1、第一章 绪 论物体在爆炸/冲击载荷下的力学响应往往与静载荷下的有显著不同。例如，飞石打击在窗玻璃上时往往首先在玻璃的背面造成碎裂崩落。碎甲弹对坦克装甲的破坏正类似于此。又如，对一金属杆端部施加轴向静载荷时，变形基本上是沿杆均匀分布的，但当施加轴向冲击载荷时(如打钎，打桩 )，则变形分布极不均匀，残余变形集中于杆瑞。子弹着靶时，变形呈蘑菇状也正类似于此。固体力学的动力学理论的发展正是与解决这类力学问题的需要分不开的。为什么在爆炸/冲击载荷下会发生诸如此类的特有现象呢？为什么这些现象不能用静力学理论来给以说明呢？固体力学的动力学理论与静力学理论的主要区别是什么呢？首先，固体力学的静力学理论研究处于
2、静力平衡状态下的固体介质，以忽略介质微元体的惯性作用为前提。这只是在载荷强度随时间不发生显著变化的时候，才是允许和正确。而爆炸/冲击裁荷以载荷作用的 短历时为其特征，在以毫秒（ ms） 、微秒（s）甚至毫微秒纳秒（ns ）计的短暂时间尺度上发生了运动参量的显著变化。例如核爆炸中心压力可以在几 s 内突然升高到 107 10 8 大气压（10 310 4 GPa）量级；炸药在固体表面接触爆炸时的压力也可在几微秒内突然升高到 105 大气压（10 GPa）量级；子弹以 10210 3 m/s 的速度射击到靶板上时，载荷总历时约几十s，接触面上压力可高达 10410 5 大气压（110 GPa）量级
3、。在这样的动载荷条件，介质的微元体处于随时间迅速变化着的动态过程中，这是一个动力学问题。对此必须计及介质微元体的惯性，从而就导致了对应力波传播的研究。事实上，当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点离开了初始平衡位置。由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形） ，当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力） ，但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运动。依次类推，外载荷在表面上所引起的扰动就这样地在介质中逐渐由近及远传播
4、出去而形成应力波。扰动区域与未扰动区域的界面称为波阵面，而其传播速度称为波速。常见材料的应力波波速约为 10210 3 m/s 量级。必须注意区分波速和质点速度。前者是扰动信号在介质中的传播速度，而后者则是介质质点本身的运动速度。如果两者方向一致，称为纵波；如果两者方向垂直，则称为横波。根据披阵面几何形状的不同，则有平面波，柱面波，球面波等之分。地震波，固体中的声波和超声波，以及固体中的冲击被等都是应力波的常见例子。一切固体材料都具有惯性和可变形性，当受到随时间变化着的外载荷的作用时，它的运动过程总是一个应力波传播、反射和相互作用的过程。其次，强冲击载荷所具有的在短暂时间尺度上发生载荷显著变化
5、的特点，必定同时意味着高加载率或高应变率。一般常规静态试验中的应变率为 10-510 -1 s-1 量级而在必须计及应力波传播的冲击试验中的应变率则为 10210 4 s-1，甚至可高达 107s-1，即比静态试验中的高得多个量级。大量实验表明，在不同应变率下，材料的力学性能行为往往是不同的。从材料变形机理来说，除了理想弹性变形可看作瞬态响应外，各种类型的非弹性变形和断裂都是以有限速率发展、进行的非瞬态响应(，因而材料的力学性能本质上是与应变率相关的。通常表现为：随着应变率的提高，材料的屈服极限提高，强度极限提高，延伸率降低，以及屈服滞后和断裂滞后等现象变得明显起来等等。因此，除了上述的介质质
6、点的惯性作用外，物体在爆炸/冲击载荷下力学响应之所以不同于静载荷下的另一个重要原因，是材料本身在高应变率下的动态力学性能与静态力学性能的不同，即由于材料本构关系对应变率的相关性。从热力学的角度来说，静态下的应力-应变关系过程接近于等温过程，相应的应力应变曲线可近似视为等温曲线；而高应变率下的动态应力-应变关系过程则接近于绝热过程，因而是一个伴有温度变化的热-力学耦合过程，相应的应力应变曲线可近似视为绝热曲线。这样，如果将一个结构物在爆炸/冲击载荷下的动态响应与静态响应相区别的话，则实际上既包含了介质质点的惯性效应，也包含着材料本构关系的应变率效应。当我们处理爆炸/冲击载荷下的固体动力学问题时，
