向量（未知）,试探函数矩阵（事先选定）,对三维问题 ：,3 变分原理和里兹法,泛函：,变分：,相互独立，,3 变分原理和里兹法,Ritz（里兹）法基于变分原理的
23、近似解法,由： 得到矩阵形式其中共有 3n 个方程，若 为完备的函数系列则， 时， 收敛于精确解，若 n 为有限项，则 为近似解。上述方法为Ritz法,3 变分原理和里兹法,2）将 代入,1）假设近似解：,为待定参数， 满足强制边界条件。,泛函 的极值问题（求函数u），转化为求多元（ ）函数的极值问题。,3 变分原理和里兹法,1 Ritz法求解步骤,3）求解线性代数方程组,u的近似解,3 变分原理和里兹法,2.解的收敛性,1）连续性要求 满足 阶连续性,2）完备性要求 取自完备的函数序列,3 变分原理和里兹法,3.特点,1) 近似解对全域而言,2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的 精
24、度与试探函数的选择有密切关系。,3) 待定系数任意，不表示特定的物理意义。,4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的 试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。,3 变分原理和里兹法,4.讨论：,1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性 自伴随微分方程。2）收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。3）事先满足强制边界条件，则解有明确的上 下界性质。如不事先满足，需要进行处理 （约束变分原理）。,3 变分原理和里兹法,78/35,4 弹性力学的基本方程和变分原理,平衡微分方程，,几何方程，,弹性力学的基本方程,物理方程：（1）应变用应力表示，,（2）应力用应变表示，,。,4 弹性力学的基本方程和变
25、分原理,应力边界条件，,（在 上 ）,位移边界条件，,（在 上 ）,4 弹性力学的基本方程和变分原理,81/35,弹性力学的基本方程的矩阵表示,4 弹性力学的基本方程和变分原理,平衡方程：,几何方程：,物理方程：（1）应变用应力表示,（2）应力用应变表示,82/35,应力边界条件：,位移边界条件：,弹性体的应变能和余能：,4 弹性力学的基本方程和变分原理,83/35,弹性力学的基本方程的张量表示,4 弹性力学的基本方程和变分原理,平衡方程：,几何方程：,物理方程：（1）应变用应力表示,（2）应力用应变表示,84/35,应力边界条件：,位移边界条件：,弹性体的应变能和余能：,4 弹性力学的基本方
26、程和变分原理,在FEM中，将连续体变换为离散化结构之后，可应用变分原理导出FEM公式：,4 弹性力学的基本方程和变分原理,应用变分原理导出有限单元法基本方程,（2）建立单元的位移模式，求出单元中的 位移分布，,（1）取结点位移为基本未知数；,（3）由几何方程求出单元的应变，,（4）由物理方程求出单元的应力，,4 弹性力学的基本方程和变分原理,（5）变分原理中的极小势能原理是,对于平面问题，,4 弹性力学的基本方程和变分原理,对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于0，即,4 弹性力学的基本方程和变分原理,变分宗量由 变换成,（6）将经典变分原理应用到离散化结构
27、，则,总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示,4 弹性力学的基本方程和变分原理,其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为,4 弹性力学的基本方程和变分原理,外力势能为,总势能为,其中 为三角形单元的受面力边界。引用前面记号,4 弹性力学的基本方程和变分原理,故总势能极小值条件 变换为,（7）对于离散化结构，泛函数 的宗量变 换为,则式(n) 成为,引用矩阵运算公式，,4 弹性力学的基本方程和变分原理,其中,4 弹性力学的基本方程和变分原理,代入式(o) ，得出：,从物理意义上讲，将连续体的经典变分原 理(g) 或 (i) 应用到离散化结构，成为式(p) 。,4 弹性力
28、学的基本方程和变分原理,有限单元法的理论基础 加权余量法和变分原理,本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Galerkin法的特点。,5 小结,线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。 经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性,5 小结,两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。 从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件,5 小结,等效积分形式 等效积分“
29、弱”形式,泛函和变分原理 强制边界条件,关键概念,加权余量法 Galerkin方法 线性自伴随算子,自然边界条件 泛函的驻值和极值,Ritz方法 虚位移原理 虚应力原理,最小位能原理 最小余能原理,5 小结,1.已知一个数学微分方程,如何建立它的等效积分形式? 如何证明二者是等效的?,复习题,3.不同形式的加权余量法之间的区别何在?除书中已列举的几种方法外,你还能提出其它形式的加权余量法吗? 如能,分析新方法有什么特点.,2.等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在? 为什么后者在数值分析中得到更多的应用?,4.什么是加权余量法的Galerkin方法,它有什么特点,5.如何识别一个微分算子是
30、线性自伴随的?识别它 的意义何在?,6.如何建立与自伴随微分方程相等效的泛函和变分 原理?如何证明它的加权余量的Galerkin方法之间 的等效性?,7.自然边界条件和强制边界条件的区别何在? 为什么这样命名?对于一个给定的微分方程, 如何区分这两类边界条件?,8.泛函在什么条件下具有极值性?了解泛函是否具有 极值性的意义何在?,9.什么是Ritz方法?通过它建立的求解方法有什么特 点? Ritz方法收敛性的定义是什么? 收敛条件是什么?,10.Ritz方法的优缺点是什么? 你能举例加以说明吗?,11.虚功原理有哪两种不同形式? 各和弹性力学 什么方程相等效?你能准确地表述它们吗?,12.什么是最小位能原理,它是如何导出的?场函数 是什么? 它事先应满足什么条件?对场函数的试 探函数有什么要求?,13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程, 解的收敛性和极值性的条件是什么?,14.什么是最小余能原理?它是如何导出的?场函数 是什么? 它事先应满足什么条件? 对场函数的试 探函数有什么要求?,104/35,谢谢且听下回分解2011-10-20,
