1、1习题一1. 下列函数是否相等,为什么? 2 22(1),();()sin(31),sin(31);13.fxgxyxut 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集 R;由 知两函数的对应法则也相同;所以2x两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集 R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数 的定义域是 ,而函数 的定义域是实数集 R,两函数()fx,1x()gx的定义域不同,所以两函数不相等.2. 求下列函数的定义域 211(1)4arctn;(2)3;lg()3; 4arcosin.yxyxx解: (1)要使函数
2、有意义,必须即 0x40x所以函数的定义域是 .(,0)(,4(2)要使函数有意义,必须即 30lg(1)x301x所以函数的定义域是-3,0) (0,1).(3)要使函数有意义,必须即 210x1x所以函数的定义域是 .(,)(,)(4)要使函数有意义,必须2即 12sinx1sin2x即 或 ,(k 为整数).266kxk576k也即 (k 为整数).所以函数的定义域是 , k 为整数.,3. 求函数 的定义域与值域.1sin,0xy解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+), 又当 时, 可以是不为零的任意实数,此时,0x1可以取遍-1,1上所有的值 ,所以函数的值域为-1,1.1sin
3、x4. 没 ,求()xf1(0)().fxf解: ,1(0)f(),()xf1().xf5.设 ,求 .,0()12xfx(1)f解: , ,01() .(),03xf x6. 设 ,求 和 .2,lnxfg(),(),()fgff()gx解: ()l(xl2l(ln2),xxfxff()(2,lnl(l).xfgg7. 证明: 和 互为反函数.3()1fx31()2x证:由 解得 ,32y3y3故函数 的反函数是 ,这与 是同一个函3()21fx31()2xyR31()2xg数,所以 和 互为反函数.3()f 3()gx8. 求下列函数的反函数及其定义域: 25 31(); (2)ln)1;
4、34cos,0.xyyx解: (1)由 解得 ,1y1y所以函数 的反函数为 .x(1)x(2)由 得 ,ln(2)y1e2y所以,函数 的反函数为 .x1()x R(3)由 解得253y3(log5)y所以,函数 的反函数为 .x (0)2x(4)由 得 ,又 ,故 .31csy31xy3arcos1xy又由 得 ,o0cos即 ,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数 的反函02y 3cs,0yx数为 .3arcs1(2)x 9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: 2(1); ()lnyyx解: (1)函数的定义域为( -,+), 当 时,有 ,当 时,有 ,0201x211x故
5、 有 .即函数 有上界.,)x12yyx又因为函数 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函x数必有下界,因而函数 有界.21y4又由 知,当 且 时, ,而12121212()xxxy12x112y当 且 时, .12x112y故函数 在定义域内不单调.y(2)函数的定义域为(0,+),且 ,使 .10,Mx12;e0Mx2lnx取 ,则有 ,2ma01ln所以函数 在定义域内是无界的.lyx又当 时,有1201212,l0x故 .12 12(ln)()()(ln)0yxxx即当 时,恒有 ,所以函数 在 内单调递增.12yy,10. 判断下列函数的奇偶性: 2(1)
6、;()esin.xfxxx 解: (1) ()11()f是偶函数.()fxx(2) 222esin()esin(esin)(x xxxf 函数 是奇函数.y11. 设 定义在(-,+)上,证明:(fx(1) 为偶函数; (2) 为奇函数.f()fx证: (1)设 ,则 ,()(Fxf)有 )fxF故 为偶函数.()fx(2)设 则 ,(),Gfx()有 ()xfxG5故 为奇函数.()fx12. 某厂生产某种产品,年销售量为 106 件,每批生产需要准备费 103 元,而每件的年库存费为0.05 元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为
7、批量的一半).解: 设年销售批数为 x, 则准备费为 103x;又每批有产品 件,库存数为 件,库存费为 元.610610261052x设总费用为,则 .635yx13. 邮局规定国内的平信,每 20g 付邮资 0.80 元,不足 20 g 按 20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资 y 与重量 x 的关系.解: 当 x 能被 20 整除,即 时,邮资 ;200.825xy当 x 不能被 20 整除时,即 时,由题意知邮资 .0812xy综上所述有,02;25.8, .1200xxy x且且其中 , 分别表示不超过 , 的最大整数.2x20x114. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜
8、角 =40,如图所示.当过水断面 ABCD 的面积为定值 S0 时,求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深 h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图 1-1解: 011()(2cot)(cot)2ShADBChBCh从而 .cotBC00()22cotsinsincos4iiLADShhBSh 6由 得定义域为 .0,cotShBCh0(,tan4)S15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 512 24(); ()si(1);304.arcinxy yx 解: (1) 是由 复合而成.124()y124,yux(2) 是由 复合而成 .sinxsin,1vx(3) 是由 复合而成.