7、实际上面临着两方面的问题：其一是已知材料的动态力学性能在给定的外载荷条件下研究介质的运动，这属于应力波传播规律的研究（正问题） ；其二是借助于应力被传播的分析来研究材料本身在高应变率下的动态力学性能，这属于材料力学性能或本构关系的研究（反问题） 。问题的复杂性正在于；一方面应力波理论的建立耍依赖于对材料动态力学性能的了解，是以已知材料动态力学性能为前提的；而另一方面材料在高应变率下动态力学性能的研究又往往需依赖于应力波理论的分析指导。因此应力波的研究和材料动态力学性能的研究之间有着特别密切的关系。虽然从本质上说材料本构关系总是或多或少地对应变率敏感的，但其敏感程度视不同材料而异，也视不同的应力
8、范围和应变率范围而异。在一定的条件下，有时可近似地假定材料本构关系与应变率无关。在此基础上建立的应力波理论称为应变率无关理论。其中，根据应力应变关系是线弹性的、非线性弹性的、塑性的等，则分别称为线弹性波、非线性弹性波、塑性波理论等。反之，如果考虑到材料本构关系的应变率相关性，相应的应力波理论则称为应变率相关理论。其中，根据本构关系是粘弹性的、粘弹塑性的、弹粘塑性的等，则分别称为粘弹性波、粘弹塑性波、弹粘塑性波理论等。近五十年来，应力波的研究和应用取得了迅速发展，广泛地应用于地震研究，工程爆破（开矿、修路、筑坝） ，爆炸加工（成型、复合、焊接、硬化） ，爆炸合成（人造金刚石，人造氮化硼） ，超声
9、波和声发射技术，机械设备的冲击强度，工程结构建筑的动态响应，武器效应（弹壳破片的形成、聚能破甲、穿甲、碎甲、核爆炸和化学爆炸的效应及其防护） ，微陨石和雨雪冰沙等对飞行器的高速撞击，地球和月球表面的陨星坑的研究，动态高压下材料力学性能（包括固体状态方程） 、电磁性能和相变等的研究，材料在高应变率下的力学性能和本构关系的研究，动态断裂的研究，以及高能量密度粒子束如电子束、x 射线、激光等对材料的作用的研究等。本书从第二章开始将首先讨论一维杆中应力波的初等理论。在建立基本关系式以后。将由浅入深地依次对弹性波（( 第三章) 、弹塑性加载波和卸载波（第四章） 。书中采用Lagrange 描述法。对于初
10、次接触应力波理论的读者来说，这些内容是基础性的。应力波理论主要关心的是介质不断随坐标和时间变化着的非均匀、非定常运动，着重于动载荷对介质的局部效应和早期效应的分析。应力波分折中要注意载荷与介质之间的耦合作用，要注意应力波和材料动态力学性能之间相互依赖的密切关系。这些正是固体力学动力学与静力学理论的主要不同之处。第二章 一维杆中应力波的初等理论2.1 物质坐标和空间坐标连续介质力学中，可以采用两种不同的观点和方法来研究介质的运动，即：物质坐标法（Lagrange 法）和空间坐标法（Euler 法） 。连续介质力学的基本出发点之一是不从微观上考虑物体的真实物质结构而只在宏现上数学模型化地把物体看作
11、由连续不断的质点所构成的系统，即把物体看作质点的连续集合。质点的存在以其占有空间位置来表现。不同的质点在一定时刻占有不同的空间位置。一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置称为构形。为了使质点能相互区别，就需要对质点命名，而为了描述质点所占的空间位置就需要一个参考的空间坐标系。以我们即将研究的杆的一维运动为例，设质点以 X 来表示（即其命名） ，其在空间所占的位置以 x 来表示。介质的运动表现为质点 X 在不同的时间 t 取不同的空间位置 x，即 x是 X 和 t 的函数（2-1 ）),(tx固定 X，上式给出质点如何随时间运动，即其空间位置随时间的变化；固定 t，则上式给出时刻 t 时各质
12、点所占的空间位置。一般，在给定时刻下一个质点只能占有一个空间位置，一个空间位置上也只能有一个质点。所以，反过来也可以从某一时刻 t 时所占的空间位置来确定质点。换言之，只要运动是连续和单值的，式（2-1）就可反演为（2-2 ）),(txX一个简单方便的命名质点的方法是用参考时刻 t0 时在参考空间坐标系中质点所占位置x0 来命名质点，把它记作 X 。这时，公式（2-1）和（2-2）给出了质点在参考时刻 t0 时的位置和在 t 时刻时的位置两者间的相互转换关系。附带说明两点：可以取 t0=0，即选初始时刻作为上述的参考时问，但也可选其他适当的时刻；用来命名质点的 t0 时刻的参考空间坐标系可以和
