1、（说明：有些因为符号太多，不方便打出公式，不会的同学可以单独联系我辅导，答案中有些重点知识已经做出说明，请同学们掌握相关的方法，不要单纯背题）第一部分数理逻辑1 命题符号化1.1 设 p:天气很热,q:湿度很小 ,则命题“天气炎热但湿度很小 ”的符号化形式为qp1.2 令 天下雪， 我去市里， 我有时间，则命题“如果天不下雪，我有时间，:P:Q:R那么我就去市里”符号化为。 qrp1.3 设 p:小王走路,q:小王听音乐,则命题“小王边走路边听音乐”的符号化形式为qp1.4 设 T(x):x是火车，C(y):y 是卡车， H(x,y): x 比 y快，在谓词逻辑中，命题“所有火车都比某些卡车快
2、”的符号化形式为 ),()()(HCxT2 真值表2.1 的成假赋值为_110_ RQP的成假赋值为RQP_001_。2.2 个命题变项的公式 最多有_2 个极小项。熟悉极小项与极大项的性)1(nA质2.3 使命题公式 的类型是_(3)_。()P(1) 重言式; (2) 矛盾式; (3) 可满足式; (4) 不属于(1)、(2)、(3)任何类型。2.4 一价逻辑公式 的类型是_(1)_。()()xAx(1) 重言式; (2) 矛盾式; (3) 可满足式; (4) 不属于(1)、(2)、(3)任何类型。2.5 的类型是_(1)_。()P(1)重言式 ； (2) 矛盾式 ；(3) 可满足式 ； (
3、4) 不属于 (1),(2),(3) 任 何 类 型。从此处开始往下的知识要求融会贯通2.6 公式 的主析取范式中包含小项_A_。)()(RPQA. ;B. C; D 。RQPRQPR2.7 使命题公式 为假的真值指派是 (1) 。)(1) (0,0,0); (2) (1,0,1); (3) 1,1,0); (4) (1,0,0).2.8 试给出命题公式 的真值表并判别公式的类型。试判断命()()PR题公式 的类型(重言式、矛盾式或可满足式)。Q3 逻辑连接词的最小连接词完备集：将公式 )pqr用只含 ,的等价式表示4 范式：4.1 含有三个命题变项 的公式 的主析取范式为RP,。(主要掌握方
4、法)4.2 命题公式 的主合取范式为_()(Q4.3 下列含有命题 p，q，r 的公式中，是主析取范式的是（ ）4.4 下列式子正确的是（ ）4.5 用等价演算法求命题公式 的主合取范式和成真指派。PRQP)(4.6 求出命题 的主合取范式（可以使用真值表或等价推理） ，再用主合()pqr取范式求出主析取范式（要求写出具体的表示） 。用真值表法判断命题公式和 是否等价,并说明两个公式的类型。)()(RP)(5 命题的自然推理系统5.1 用“假设前件为真，推证后件也为真或者假设后件为假，推证前件也为假”的方法证明蕴含式 ()pq（了解性质）5.2 证明 QPW,U,SR,)QP( （掌握自然推理
5、系统，是重点）5.3 构造下面的推理证明前提: 结论: （掌握自然推RQP,),(理系统，是重点）6 谓词逻辑部分6.1 。()xA)(x6.2 对公式 )y,x(Pz,yQ,P(y) x 是约束出现，y 是约束出现，z是自由出现（ ）6.3 对公式 ),(),(),x()( 的说法正确的是（ B ）A.x 是约束出现，y 是约束出现， z 是自由出现B.x 是约束出现，y 既是约束出现又是自由出现， z 是自由出现C.x 是约束出现，y 既是约束出现又是自由出现， z 是约束出现D.x 是约束出现，y 是约束出现， z 是约束出现6.46.8 要求掌握前束范式的求解和量词消去方法，很重要6.
