1、高等数学 (下)试卷 (B) 第 1 页 共 6 页20112012 学年第二学期期末考试高等数学（下） 试卷(B)答卷说明：1、本试卷共 6 页，四个大题，满分 100 分，120 分钟完卷。2、闭卷考试。 3、适用班级：11 级通信系、电子系本科各班.题号 一 二 三 四 总分分数评阅人:_ 总分人：_一、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 。【 】1.设有直线 : 及平面 : ,则直线L112xyz231xyzL(A)平行于 (B)在 内 (C)垂直于 (D)与 斜交【 】2.锥面 与柱面 的交线在 面的投影为2zzo(A) (B) 2(1)xy2(1)xy(C)
2、 (D)20,1z 20,1z【 】3.设函数 由方程 确定,则 的值为),(yxz34zxy(1,)zx(A) (B) (C) (D)212122【 】4.函数 在点 处偏导数 存在是函数在该点可微的),(yxfz(,),zxy(A)必要条件 （B)充要条件(C)充分条件 (D)既非充分也非必要条件【 】5.将二次积分 转化成先对 ,后对 的二次积分为10(,)xdfyxy(A) (B)10),(yxfd df01)(得分_系_专业_班级 姓名_学号_（密）（封）（线）密 封 线 内 答 题 无 效高等数学 (下)试卷 (B) 第 2 页 共 6 页(C) (D)ydxf01),( 10),
3、(dxyf【 】6.设 为圆 (逆时针方向),则L24y2(3)LdyA(A) (B) (C) (D)34【 】7.下列级数中,发散的级数是(A) (B) (C) (D)12n1()2n21n1()n【 】8.幂级数 的收敛域为13nx(A) (B) (C) (D) (3,),)3,(3,【 】9.若二阶齐次线性微分 有特解: , ,0)(yxqpy xey1x2, , 是两个任意常数, 则该方程的通解可表为13xeyx2421C(A) (B) (C) (D) 21Cxxe2xxeC21 xxeC21【 】10.微分方程 的一个特解应具有形式( 为常数)y3,ab(A) (B) (C) (D)
4、xeba)( xeba)(2 xaexe二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分）1.设点 及点 ,则 _;向量 与 轴的夹角为 ,则方)2,1A)0(B|AABx向余弦 _.cos2.设 ,则 _.yzxdz3.函数 在点 处方向导数的最大值为_.2()fxy(1,)P4.设 是连接 及 两点的直线段,则 _.L1,0()(2)Lxyds5.函数 展开成 x 的幂级数为 .()2fx得分高等数学 (下)试卷 (B) 第 3 页 共 6 页三、计算题(共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)1.已知曲线 上一点 ,(1)求曲线在 点处的一个切向量;(2)求2,1yxz(,3M
5、M曲线在 点处的切线及法平面方程.M2.求函数 的极值.32(,)615fxyxy得分高等数学 (下)试卷 (B) 第 4 页 共 6 页3.平面薄片的面密度为 ,所占的闭区域 由上半圆周 及2(,)xyD24yx轴所围成,求该平面薄片的质量.x4.利用高斯公式计算曲面积分 ,其中 为平面 和xdyzzdxyA0z及圆柱面 所围立体的整个表面的外侧.3z21xy高等数学 (下)试卷 (B) 第 5 页 共 6 页5.设曲线通过 点,且曲线上任一点 处的切线斜率等于 ,求该曲线的(02) ),(yxM2xy方程.6.求微分方程 的通解.xey27.判断级数 是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件
6、收敛？21()3n高等数学 (下)试卷 (B) 第 6 页 共 6 页四、综合应用题(共 2 小题,共 13 分,其中第 1 题 6 分,第 2 题 7 分).1.(6 分)要造一个体积为定数 的长方体集装箱,应如何选择其尺寸,方可使它的表面K积最小?2.(7 分)设在 平面有一变力 构成力场,(1)证明质点xoy(,)()Fxyixyj在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点 移动到点(1,)A时场力所作的功.(23)B高等数学（下） 试卷(B)参考答案及评分标准一.选择题(每小题 3 分,共 30 分).题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C B A
7、 A D A B C A二.填空题(每小题 3 分,共 15 分).(1) ; (2) (3) |ABcos1lnyydzxxd13(4) 32得分高等数学 (下)试卷 (B) 第 7 页 共 6 页(5) 10,2nnx三.计算题(每小题 6 分,共 42 分).1.(6 分)(1) , 曲线在点 处的一个法向量 xxyz(1,3)M,（2 分）(1,2)T(2)在点 的切线方程为 ,3M 312xyz（2 分）法平面方程为 (1)()(3)0xyz即 290xyz（2 分）2.(6 分) ,令 ,得驻点 , 26,310xyffxyf(3)（2 分）,0,xxyyfff有 (3)(32)0
8、,(3,2)1,xyyABfCf240,ACB所以 不是极值点 ,2（2 分）而 (3,),(3,2)0,(3,)1,xxyyfff40,所以 为极大值点,极大值为 2（2 分）3.(6 分)平面薄片的质量 2(,)(1)DDMxydxydx（2 分）高等数学 (下)试卷 (B) 第 8 页 共 6 页20d（2 分）4201（2 分）4.(6 分)空间区域 由 所围成,由高斯公式,有20,3zxy原式 dvzRQP)(（31分）（33dv239分）5.(6 分)设所求曲线为 ,由题意得, , , （2 分）)(xyyx(0)分离变量, ,积分, ,12dy21lnC所以通解为 （22xCe分
9、）由 ,得 ,从而所求曲线为 (0)y 2xye（2 分）6.(6 分) 对应的齐次方程 的特征方程为 , 得特征根0y 012r, 121r则对应的齐次方程的通解为 xeCy)(21（2 分）对于非齐次方程 , 为 的二重根, ,x201r2)(xP设其特解为 ,其中 , 为待定系数, xeQy)(*2a高等数学 (下)试卷 (B) 第 9 页 共 6 页（2 分）满足 ,即 ,所以 , 从而 ,特解 ,)(xQ)(xPa12)(xQxey2*故原方程的通解为 .xxeCy221)（2 分）7.(6 分) 由于 ，2211()3nn而 ，则 收敛，21limlinu 21()3n（3 分）从
10、而 也收敛，且为绝对收敛. 21()3n（3 分）四、综合应用题(共 2 小题,共 13 分,其中第 1 题 6 分,第 2 题 7 分).1.(6 分)设该集装箱的长,宽,高为 ,由题意知 ,则 ,容器的表面zyxxyzKxy积, 222()Axyzxyxxy0（3 分）令 , 解得驻点 20xyKA 3xyK（2 分）因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当 时,容器的表面积最小,从3xyzK而用料最省. （1分）2.(7 分)证明: (1) , ,(,Pxy)Qxy高等数学 (下)试卷 (B) 第 10 页 共 6 页由于在 面内, 恒成立,且 连续,xoy1PQxPyx故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. （4 分）(2)质点从点 移动到点 时场力所作的功(与路径无关) ,路径 可取折线(1,)A2,3BL段 ,其中点 ,从而C1(2,3)(2,3)11WFdrPxQdy+ (,)xy(2,3)1()xdy23115()y（3 分）