13、描述运动所用的空间坐标系一致，但也可以不同。这些都取决于研究问题的方便。这样，当研究介质运动时，可以采用两种方法：一种是随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一质点转到其他质点时的变化，也就是把物理量 看作质点 X 和时间 t 的函数： F（ X ,t） 。这种方法称为拉格朗日方法，自变量 X 称为 Lagrange 坐标或物质坐标。另一种是在固定空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定的空间点上以不同时刻到达该点的不同质点的各物理量随时间的变化，以及这些量由一空间点转到其他空间点时的变化，也就是把物理量 看作空间点 x 和时间 t
14、的函数； f（ x ,t） 。这种方法称为欧拉方法，自变量 x 称为 Euler 坐标或空间坐标。注意到式（2-1）和（2-2）也就是 t 时刻物质坐标和空间坐标之间相互变换的关系式，则以物质坐标描述的物理量 的函数 F（ X ,t） 可籍此变成以空间坐标描述的函数 f（ x ,t）),(),(txxf或相反地 ft与之相应地有两种时间微商，即在给定的空间位置 x 上量 对时间 t 的变化率，记作（2-3 ）xtft),(称为空间微商（Euler 微商） ；以及跟随着给定质点 X 来观察的量 对时间 t 的变化率，记作（2-4 ）XtFdt),(称为物质微商（Lagrange 微商） ，或随体
15、微商。如果把式中 F（ X , t） 看作（x，t ）的复合函数 F X(x， t)f x(X, t), t，利用复合函数求微商的连锁法则，可得 常XtxtxftfftXxfd, ,这里的 是质点 X 的空间位置 x 对时间 t 的物质微商，正是质点的速度 v：tx（2-5 ）dtxtvX因之不言之明地略去下标时可得（2-6 ）xvtd当 为质点速度 v 时，它的物质微商正是质点的加速度 a（2-7 ）ttaX而由式（2-6）可知：（2-8 ）xvt右边第一项是质点速度在空间位置 x 处对时间 t 的变化率，称为局部加速度，在定常场中此项为零；第二项是质点速度由于空间位置改变而引起的时间变化率
16、称为迁移加速度，在均匀场中此项为零。在应力波传播的研究中还应注意波速的描述与坐标系的选择密切相关。如果在物质坐标中来观察应力波的传播，设在 t 时刻波阵面传播到质点 X 处，以 X （t）表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则（2-9a）)(tdtXCW称为物质波速（Lagrange 波速） ，或内禀波速。如果在空间坐标中来观察应力波的传播，设在 t 时刻波阵面传播到空间点 x 处，以 x=t表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则（2-9b ）)(dcw称为空间波速（Euler 波速） 。这两种波速虽然都是对同一个波的传播速度的描述，由于在不同的坐标系中量度，因而除非波阵面前方介质是静止而无变形的
17、，一般说来，两种波速的值是不等的。在定义了波速之后，还可以讨论一下在应力波研究中常用的第三种时间微商，即跟随着波阵面来观察的任一物理量 对时间 t 的总变化率 ，称为随波微商。类似于空间Wdt)(坐标中的随体微商（式 2-6） ，在空间坐标中的随波微商为txctt （2-10a ）而在物质坐标中的随波微商为tXWxCtdt （2-10b ）式（2-10a ）和（2-10）也是用不同坐标系表述的同一物理现象。当式（2-10 b）中 具体指质点的空间位置 x（X ，t）时，再注意到在一维运动中)1(tXx此处 为工程应变，即可得到平面波传播时空间波速 c 和物质波速 C 间的下述关系（2-11 ）