6、4 求谓词公式 的前束范式),(),(),( zyxHyxGyxF6.5 求出 RzQP,的前束范式6.6 个体域 D=-2,3,6,一元谓词 P(x)： Q(x)： R(x)： 1x,3x,5xa：6，试求公式 的真值。)()(aRxPx6.7 设个体域是整数集合,命题 的真值为 (8)yx6.8 在论域 D=a,b中与公式（ ）A（x）等价的不含存在量词的公式是（ ）A. )b(Aa B. )b(aC. )b(aD. )a(A第二部分：集合论(1-3.3 课堂已讲，不再重复)1 幂集：1.1 集合 的全体子集构成的集合为 的_ 。AA1.2 集合 ,cba则 )(P 。1.3 集合 则 。
7、2 集合的运算2.1 A,B 为集合 ,命题 的真值为BA2.2 对任意集合有(A-B)-C=A-(BC)。 （ ）2.3 集合 , 则 _。432,1A,86BAB1,3; (2) 2,4,6; (3) 1,3,6,8; (4) 1,2,3,4,6,8。2.4 对于任意集合 X,Y,Z，则（ ） A. XY=XZ=Y=Z B. XY=X Z=Y=Z C. XY=XZ=Y=Z D. XY=X Z=Y=Z 2.5 集合 , 则 _。432,1A,86BBAA.1,3; B. 2,4,6; C. 1,3,6,8; D.1,2,3,4,6,8。2.6 是集合 A 的元素，下列命题_为真。A. B.
8、C. D. 。;2.7 则 为_。,B)(P(1) ; (2) ; (3) ; (4) 。, ,2.8 已知 为集合，若 试证 。CA, CABB2.9 下列命题正确的是（ ）2 7.以下系统是代数系统的是（ ）2.1 在 1200 的整数中（包括 1 和 200） ，分别求满足以下条件的整数个数1）可以被 3 和 5 整除但不能被 7 整除。2）只被 5，3 和 7 中的一个整数整除。2.2 设 A=a,b,求出 ()AP。 （4 分）3 集合上的笛卡尔积以及关系3.1 设 ,321， cbaB, ，R 是定义在 A 到 B 的二元关系，定义为 baaR ,4,32, 写出 R 的关系矩阵。
9、3.2 设 则上 的 二 元 关 系 ,c, baAcb)(r= t 3.3 设 ；s(R)= R,R,a 则上 的 二 元 关 系 。3.4 A,B 为集合 ,且 ,nBmA则 A到 间的笛卡尔积共有几个(mn)，A 到 B 的函数有多少个 nm，A 到 B 的关系有多少个 2mn？A 上的关系有多少 znn，A 上的函数有多少个 mm，A 上的等价关系有多少个 (第二类斯特灵数，不要求 )？给出一个关系矩阵，问有多少个自反关系 2n(n-1)，对称关系 2n(n+1)？A 的幂集的元素有多少个 2n？3.5 偏序关系具有关系的哪三个性质。等价关系呢？等价类的定义要熟悉。3.6 集合a,b,
10、c上共有_3_个等价关系。(1) 3 ； (2) 4 ； (3) 5 ； (4) 6.3.7 偏序关系具有性质（ d ）A.自反、对称、传递 C.反自反、对称、传递B.自反、反对称 D.自反、反对称、传递3.8 集合 , 是 上的一个二元关系，下列命题321A,yxRA_d_为真。A. 不是自反的; B. 不是对称的 ; RC. 不是传递的; D. 不是反自反的。3.9 则 为_1_。,32,1,32,1, GF FG(1) (2);3,1;,(3) ; (4) 。2, 3213.10 已知 4,3A,4,2,43,4,2R(1) 写出 的关矩阵；(2) 画出 的关系图；(3) 求 和 。)(
11、,srt3.11 已知集合 ,叙述 上等价关系 的等价类的定义。AR3.12 集合 , 上的关系dcba试说明 是, dacbaR R否为等价关系。设集合， ，上的二元关系，其中, ，说明是否上的等价关系。解: R 是一个等价关系，因为, R，是自反的。, ，R 是对称的上题和答案实际上是一样的3.13 已知集合 上的二元关系,321A。,Ra) 求 的集合表达式; 2) 画出 的关系图。32, 2R3.14 已知 4,321A1,42,3,43,4,2R(1) 写出 的关矩阵；(2) 画出 的关系图；(3) 求 )(,Rsr和 t。3.15 设为一个偏序集，其中，A=1 ，2，3，4，6，9