9、512(0)y1 52,0,wy(4) 是由 复合而成.arcsinxarcsin2uvx16. 证明: 2 1(1)ihl(1); (2)rthl,1x证: (1)由 得esinxy2e10xxy解方程 得 ,2e10xx2x因为 ,所以 ,2y2ln(1)y所以 的反函数是sinhyxarcsih().xxx (2)由 得 ,得 ;etax21y1ln,ln2yy又由 得 ,10yy所以函数 的反函数为tanhx1rcl (1).2yx17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势: 34 579(1)0,; (),03,57,0; (3),.56 解: 当 时 , .nx1nx,1(2
10、)cos27当 n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于 ,趋向于 0,趋向于 .,当 n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于 1,-1.21(3)nx18. 对下列数列求 ,并对给定的 确定正整数 ,使对所有 ,有limax()N()nN:nxa1()sin,0.1; (2),0.12nxn 解: , ,要使 ,只须 .取 ,则limnax10sinN当 时,必有 .N0n当 时, 或大于 1000 的整数.0.11., ,要使(2)limnax0212nxnnn只要 即 即可.12取 ,则当 时,有 .2NnN0nx当 时, 或大于 108 的整数.0.1821.19. 根据数列极限的定义
11、证明: 2 31()lim;()lim;23li1;4li0.9.n nnn na 个证: ,要使 ,只要 .取 ,则当 nN 时,恒有()0221N.故 .21n21limn(2) ,要使 只要 ,取 ,则当 nN053,2(1)41nn5N8时,恒有 .故 .312n31lim2n(3) ,要使 ,只要 ,取0222()aann2a,则当 nN 时,恒有 ,从而 .2an21n2lim1n(4)因为对于所有的正整数 n,有 ,故 ,不防设 ,要使0.9个 0只要 取 则当 时,恒有1,0.90nn个 l,1l,n1NN故 .,.1n个 lim.9nn个20. 若 ,证明 ,并举反例说明反之
12、不一定成立.linxaxa证: ,由极限的定义知 , ,当 时,恒有 .00Nnnxa而 nnx,当 时,恒有 ,Nxa由极限的定义知 lim.nxa但这个结论的逆不成立.如 但 不存在.(1),li,nxlimnx21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值: 11 11()2,2,; (),12,.nnn nxx x 证: (1) ,不妨设 ,则1k.122kx故对所有正整数 n 有 ,即数列 有上界.2n又 1 ()nxxx显然有 ,又由 得 ,从而 即 ,0nn10nx1nx即数列 是单调递增的.nx9由极限的单调有界准则知,数列 有极限.nx设 ,则 ,于是 , (不合题
13、意,舍去), .limnxa22a0alim2nx(2) 因为 ,且 ,101nnx所以 , 即数列有界2nx又 111 ()nnnnxxx由 知 与 同号，110,nnx1n1n从而可推得 与 同号，2x而 1213,0x故 , 即10nxnx所以数列 单调递增，由单调有界准则知， 的极限存在.nx设 , 则 ，limnxa1a解得 (不合题意，舍去).5,2所以 1li.nx22. 用函数极限定义证明： 2221 0si 314()lm0; ()lim; (3)lim; 44i 5sn.x x xxx 证：(1) ,要使0,1sisixx只须 ,取 ，则当 时，必有1xXX,sin0x10
14、故 .sinlm0x(2) ,要使,2221331|4xx只须 ,取 ，则当 时，必有13xXX,2314x故 .231lim4x(3) ,要使0,24()2xx只要取 ，则当 时，必有 ,02x2(4)x故 .24limx(4) ,要使0,21142xx只须 ，取 ，则12x当 时，必有0214x故 .214limx(5) ,要使0,1sin0sixx只要取 ，则11当 时，必有 ,0x1sin0x故 .01limsnx23. 求下列极限： 2 243 132 23()li; ()lim;1()()(5)lim; 6)li;1 5x xx xx nn (7)若 ，求 a 和 b.21li2x
15、axb解： .2323li93(1)li 51xx 22 244411223 33422424lim()1()li .()lili.11lim()limli 0.(5xxxxxxx22211li)lili 0xxx由无穷大与无穷小的关系知， .1limx3(1)2()236)limli5511lilim.15n nnn24. 解:因为221()()()xaxbb12由已知 知，分式的分子与分母的次数相同，且 x 项的系数之21lim21xaxb比为 ，于是1且 0a()12ab解得 .31,2ab25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:()lim),01;knn其中 为给定的正常数;122,ma