18、vc在初始质点速度和初始应变为零的介质中传播的平面波，空间波速和物质波速显然相同。2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程在物质坐标中来研究一等截面的均匀杆的纵向运动。取变形前（t0 时）的质点的空间位置作为物质坐标，井选杆轴为 X 轴 （图 2-1） 。这时，杆在变形前的原始截面积 A0、原始密度 0 和其他材料性能参数都与坐标无关，截面形状一般也无限制。作第一个基本假定：杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有均布的轴向应力。于是各运动参量都只是 x 和 t 的函数，整个问题简化为一维问题。在下面的讨论中，位移 u、应变 、质点速度 和应力 等均直接表示 XXutuv方向的分量，除特殊情况外
19、不再加下标 X 来标明。这里的应力是工程应力（即名义应力） ，应变是工程应变，并且在一维情况下，物质型伸长度 并无小变形的限制。基本方程的组成包括运动学条件（连续方程或质量守恒方程） ，动力学条件（运动方程或动量守恒方程）以及材料本构关系（物性方程） 。在目前的具体条件下可按下述方法分别求得：注意到应变 和质点速度 v 分别是位移 u 对 X，t 的一阶导数，由位移 u 的单值连续条件就可得到联系 和 v 的相容性方程，即连续方程：（2-12 ）tX考察杆的一长度为 dX 的微元体（图 2-1） 。在截面 R 上作用有总力 P（X，t） ，而在截面 S 上作用有总力 dXtPttdP),(),
20、(),(根据牛顿第二定律，应有 ttXtvA),(),(0再引入工程应力 ，即得运动方程：/（2-13 ）t0注意，在目前的物质坐标表述中，式（2-12）和（2-13 ）中的 已包含着 X 不变之意，t/是对时间的随体微商，没有必要再用 表出。d/dXX +dXXRP(X)SP(X+dX)X图 2-1 物质坐标表示的等截面均匀杆的微元段关于材料本构关系，先限于讨论应率率无关理论，则作第二个基本假定：应力 只是应变 的单值函数，即材料本构关系 可写成（2-14 ）)(由于应力波波速很高，在应力波通过微元体的时间内，微元体还来不及和邻近的微元体及周围介质交换热量，因此可近似地认为过程是绝热的。这里
21、写出的本构关系实质上是指绝热的应力应变关系。正是由于这样一种考虑，我们就无需列出能量守恒方程而得到关于变量 、 、v 的封闭的控制方程组（2-12 ）（2-14） 。杆中纵向应力波的传播问题就是从这些基本方程，按给定的初始条件和边界条件来求解三个未知函数 ， 和 。),(tX),(t),(tXv在以上的讨论中及以后，规定应力和应变均以拉为正，而质点速度以 X 轴向为正，反之为负。一般， （ ）是连续可微函数，且设其一阶导数为非零正数，引入（2-15）)0(,102dC就可由式（2-13）和（2-14）消去 ，得（2-16 ）Xtv2或由式（2-12）和（2-14）消去 ，得（2-17 ）vCt
22、20问题就可化为求解以 和 v 为未知函数的一阶偏微分方程组（2-12）和（2-16 ） ，或化为求解以 和 v 为未知函数的一阶偏微分方程组（2-13）和（2-17 ） 。如把 和 v 的表式代入式（2-16 ） 则问题可完全等价地归结为求解以位移 u 为未知函数的二阶偏微分方程，即波动方程：（2-18 ）022XuCt在上述得出控制方程的讨论中，由于作了第一个基本假定，实质上是一个近似处理。这一假定忽略了杆中质点横向运动的惯性作用，即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献。事实上，质点的横向运动将使杆截面上的应力分布不再均匀，原来的横截面平面就变歪曲了，也不再是一维问题了。计及横向惯性效应的
23、精确解的求解要复杂和困难得多。不过，由杆中弹性波的精确解已知，只要波长比杆的横向尺寸大得多时，这一近似假定所引起的误差是允许忽略的（参阅2-8） 。本章中对于杆中应力被传播理论的讨论都是建立在这一假定基础上的，通常称为初等理论或工程理论。第二个基本假定是一切应变率无关应力波理论的共同基本假定。初看之下，似乎只有在弹性变形范围内才是可用的（一般认为材料弹性常数与应变率无关） ，或对于那些对应变率不敏感的弹塑性材料才是近似可用的。不过考虑到冲击载荷下的应变率比准静态载荷下的要高出好多量级，则这一假定更确切地可理解为：材料在冲击载荷的某一应变率范围内具有平均意义下的唯一的动态应力应变关系，但它与静态
