1、耦合超混沌系统的同步杨李新，楚岩东，张建刚，李先锋校对信息校对历史：收于 2009.3.30，联系人何吉环摘要混沌同步，作为一个很重要的热点，已经成为非线性科学的一个活跃的研究课题。过去的数十年以来，混沌同步已经宣告了这一点。这篇文章介绍了耦合超混沌系统的同步，基于 lyapunov 稳定理论。系统的近似稳定由 lyapunov 函数来保证。并做了数值仿真来表明这个方法在 chen 和 rossler 超混沌系统的有效性。一、引言混沌在非线性科学领域扮演了一个非常重要的角色。在过去的几年里混沌同步的潜在应用已经得到显著的关注3-24。自从 pecora 和 carroll1在 1990提出混沌
2、同步方法来使两个一样的混沌系统在不同条件下同步以来，报道了许多不同的方法，研究某些类型的混沌同步控制的方式，P-C 同步2，反馈控制方式3,21，适应控制方式5。现存的问题是如何实现超混沌系统的同步，特别是耦合超混沌系统，由上面提到的方式作为激励，本论文的目的是提出一个新的技术来实现混沌系统的同步。本设计旨在设计关于耦合超混沌系统的一个新方式，基于线性连续系统的 lyapunov 稳定性原理。本论文主要框架如下。在第二部分，我们讨论耦合超混沌系统的同步设计。在第三、第四部分，我们描述一个应用这种同步方法的 chen 混沌系统和rossler 混沌系统。而提出数值计算是为了阐述提出混沌途径方法。
3、二、总体方案(设计)考虑一个 N 维混沌系统，方程形式如下1 )(xf另外一个相同的 N 维混沌系统，方程形式如下2yf状态变量 x,y 属于实数；u,v 为耦合多项式。iiyxkvu相互耦合系统描述如下：3 uyf,如果 ,那么耦合混沌系统取得了同步。0limtxt定义 1.函数 如下所示：ii40,0, iii iiiii xxx或 或 者或对于四维线性时变系统5 434241433 22 4131211 xtatxtatx tttt我们假定 是连续的，并且满足ij 04,321,0, tjitiij 然后系数矩阵 分块如下：tA tAttattat ttttt 2214342132214
4、312tattatbttttbtttt 43432 2211 4423132 12110000supsup21B系统5的 lyapunov 函数如下： 4321,xVx那么 2143212 443432143 434213132 21421 421432321 42322141121 Vbxbxb xtatxtattattat xtatxDVxx xttxtttttt xttaaa 我们构造一辅助方程6 212Vb如果系数满足以下条件： 是 非 负 数是 正 常 数21121,. .,0bb那么时变系统6的原点是渐近稳定的。原理 1.假设 B 是对角线上的元素，如果 和 是下面方0,;txo
5、0,;tx0,;txy程的解。并且 。那么 7yx 0y0,;tx0,;tt012012,;,;tVtV所以 0,;limli 2 txxtt而 , ,因此这个系统5是渐4321,4321iit近稳定的。三、数值仿真在这个章节，超混沌 rossler 系统和超混沌 chen 系统被用来论证上面提到的方法。Rossler 系统7中，驱动和响应定义如下：驱动系统：8443431222131 xykdxcxba响应系统：9443431222 1431 yxkdycybax当 ，lyapunov 指数为 ，系统05.,.,5.0a 02.,91.是超混沌系统。 是变量， 是耦合系数。在驱动系统8和响应
6、系统9之iyx和 ik间的动态误差系统描述如下：10434312132ekdceyxa对应的系数矩阵为： 4321 2001kdcyxkatA431212 211 2,sup0,s,up000 kdckybxkbtttt 使242324123143 44313221,00,max 2,mqq kdqckykk 对于超混沌 chen 系统8,驱动系统和响应系统如下：驱动系统：1144324 31 22142)(xykrxxbcda响应系统：1244324 31 22142)(yxkryybcdxa是变量， 是耦合系数。在驱动系统11和响应系统12之间的动态ix和 i误差系统描述如下： 4,321
7、ityxteii13433234112241 ekreyxebcda对应的系数矩阵如下： 42331212300kryxbkcdatA那么42321212 311 ,sup,0s,up0000 krxkbyxacdkabtttt 使 312 44233221,max ,xy krpykbpakcpdkp 我们在这里的目的是为了保证误差系统是趋于稳定的，因此耦合系数必须满足以下几个条件： 24232412314321 221 ,0,0, mppmpppbb 示例 1.仿真中，用四阶龙格-库塔积分方法来解决公式8和9，仿真时间的步长为 0.001。我们取参数 。驱动系统8和响应系统05.,.,32
8、5.0dcba9的初值分别取：和 ，所以4,71,0,4321xx 3,50,4321 yy误差系统的初值为 （见图 1） 。,2示例 2.仿真中，用四阶龙格-库塔积分方法来解决公式11和12，仿真时间的步长为 0.001。我们取参数 。驱动系统11和响应系统125.0,712,36rdcba的初值取：和 ，所9,40,04321 xx 1,20,4321 yy以误差系统的初值为 （见图 2） 。1,7图 1.超混沌 rossler 系统对应的参数变量和同步误差对应的时间 t图 2.超混沌 chen 系统对应的参数变量和同步误差对应的时间 t四、结论本论文中，我们提出一个基于 lyapunov
9、 稳定性原理的耦合超混沌系统的同步方案；并做了两个仿真实验来说明这个方案的有效性。此外，这个同步方法能改善同步建立时间，这也同样适用于其他的超混沌系统。致谢作者感谢匿名评论者对于他们有帮助的评论和建议。参考文献1 Pecomra LM, Carroll TL. Synchronization in chaotic systemsJ. Phys Rev Lett 1990;64(8):8214.2 Bewley AE, Ho Y. Applied optimal control and estimation of nonlinear chaotic convection: harnessing
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