12、， 24，54，R 是 A 上的整除关系。定义 ,| xyAyxy整 除 。（1）求出集合 A 上的盖住关系 COV(等价关系与偏序关系是重点 )COVA=,哈斯图自己画（2）画出 R 的哈斯图；3.图 ，其中 ，EVD, ,edcba ,bedacbaE1)试画出图 ; 2)试求 的邻接矩阵 ; 3) 是否为欧拉图。D)(AD4 函数4.1 函数 ),ln(,:xfRZf是单射，双射，还是满射？。4.2 设函数 其中 为实数集合，命题_3_为真。(1) 是单射的; (2) 是满射的; xf)( xf)(3) 是双射的; (4) (1)、(2)、(3)都不真。第三部分 代数系统1. 代数系统
13、12,N有一个单位元,它是 1。代数系统 5,N有一个零元,它是 0 , 为非空有限集合, 是 的幂集,则代数系统 有一个单位元,它是 S 。S)(SP)(SP2. 是 实 数 上 的 普 通 乘 法,0R，则 ,0R是否是阿贝尔群 是 。3. 设 是实数集， 定义二元运算 为 ，若 的单位元是 0，,Rbaaba且 则 的逆元是 -a/(a+1) 。a,174. 若群 G 中存在一个元素 a，使得 G 中的任意元素都由 a 的幂组成，则称 G 是 循环群 ，a 称为 G 的生成元。5. 设 ,是 群a,bG，则（a -1） -1= a ， （a b） -1= b-1 *a-1 。6. 判断：
14、设 ,*S是独异点，对于任意 S,，且 ,均有逆元，则有11b)a(。错7. 设 R 为实数集，定义*运算如下： a*b=|a+b+ab|，则*运算满足（B ） A.结合律 B.交换律 C.有幺元 D.幂等律8. 若 ,是环，且 R 中乘法适合消去律，则 R 是（ A ）A.无零因子环 B.除环C.整环 D.域9. 为代数系统，若 是交换群， 是,A,A, 半群，又 对 满足分配律_，则 是环。 10. 以下系统是代数系统的是（B ）A.，其中 Z+是正整数集，-是数的减法运算B.，其中 A=a,b，*运算定义为C. ，其中 Z 为整数集， 是数的除法运算D. ，其中 R 为实数集，是数的除法
15、运算11. 下列运算中, _4_是 上的二元运算。432,1SS(1) (2) ;yx;yx(3) (4) 。)5(mod12. 已知群 为单位元, 且 。试给出acbG,bcb11, bc,的运算表。13. .已知 为代数系统，其中 ， 为模 6 加法，试证明6,Z5,432,06Z为群，并写出它的每个子群。( 的相关例题好好复习)6, 114. 证明 ,0R同构于 ,R设 21N,和 6,是群， f是从12N,到 6的一个同态映射，定义为0,3k423f,kf3f * a baba aa b8（1）试求同态像 分2Nf612,，求 f 的同态核 Ker(f) （2）证明 是群15. 阐述拉
16、格朗氏定理16. ,*,HK和 都 是 群 的 子 群 。 （课本）证明： ,也 是 的 子 群 。17. 证明 10 阶群必有 5 阶子群。 （7 分） （课本）图论题目练习：1. 一个无向简单图 G如果同构于它的补图,则称 G为自补图.5 阶非同构的自补图有 2 个。2. 在一个无向图 E,V中，写出节点度数的总和Vv)(deg与边数|E|的关系( 握手定理)，若一个连通的平面图，有 6 个节点，12 条边，则该平面图有 8 个面。复习时注意欧拉公式的使用 n-m+r=23. 图 如下图所示则 G 的各点度数为 5,2,4,1,2 。4. 图 是树的充分必要条件为 是连通的,且 n-),(
17、,mEnV Gm1 。5. 无向图 为欧拉图的充分必要条件是 连通且 中无 奇数度 顶点。6. 数组 2,3,3,4 能构成无向简单图的度数序列,此命题的真值为 假 。7. 在无向完全图 中，它是欧拉图，则 为_奇数_ 。)2(nKn8. 1，1，1，2，3 能否构成无向图的顶点度数列_能。度数为 0 顶点称为孤立点。由 0 个或多个组成孤立点组成的图叫做_零图_，由_1_个孤立点组成的图叫做平凡图。9. 在图 中，写出所有节点度数的和 与图中的边数|E|之间的关系等式E,VGVv)(deg。|)v(degv10. 给出欧拉回路的定义_。11. 给出哈密尔回路的定义_。以下是三道判断题：1v2