24、应力应变关系是不同的，在此意义上已笼统地计及了应变率的影响。当然，在应变率无关理论中，这种应变率效应是不在本构方程中显性地出现的。应变率无关应力波理论在工程应用中也就仍不失为一个有用的工具。2.3 特征线和特征线上相容关系现在对控制方程（2-18）式作进一步的讨论。首先注意，由于作了“应力只是应变的单值函数”的假定，则 C 2（ ）也只d01是应变 的函数，因而式（2-18）对于 u 的二阶偏导数而言是线性的，属于两个自)(Xu变量的二阶拟线性偏微分方程。在特殊情况下，当应力是应变的线性函数时，则 C 2 将是常数，于是式（2-18）属于线性偏微分方程。其次应注意，由于我们不考虑非稳定塑性阶段
25、的特殊情况，所以应力总是随应变单调上升的函数，即 ，而密度 0 又总是正值，故必有 C 20。于是由二阶偏微分方程0d的分类可知（参阅有关数学物理方程的教程） ，式波动方程（2-18）属于双曲线型偏微分方程（波动方程） ，有两族实特征线，即通过自变量平面（ X，t ）任一点有两条相异的实特征线。特征线的概念不仅在偏微分方程的分类研究上有重要意义，对我们来说，尤其重要的在于它是解双曲线型偏微分方程的主要解法之一特征线法的基点，在波传播的研究中占有十分重要的地位。特别在一维波的传播问题上获得了广泛的应用。这时实际上把解两个自变量偏微分方程的问题化成了解特征线上的常微分方程问题。关于特征线可以用几个
26、不同的而又互相等价的方法来定义。主要有两种：一种称为方向导数法，即如果能把二阶偏微分方程（或等价的一阶偏微分方程组的线性组合）化为只包含沿自变量平面（X，t）上某曲线 C 的方向导数的形式时，此曲线 C 即称为特征线。另一种称为不定线法，即如果对自变量平面（ X，t ）上某曲线 C，由沿此曲线上给定的初值连同偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话，则此曲线 C 称为特征线。这两种定义方法分别从不同角度反映了特征线的某种性质。不论采用哪一种方法，所得结果是一样的。下面我们将主要采用方向导数法来对式（2-18）加以具体讨论。设在自变量平面（X，t）上有某曲线 C（X，t ） ，u 的一阶偏导数也即
27、 v 和 沿此曲线方向的微分则为：dttdtvdv2（2-19）tXutX2（2-20）式中 d X 和 d t 是曲线 C（X，t ）上的微段 d S 分别在 X， t 两轴上的分量，也即 d X / d t 是曲线 C 在（X，t）点的斜率。如果曲线 C 是式（2-18）的特征线，则式（2-18 ）左边应能化为只包含沿此曲线的方向微分，这只要把式（2-19）和（2-20 ）线性组合起来就可做到，于是（2-18）化为0)(222 dtXutdttudv （2-21）式中 是待定系数。将上式与式（2-18）对比，可见下列关系应该满足：dCXdt201（2-22）由第一个等式得： ，再由第二等式
28、即得特征方向 为： ，或写成dtX tCtXt（2-23）此即特征线微分方程，对其积分可得特征线。把式（2-23）代回式（2-22 ） ，得 ，于是（2-18）式也即（2-2I ）式化为只包含沿特征线方向微分的常微分方程：Cdv（2-24）由于此式规定了在特征线上 v 和 必须满足的相互制约关系，所以称作 特征线上相容关系。这样，解拟线性偏微分方程（2-18）的问题就完全等价地化成了解特征线方程 （2-23 ）和相应的相容关系（2-24）的常微分方程问题。与式（2-23）表示（X，t ）平面上的特征线相对应，式（2-24）也可看作为（v， ）平面上的特征线微分方程，其积分称作（v， ）平面上的
29、特征线 。有时（X，t）平面又叫物理平面，而（v ， ）平面则叫速度平面。于是，式（2-23）和式（2-24）间的相应性在几何意义上表示（X，t）平面上的两族特征线与（X，t）平面上的两族特征线之间有一一对应关系（映象） 。如图2-2 所示， （X ， t）平面上的 G 域与（v ， ）平面上的 域之间，C 线与 线之间，以及不同族特征线的交点 Q 与之间均有对应性。正是这种对应性提供了式（2-18）的特征线解法的基础。以上我们是用方向导数法来讨论的，但也不难用不定线法来得到同样的结论。注意到式（2-12）和（ 2-16）组成的一阶偏微分方程组与式（2-18）等价，它们与式（ 2-19） 、
