1、第三章 复变函数的积分1. 复积分的概念一. 复积分的定义与计算设 C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线 , 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向( 或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向, 那么 B到 A 就是曲线 C 的负向,定义： 设 C 为 z 平面上一条以 A 为起点，以 B为终点的简单光滑曲线，复变函数在 C 上有定义.在曲线 C 上任yxviyxuzf ,取 将 C 分为 n 个小弧段， （BzAn,10， ）在每个小弧段kkkyixz kkkk yixz1上任取一点 ，作和式kkki,zfS
2、nkk1设 若当 时，该式的极限存在，,maxkz0且与小弧段的分法及 的取法无关，则称此极限k值为复变函数 在 C 上从 Ayxviyxuzf ,.一到 B 的 复积分 ，记作 ；若曲线方向改为由cdzfB 到 A,则积分记作 ；当 C 为简单闭曲线cf时，则此积分记作 .（规定逆时针方向为 Ccdzf的正向）定理 1 设 在光滑曲线 Cyxviyxuzf ,上连续，则积分 存在，且为cdzf., ccc dyxudyxvi yvuzf（注：上式在形式上可看做函数 与微分vizf相乘后得到的，这样便于记忆）yixdz特别地，若 C 的参数方程为： tyitxtz（ ） ，则有BbzAaz,
3、., , , ,dtztf dtyitxtytxvitytxu tdttutdttvi tyttxvtxtytxu dyxudidyvddzfbabababa ccc 例 1 计算 ，其中 C 是如图所示：dzcx01i 1c2c3c（1）从点 1 到点 i 的直线段 ；1c（2）从点 1 到点 0 的直线段 ，再从点 0 到点2的直线段 i 的直线段 所连接成的折线段3c= + .c23c例 2 计算 ，其中 n 为任何整数，C 为cnzd0y以 为中心，r 为半径的圆周.0z例 3 计算 其中 C 为从原点到点 3+4i 的直线czd段.二. 复积分的基本性质(1) ； ccc dzgdz
4、fdzgzf(2) ；cc fkkf(3) ;cc dzfdzf(4) , 其中 ；21 ccc dzfff 21C(5) .（积分估值） cc MLdszfdzf例 4 设 C 为从原点到点 3+4i 的直线段，试求积分 模的一个上界。cizd例 5 试证： .01230 dzrzrlim2. 柯西积分定理定理 2 （柯西定理）设函数 在单连通域 Dzf内解析，则 在 D 内任一简单闭曲zf线 C 上的积分一定为零，即.0cdzf注：当积分曲线 C 为一般闭曲线时结论依然成立.定理 3 设函数 在单连通域 D 内解析，zf10z一为 D 内任意两点， 为连接 的10C一 10z一且完全含于
5、D 内的两条简单曲线，则.10 cc dzfdzf例 6 计算积分 其中 C 是圆周czsin 1z的上半圆周从 0 到 2.例 7定理 4 （闭路变形原理）设 是两条简单21C一闭曲线， 含于 的内部. 在2C1zf21C一所围成的二连通域内解析，且在闭域上连续，则21D.21 CCdzfdzf.d)1( 212iz zz一其中 均按逆时针方向取向.21,C推论（复合闭路定理）设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线， 是在 C 内部n,21的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，且以 为边界的区域全部含于nCC,21D.如果 在 D 内解析，则有zf，kCnkC dzfdf1其中 均按左手
6、法则取正向.n,21例 8 计算 其中 C 为包含 0 与 1 的dzzc21简单闭曲线.定义： 若函数 在单连通域 D 内解析， zf 0z为 D 内任意定点， 为 D 内任意动点，zC 为以 为起点，以 为终点，且全部0z含于 D 内的简单曲线，由积分所确定的复变函数 称为zdzf0 zF在单连通域 D 内以 为起点的变上f 0z限积分（或不定积分） ，即.zdfF0定理 5 若函数 在单连通域 D 内解析，那么，zf变上限积分所确定的函数 zdfF0也在 D 内解析，且 .zfzF定义： 设在单连通域 D 内，若函数 恒满zF足 ，则称 是 的一个zfzF zFf不定积分或原函数.定理
7、6 （复积分的牛顿莱布尼兹公式）设函数 在单连通域 D 内解析， zf zG是 的一个原函数，则f，0110 zGzdzfz 其中 为 D 内的点.10,z例 8 计算积分 均为有限复b,a;,n,dzba 210数.例 9 计算 其中 C 是从-i 到 i 的直线段.dzlnc13. 柯西积分公式问题: 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.定理 7 （柯西积分公式） 设函数 在简单闭zf曲线 C 所围成的区域内解析，在 上CD连续， 为 D 内任意一点，则z.Cdzfizf 21关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 C 内部任一点的值用它在边界上的值
8、表示. (这是解析函数的又一特征 ). , 0一一一一 BzB .)( , )( 00一一一一一一 zzfzf ,d)( 0Czz一一(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具)(3) 在复积分中，称 为柯西积分.Cdzfi21推论 1 （平均值公式）设函数 在圆域zf内解析，在圆周 上连Rz0 Rz0续，则.2000 Re1dzfzf i即 在圆心的值等于它在圆周上的算术平均zf值.推论 2 设函数 在简单闭曲线 所围成的zf 21,C二连域 D 内解析，并在 上连续，在 的内部， 为 D 内任意一点，则2
9、C1z. 21 12CC dzfidzfizf 其中 均取逆时针方向.21,例 10 求下列积分的值:(1) (2) 2zdzsin229z dziz例 11 计算积分 其中 C 为不经czdei12过 0 及 1 点的简单闭曲线.例 12定理 8（最大模原理）设函数 在区域 D 内解zf析，又 在区域 D 内不为常数，则在zfD 内, 没有最大值.推论 1 在区域 D 内解析的函数，若其模在 D 的内点达到最大值，则此函数必为常数.推论 2 若函数 在区域 D 内解析，在 上连续，zf D则 必在 D 的边界上达到最大值.最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模.这
10、也是解析函数所特有的性质.例 13 设函数 f(z)在全平面解析，又对任意 r0,令.d)cos(in ,d0s1 ezez一一求证：M (r)是 r 的单调.zfmaxrMrz上升函数.4. 解析函数的高阶导数定理 9 设函数 在简单闭曲线 C 所围成的zf区域 D 内解析，在 上连续，D则 的各阶导函数均在 D 内解析，zf且对为 D 内任意一点 ，有z Cnn dzfizf 12!说明: 定理 9 的作用通常不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来计算某种类型的积分.例 14 求下列积分的值:(1) , (2) 13iz dzicos 4221zzde例 15 定理 10 （柯西不等式）设函数 在圆域zf内解析，又Rz0 M，则有不等式0) (.d 1一一 nzezn ,21!0 nRMzfn恒成立.在整个复平面解析的函数称为整函数，根据柯西不等式可以得到一个关于整函数的结论.刘维尔定理 有界整函数必为常数.例 16（代数学基本原理）在 z 平面上，n 次多项式 nnnn azazazazp 110 至少有一个零点.