16、a ,ma1(3)li3);4.nn解: 11(1)0)()(1)kkkk knnnn而 ,当 时, limn11li0kn.()k(2)记 12ax,m则有 12n nnmaa即 1而 li, li,nn故 12mnmaa即 .12li x,nmn a (3)111(3)23)()n n即 3n而 1lim,linn 13故 .1lim(23)nn(4) 1而 1li0,li()nn 故 .lim1n26. 通过恒等变形求下列极限： 22 21 43() 1()li ; ()lim;68; 5nn nx x 3 223 033 5 422()lim; ()li;21cot7li; 8lim;
17、(9)li1)(1)(1);(0)nx xx xxx xxx 3112310 0)()li ;lim; li;()og()(3)li; 14)limnxx xax x xx a 3sin ;sn52 (6.xx x 解： 221(1)(1)1()limlimli.2n nn1221112444()lili.()(3)limlilim()0.682.5()3nnxxxxxx143 323 33222200044(5)limlimlim2.1(1)(6)lilili(1).1x x xxx x x3332355 235323363253 55(7)limli()li 52li .xxxx xxx3
18、 344 24241cot1cot(8)limlim2()()ttclicot1ot3li .24x xxxxxx1222(9)lim)()()1li.nnnxxxxx 311 13122321432232141()()0)lim( ()li)()li(1.234!nx nnnnx nnxxxxxxxn 152223111223()limlimlim()()() .x x xx x x122121li()()()li 0lim.()xxx 1log(3)l()axa而 而10li().xxe1liogllnaauee0oglim.lnax(14)令 则 当 时， .1,xuog(1),a0xu
19、所以 (利用(13) 题的结果).000lili lnlog(1)()imxu aaua1 12 20 00336ln()ln()sinsi si0lim6l()6limli()snsn1le(15)li2)e.x xx xxxxxx (16)令 ， 则sinu0iixxu而 所以1lim0usnl.27. 利用重要极限 ，求下列极限：10i()euu2 2213cot0 01(1)li; (2)lim;3limtan);4licos);(5)(l(6).lnx xx xx xx x 16解：112221()limli e.limxxxx x1022121 5535()lililixxx x1
20、0255 10510lie.li12xx 2 22 3311cot tantan00 0(3)lim1tan)lime.lim(t)(3t) xxx x x cos211s222 1cos221cos220020033lnlncos()0003(cs1)ln()cos13limlin()silli(4)lics)ieiee xxxxxxxxxx x 1cos2201()sin6lelm66ee.xx 222(5)lin(2)lillimn12linl1ie. xx xxxx x (6)令 ，则当 时， .1xt0t11000limli 1.n() lnelnlim()i()xt t tt t2
21、8. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限： 110 02(1)li;()li;e 33lim;4li.sncoxxxx xx xabc 解：(1)令 ，则1(e)xylln(e)y17于是： 0000lne111limnlilimneime xxxx xxxxye0 0li lilinl 1ee1n2 xx xxx 即 即 即 .0limn2xy0lixy120limx(2)令 ，则13xabclnl3abc于是 00 330 3000 01lim(n)lili3lilimn11li li3xx xxxxx abcxabcxx xabcxxx xxxcyabcab 33(lnl)nelxab
22、ccabc 即 即 故30lim()l,xyab30liml,xy30limxyabc即 .130lixxbcab(3)令 ，则1sincoy1lnlsicoyx于是181sinco1sinco1sinco1limnlisincoli lsi1sincosl lnimxxxx xxxyxx 1sinco1sicxxx21sinlne(10)lelmlxx即 从而 故lin1xylixylimxy即 .1liesncox(4)令 ，则21y2llyx于是： 22 211lim(n)lilimnlilil0nexxxx xxxy即 lili(),0xx yy 即 .lim1xy21limxx29.