30、（2-20）共同组成的如下的方程组dtdXvvCtXv02此方程组可看成解四个偏导数 、 、 、 的代数方程组。写成矩阵的形式，有vtt dtXdtC0010102tvXd0（2-25）如果曲线 C 是特征线，上述解不定，则应有 04321式中， ， dtXtdC012dtXdtvC0121 ,2把行列式展开，即可重新得出特征线微分方程（2-23）和特征线上相容条件（2-24 ） 。如果从以 和 v 为未知函数的一阶偏微分方程组（2-13）和（2-17 ）出发，类似地可得特征线微分方程（2-23） ，而特征线上相容条件则相应地为Cdv0otoXvCGQCGQ图 2-2 X，t 平面上的 G 域
31、与 v， 平面上的 域之间的对应性（2-26）它与相容关系（2-24）是等价的。事实上，把式（ 2-15）代入式（ 2-24）即可得到式（2-26） 。在下面我们将进一步表明，特征线方程（2-23）在物理意义上表示扰动的传播，也就是说在（X ，t）平面上特征线代表扰动（波阵面）的传播轨迹， 代表波阵面dC01传播的物质波速，式中正号表示正向波（右行波）而负号表示负向波（左行波）的传播。至于式（2-24）或（2-26）则确定了扰动传播过程中在波阵面上质点速度 v 和应变 或应力 之间的相容关系， 0C 称为 波阻抗。注意式中正号与右行波对应而负号与左行波对应，这和以后将要谈到的跨过波阵面的相容条
32、件中的符号恰相反 参阅 2-7 节，式（2-63）。2.4 半无限长杆中的弹塑性加载纵波下面先来讨论半无限长杆中传播的纵向应力波，杆子从 X0 延伸到 X，这时只有沿正 X 方向传播的单向波，没有波的反射。这就相当于有限长杆在尚未考虑来自另一端的反射波时的情况。此外，我们只考虑单调加载而无卸载的情况。如果外载荷以应力边界条件给出时， ；如以速度边界条件给出时， 。这样的问题最为简单。0/t/tv2.4.1线性弹性波先讨论冲击载荷不大，杆处于弹性变形下的情况。这时，应力和应变之间遵循 Hooke定律，本构关系（2-14）简化为E（2-27）式中 E 为 Young 模量。于是非线性波动方程（ 2
33、-18）简化为线性波动方程0202XuCt（2-28）式中 C0 是完全由材料常数 0 和 E 所决定的常数0E（2-29）由式（2-23）和（2-24）知，这时特征线和相应的相容条件分别为（ X，t ）平面和（v ，）平面上斜率为C 0 的两族直线： dtCX0v（2-30a）或者引入积分常数 1， 2，R 1，R 2 后可写成（右行波）10Cvt（左行波） 2RtX（2-30b ）R1 和 R2 有时称为 Riemann 不变量。设半无限长杆原来处于静止的自然状态，t0 时刻在杆端 X0 处受到一给定条件的撞击，例如杆端质点速度随时间的变化 v0（ ）是已知的。于是，问题归结为在初始条件X
34、),(),(常（2-31a）及边界条件0)(,0(tvt常（2-31b ）下，求解式（2-28） ，或按特征线法在上述初边条件下求解式（2-30） 。应说明的是，这时系分别解两类初边值问题，即 Cauchy问题和 Picard 问题。在（X，t）平面上，经任一点有正向和负向两特征线（图 2-3） ，其中 OA 是经过 O（0，0）点的正向特征线。先讨论 OA 下方，即 AOX 区的情况。沿 OX 轴的 v 和按初始条件是已知的，而经 AOX 区中任一点 P 的正向特征线 QP 和负向特征线 RP 都与 OX 轴相交，于是沿这两条特征线的 Riemann 不变量 R1 和 R2（式 2-30）可
35、由初始条件确定沿 QP ，)()(00QCv沿 RP 因而 QP 和 RP 之交点 P 处的 v（P）和 （P）即可由上两式解得 )()(21)(0RvR0CC （2-32）在目前零初始条件（式 2-31）的情况下，由于有 v（Q ） （Q）v（R） （R）0，因此 v（P） （P）0。既然 P 点是 AOX 区中的任意点，因此整个的 AOX 区是v 0 的恒值区。实际上，只要是恒值初始条件，即 v（Q）v（R）常数， （Q） （ R）常数，则 AOX 区总是恒值区，总有：v（P） v（Q）v（R） ， （P ） （ Q） （ R） 。在上述讨论中，OX 这样的初值曲线是一条非特征线，并且经曲