18、3v45912. 一棵最小生成树的补是指它的补图。 （ 错 ）13. 一个连通图 G，无回路，但是任意删除一条新边后，图不连通，则图 G是一棵树。( 是 )14. 在完全二部图 nmK,中，当 m=n 时， nmK,是一个 hamilton 图。 （是 ）15. 二部图 是_D_ 。2,3A. 欧拉图; B. 哈密顿图;C. 非平面图 ;D.平面图 。16. G 是有 n 个结点，m 条边的连通图，要确定 G 的一棵生成树，必须删除 G 的_C_ 条边。A. ; B. ; C. ; D. 11n1m17. 无向完全图 其中 则图 G 的边数为 4 。,EV,E(1) ;(2) ; (3) ;
19、(4) 2)(m).()(2)(n。18. 5 阶有向完全图的边数为_2_。(1) 5; (2) 10; (3) 15; (4)20。19. 5 阶非同构的无向树共有_4_棵。(1) 3; (2) 4; (3) 5; (4) 6。20. 一无向图有四个结点,其中三个度数为 2,3,3,则第四个结点的度数不可能是_2_。(1) 0 ； (2) 1 ； (3) 2 ； (4) 4。 21. 图 ，其中 ，EVD, ,edcba ,bedacbaE1)试画出图 ; 2)试求 的邻接矩阵 ; 3) 是否为欧拉图。(认真复习邻接矩阵和可达)(DA矩阵)2. 图 ，其中 ，, ,dcbaE=,，试求 的邻
20、接矩阵 。D)(A22. 给出一个具有 5 个节点的自补图（2 个，必须掌握）23. 证明一个自补图 对应的完全图 的边数为偶数。nGnK|)E(|)(|n|)E(G|)(|)(n24. （掌握方法，不要死记题目，图形会相应改变的）矩阵的表示方法有邻接矩阵 A，可达性10矩阵 PV1 V4V2 V3e1e2e4e3 e5i. 写出图的邻接矩阵表示。多用计算 的方法求解 v1 到 v4, v4 到 v1 的长432A,度为 3 的通路各为多少条？ii. 写出可达矩阵25. .叙述欧拉图和哈密顿图的定义26. 求带权 2，3，5，4，9 的最优二叉树 T，求出树的权，最小生成树。这两个算法和编码方
21、法必须掌握27. 在具有 n 个顶点的完全图 Kn 中删去多少条边才能得到树？解：n 个顶点的完全图 Kn 中共有 n（n-1 ）/2 条边，n 个顶点的树应有 n-1 条边，于是，删去的边有：n（n-1）/2-（n-1 ）=（n-1）（n-2）/228. 一棵树有两个节点度数为 2，一个节点度数为 3，三个节点度数为 4，问它有几个度数为1 的节点？解：我们知道一个有限图中，各点的度数总和是边数的 2 倍；而树中的边数为点数减 1。根据这两点，可知树中各点的度数总和=2*（树中点数-1） ，设树叶有 x 个，于是，2*2+3+3*4+x=2*（2+1+3+x-1）得，x=9。上例可推广为“一
22、棵树有 n2 个节点度数为 2，n 3 个节点度数为 3，n k 个节点度数为k，问它有几个度数为 1 的节点？”请同学们思考。29. 利用 Kruskal 算法求一棵最小生成树。解：按照 Kruskal 给出的在权图中求最优支撑树的算法，可生成下面的最优支撑树：（权和为11）生成的结果不唯一，又如：（权和为 11）也是最优支撑树。A 3 B 2 C1 1 2 42 D 3 E 32 1F 2 G 2 H1130设 G=是无向简单图，|V|=n,n=3 且为奇数，试证明 G 和 中奇度节点个数相等。证明：在 n 阶完全图中，因为每个节点的度数为 n-1，是偶数，故 G 中偶数节点在 中度数仍然为偶数，奇数节点的度数仍然为奇数。31设 G 是 n 阶自补图，试证明 n=4k 或者 n=4k+1，其中，k 为正整数。画出 5 个节点的自补图。是否有三个节点或 6 个节点的自补图。证明：完全图满足握手定理 ，即|E2)v(degV4|E2)1n(2因此 故 n=4k 或者 n=4k+1。e因此没有 3 个节点或 6 个节点的自补图。