23、 当 时， 与 相比，哪个是高阶无穷小量？02x3解：32200lilixx当 时， 是比 高阶的无穷小量.32x1930. 当 时，无穷小量 与 是否同阶？是否等价？1x1x221(),)()x解： 211()limlixx当 时， 是与 同阶的无穷小.2x211()(2)lilixx当 时， 是与 等价的无穷小.2()31. 利用 或等价无穷小量求下列极限：0sinlmx 020(1)i; (2)limcot;sco2n(1esi)3l 4inart(5)lm; (6)li;x xxx xnx 2 21 03 20 02 20 04arct7li;8lim;rcsn() sitai os(
24、9)li;(1)li;rcsin c41(1)lm;()li() sntxxx xx xxxx x 2;ao(e)3li; 14lim.cs xx xab 解：(1)因为当 时，0sin,si,x所以 00ilml.xx00002000licoss(2)licotlicosli1.nnm1sii(3)lill2.sxxxxxxx(4)因为当 时， ,所以2 21ln(1ei)sin,x x202220000ln(1esi)esinsinimlmlielm.1xxxx(5)因为当 时， 所以arct3,x.00rtan3lilixxss22(6)lim2snlilim.nnnx(7)因为当 时，
25、 ,所以1arcsi()1x2211112244()lilililim().arcsn()xxx x(8)因为当 时， 所以02arctn,si,arcsin,.2200tlimlisrxx(9)因为当 时， ,所以x231in,co,sin23330001tasisi()lillimcos1im.2coxx x(10)因为当 时， ，所以xsin,sin2xx2 200202icolililim1().x xxx(11)因为当 时， 所以0x22arcsin,ln(1,xx21222000arcsin111lmlilim.()xxx(12)因为当 时， 所以si,i,2220 0222001
26、co4sinli linta(ec)8limlimssec84.li(ec)x xx xx x(13)因为 lncosl1(cos),lnosl1(os),axabbx而当 时，0,x故 l(cs)csl(cs)cs1,xxx又当 x0 进， 所以2211o,o,axb20000lncscscsimlilimli.xxxxab b(14)因为当 时，22si,exx故 222iniln,l,11exxx x所以 22 220 0 0222200002 sinlln(sie)ln(sie)lnemmim1sisinsinelliliel1.x xxxx xxxx32. 求下列函数在指定点处的左、
27、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？22在 处;,0,(1)xfx在 处.2,(2)10xf2x解： 000()lim)lili1,xxxf000lim()lili1xxxf因为 ()f所以 不存在.0li()xf(2) 22221li,li()li()4xxxxf 因为 不存在，所以 不存在.lim()fm33. 研究下列函数的连续性，并画出图形： 2 ,1,01,(1) (2); xxf f 2(3)lim;(4)lim.1x nn nf fxx 解：(1)由初等函数的连续性知， 在（0，1） ， （1，2 ）内连续，()fx又 11li()li(2),li()lixx xxf f
28、而 ， 在 处连续，,f()f又，由 ，知 在 处右连续，200lim()lixxf()f0综上所述，函数 在0， 2)内连续. 函数图形如下：图 1-2(2) 由初等函数的连续性知 在 内连续，又由()fx,1)(,)231111lim()li,lim()li,xxxxf f 知 不存在，于是 在 处不连续.1li()xf又由 111li,li()li,xxxf及 知 ，从而 在 x=1 处连续，()f()xf综上所述，函数 在 及 内连续，在 处间断.函数图形如下：(,)(,)1x图 1-3(3)当 x0 时，221()limlilimxxxnnnf1,0,()li,.xnxf由初等函数的
29、连续性知 在 内连续，()fx0),(又由 00 0lim()li1,limli(1)xxxxf f 知 不存在，从而 在 处间断.综上所述，函数 在 内lixf()f (fx,0)(连续，在 处间断.图形如下：24图 1-4(4)当|x|=1 时，21()lim0,nnxf当|x |1 时，2211()limlinnnxfx x即 ,1,()0,.xf由初等函数的连续性知 在(,1),(1,1),(1,+ )内均连续，又由)fx1111lim(li,lim(lixxxxf f 知 不存在，从而 在 处不连续.1li()xf)又由 1111li(li(,li()lixxxxf f 知 不存在，
30、从而 在 处不连续.1li()xf)综上所述， 在(,1),(1,1),(1,+ )内连续，在 处间断.x图形如下：图 1-52534. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续： 221(),2;3,01,2;tan1()cos,0;xyxkkyx,(4)1.3 解：211()()limli2xx2li3x是函数的可去间断点.因为函数在 x=1 处无定义，若补充定义 ，则函1 (1)2f数在 x=1 处连续；x =2 是无穷间断点. 02(2)lim,lim0tantanxxk 当 时， .klitxk为可去间断点，分别补充定义 f