36、线上任一点所作的两条特征线都随时间的增加而进入所讨论区域，所有具有这种性质的曲线（不必和 X 轴平行）通常称为类空曲线。由上述讨论知，在类空曲线的任意线段 QR 上给定 v 和 ，则可在由QR 和特征线 QP、RP 为界的曲线三角形区域 QRP 中求得单值解，这类初边值问题，常称为初值问题或 Cauchy 问题。现在再讨论 OA 上方，即 AO t 区的情况。既然经任一点 B 的负向特征线 BD 总交于OA， 而沿 OA 已知 v 0，因此在此区域中恒有 R20，或即恒有Cv（2-33）正向特征线 CB 总交于 O t 轴，而沿 O t 轴的 v 按边界条件（2-31b）是已知的，于是 R1
37、可由点 C（0， ）上的 v0（ ）来确定，即沿 CB 有 )(22001 vCvR注意到正向特征线 CB 的数学表达式为 )(tX式中 C0 为积分常数 ， 正是此特征线在 t 轴上的截距，所以 AO t 区中任一点 B（X，t ）处的 v 和 可确定为)(00CXtvvADPXOaB, tvC(, )图 2-3 X-t 平面上经任一点有正向和负向两特征线（2-34）这说明 t 时刻加于杆端的扰动 v0（ ）是以速度 C0 在杆中传播，于 t 时刻到达 X 截面。由此可见，特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）的传播轨迹。C 0 称为杆中弹性纵波波速，完全由材料常数 0 和 E 所决定（式 2
38、-29） 。与类空曲线相对应，像 O t 轴这样的非特征线，即经曲线上任一点的两条特征线随时间的增加只有一条进入所讨论区域的非特征线，通常称为类时曲线。与上述解 AOt 区问题相类似，在一特征线上给定 v 和 ，而在一条与之相交的类时曲线上给定 v 或 ，则可在此两曲线为界的区域中求得单值解。这类问题称为混合问题或 Picard 问题。这样，半无限长杆在杆端受轴向冲击载荷的问题就归结为解 AOX 区中的 Cauchy 问题和解 AOt 区中的 Picard 问题。在 Cauchy 问题中，其解完全由初始条件确定，这意味着只接受杆中初始扰动的影响，不受边界扰动的影响。而在 Picard 问题中，
39、解实际上由初始条件和边界条件共同确定，意味着 AO t 区中任一点 B 不仅受到由左行波传来的初始扰动的影响，而且受到由右行波传来的边界扰动的影响。在本例的初边条件 （式 2-31）的情况下，初始扰动为零。在边界上最早扰动沿特征线 OA 以波速 C0 传播尚未到达之前，即直到tX C 0 之前，截面 X 将一直保持静止的自然状态。所以 AOX 区的状态在（v，）平面上映照为原点 O（图 2-3） 。随后，边界扰动 v0（ ）以波速 C0 依次传到 X 截面。由于沿左行特征线传播过来的初始扰动为零，因而边界扰动沿右行特征线传播过程中扰动状态保持不变（式 2-34） 。这样的波称为 简单波。对于传
40、入初始处于静止、未变形状态的杆中的弹性简单波，质点速度 v、应变 和应力 之间遵循式（2-33 ） 。此式通常称作简单波关系，正是 AO t 区中沿任一条左行特征线 DB 上各点上的状态在（ v， ）平面上的映象 Oa 的方程。不难证明，如果杆具有均匀的初始质点速度 v0、初始应变 0 和初始应力 0。 ，则式（2-33）应改写为0)(CC（2-35）式中负号对应于右行波而正号对应于左行波。上式给出了弹性波传播中质点速度和应变或应力间的重要基本关系，是弹性波讨论中最常用的。 0C0 常称为杆中弹性纵波的波阻抗或声阻抗，是表征材料在动态载荷下力学特性的一个基本参数。几种常见材料的杆中弹性纵波波速
41、 C0 和波阻抗 0C0 的近似数值如表 2-1 所示（Kolsky, H., 1953） 。表 2-1 几种常见材料的杆中弹性纵波波速 C0 和波阻抗 0C0钢 铜 铝 玻璃 橡胶 0 （10 3 kg/m3=g/cm3）E（GPa=10 10 dyne/cm2）C0（km/s） 0C0（MPa/m/s=10 6 kg/m2/s）7.82105.1940.58.91203.6732-72.7705.0913.72.5705.3013.30.932-010-30.04642-810-3注意,在（v， ）平面上（图 2-3）,恒值区 AOX 只对应于一个点 O；简单波区 AO t 则对应于一段线