31、(0)0,01,2x=1, ，可使函数在 x=0,及 处连续.( );()fk2k0,12,为无穷间断点,xk(3)当 时， 呈振荡无极限，021cosxx=0 是函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4) 11limli(3).xy0xx=1 是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)35. 当 x=0 时，下列函数无定义，试定义 的值，使其在 x=0 处连续:()f263 11tan2();();sin;4().xxf ff f 解：23330001(1)lim()lilim21xxxf x补充定义 可使函数在 x=0 处连续.,2f000tan(2)li()lili2xxx补充定义 可使函数
32、在 x=0 处连续.,f01(3)limsnixx补充定义 可使函数在 x=0 处连续.(),f100(4)liliexxx补充定义 可使函数在 x=0 处连续.(),f36. 怎样选取 a, b 的值，使 f(x)在(,+) 上连续？ 1,e,0, 2(1) (2); sin,.x axf fb 解：(1) 在 上显然连续，而()fx,)(00lim()li(),xxfa且 ,00limlie1xx(0)fa当 ，即 时， 在 处连续，所以，当 时，()()fff1fx1a在 上连续.,(2) 在 内显然连续.而()fx,)(,2272222lim()li(sn)1,lili,()1,xxx
33、xfbfafb当 ，即 时， 在 处连续，因而 在 上连续.12ba2bafx2()fx,)37. 试证：方程 至少有一个小于 1 的正根.1x证：令 ，则 在0,1上连续，且 ,由零点定()f()f (0)1,()0ff理， 使 即0,()0f2即方程 有一个小于 1 的正根.2x38. 试证：方程 至少有一个不超过 的正根，其中 .sinaxbab0,ab证：令 ，则 在 上连续，()fx()f0,且 ,(0),(1sin)f x若 ，则 就是方程 的根.()fababixab若 ，则由零点定理得.,使 即 即 ，即 是方程(0,)(0fsin0sinab的根，综上所述，方程 至少有一个不
34、超过 的正根.sinxabxa39. 设 在 上连续，且 ,证明：方程 在0，a 内至()f,2a()2f ()fx少有一根.证：令 ,由 在 上连续知， 在 上连续，且()()Fxfx(fx0,a()F0,)()(2()Faff若 则 都是方程 的根，(0)2,faf0,xxa若 ，则 ，由零点定理知，至少 ,使 ,()F(0)(0F即 ，即 是方程 的根，()f()fxa28综上所述，方程 在 内至少有一根.()fxa0,40.设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ，使 .()fx0,1(1fx0,1()f证：令 ,则 在 上连续，且()Ffx)F,(0)()0,FfF若 ，则 若 ,
35、则 ,若 ,则 ,由零点()f(f,1f定理，至少存在一点 ,使 即 .01)0()综上所述，至少存在一点 ，使 .f41. 若 在 上连续， ,证明:在 中必有 ，使()fx,ab12naxxb 1,nx.()()ffff证: 由题设知 在 上连续，则 在 上有最大值 M 和最小值 m，于是()fx1,nfx1,n,12()()ffm由介值定理知，必有 ，使1,nx.12()()nfxffxf习题二1 设 ，求 .2sgt2dts解： ，故 .dt2tg2(1) 设 ，求1()fx0();fx解： 0002.xff(2) 设 求()1)(),f xn (0.f29解： 00()()limli
36、(1)2()1!xxnff xn3下列各题中均假定 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么.0()f(1) 0()li ;xfxA解： 00000()()(mlim()xffxffx故 ()Af(2) 00(,li;xff A解： 000()()limli()xxfffx故 ()Af(3) 00()li .hxfhA解： 0000000 00()()()()(limlim)lim()2()h h hfffxffxfxfxffx 故 02().Afx4讨论函数 在 点处的连续性和可导性.3y0解： ,故函数在 处连续.30lim()xfx又 ,故函数在 处不可导.2300lilixx
37、05设函数2,1,().xfab为了使函数 在 点处连续且可导， 应取什么值？fx,ab解：因 211lim()li()xxf3011lim()li()xxfab要使 在 处连续，则有 1,ab又211()()lilim,xxff11lili,xxabaf 要使 在 处可导，则必须 ，() ()1ff即 故当 时， 在 处连续且可导.2.a,bx6. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1) sin,0;yx解：因为 所以此函数在 处连续.,0lmxxy0x又 0()sin()il1,xxff 0li ，故此函数在 处不可导.()ff(2) 21sin, 0;0, xxy解：因为 故函数在 处连续.20lims(),xyx又 ,2001sin()()lilxxfy故函数在 处可导.(3) ,1, .2x解：因为 11lim()li(2)xxf,故函数在 x=1 处连续.11li()li()1xxff