42、 Oa，或者说， （ X， t）平面上简单波区的每一条非零扰动的特征线对应于（v， ）平面上的一个点。从上面的讨论中还可以得出一个重要结论：简单波区总是和恒值区相邻的。以上虽然是按照给定杆端的质点速度边界条件来讨论的，但如果杆端给定的是应变边界条件， )(,0(t0t或应力边界条件 ， 0也完全可得到类似的结果。特征线法还提供了一个简单方便的作图法以确定任一时刻杆中应力（或应变、质点速度）分布情况，或任一截面位置上应力（或应变、质点速度）随时间变化情况。在（X，t）平面上作 tt 1 水平线（图 2-4） ，与简单波各特征线交于 1，2，3，4，5，6 诸点。既然沿特征线的 v（或 、 ）等于
43、杆端已知值 v0（t ） （或 0（t ） 、 0（t） ） ，便可得 tt 1 时刻的质点速度分布，以及相应的应变分布和应力分布，称为波形曲线（图 2-4 中的下图） 。类似地，在（X，t）平面上作 XX 1 垂直线，与各特征线交于 1，2，3 ，4，5，6 诸点，由此便可求得 XX 1 截面位置上的质点速度、应变和应力随时间的变化，称为时程曲线（图 2-4中的右图） 。用一系列不同时刻的波形曲线，或一系列不同截面上的时程曲线，可以形象地刻画出应力波的传播。对于线弹性波，由于波速为恒定，应力波在传播过程中波形是不变的。 21v(,)图 2.4v(X,t1)3tv()6o5Xv(,)210或0
44、()或03456 16t543242315 v(X,t1)34t 6A5ot图 2-4 用特征线作图法确定任一时刻杆中的波剖面。2.4.2.弹塑性加载波对于一静止无初应力的细长杆，当杆端受到撞击时，由简单波关系 v = -/(0C0)（式2-33）可知，杆中弹性波的应力幅值随撞击速度的增加而成正比地增大。设材料在一维应力下的动态屈服极限之值为 Y，则当撞击速度 v 大于所谓屈服速度 vY，即（2-36）0|CY时，材料进入塑性变形，在杆中将传播塑性波。在特征线法解弹塑性波问题时，由于 是应变 的函数，则特征线（式 2-d0133）和特征线上相容关系（式 2-24） CtXv在（X，t）平面和（
45、v， ）平面上一般都不再是直线族。但如果引入0d（2-37）则特征线上相容关系，不论是式（2-24）的形式或者式（2-26 ）的形式，可统一表示为dv（2-38）表现在（v， ）平面上是两族与坐标轴成45 0 的正交直线21Rv（2-38）显然，在 （ ）已知时， C（ ）和 （ ）或 （ ）也均为已知（图 2-5） 。对于在式（2-31）所给出的初边值条件下解半无限长杆中弹塑性波传播的问题，仍可重复前述有关弹性波讨论中的步骤，归结为在 AOX 区解一 Cauchy 问题和在 AO t 区解一Picard 问题（图 2-5） 。其中恒值区 AOX 以及简单波区 AO t 中的弹性波部分与前述弹
46、性波解（图 2-4）完全相同；而与边界条件中 部分对应的塑性波部分，由于所有负Yv|)(|0向特征线都终将与 X 轴相交，在零初始扰动的初值条件（式 2-31）下，式（2-38）中的Riemann 不变量 R2 恒为零，因此在塑性简单波区处处有00Cdv（2-39）于是沿正向特征线的 Riemann 不变量 Rl 可由边界条件（2-31b）确定 )(201vv即沿正向特征线质点速度 v、应变 和应力 均不变，从而 C也不变，但对不同的正向特征线有不同的 C 值。因此，在塑性简单波区中正向特征线是一系列斜率不同的直线（图 2-5） )(tXC 在物理意义上代表塑性波的传播速度。由式（2-15）知
47、，塑性波波速 C 取决于材料的密度 和材料动态应力应变曲线塑性部分的斜率（切线模量）d /d。因此，根据材料应力应变关系 （ ）的应变硬化特性的不同，首先要区分两类不同的情况（见图 2-6，其中：（ a）为递减硬化， （b）为递增硬化， （c）为线性硬化） 。a对于切线模量随应变增大而减小的材料（递减硬化材料） ，即当 曲线向上凸时（d 2/d20） ，塑性波速随应变增大而减小。这意味着在加载过程中高幅值扰动的传播速度小于其前方的低幅值扰动的传播速度，因而应力波在传播过程中其波剖面将变得愈来愈平坦（发散波） 。oyy()C()yC oovv66oovvy 3X654534231451弹 性 区 23塑 性 区 21Xvo321ttt 456 65421t图 2-5 塑性简单波的特征线图，和对应的 v 图和 v 图b对于切线模量随应变增大而增大的材料（递增硬化材料） ，即当 曲线向下凹时d
