1、 黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 1 of 121函数专题突破 22.1 函数概念与表示题型 1：函数概念例 1 （1）设函数 ).89(,10()5()3)( fxfxf 求（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f （x）：图象关于 y 轴对称；对定义域内任意不同两点 , 都有 答：12、 1212()()xfxff.变式题：（2007 山东 文 2）设 （ ）123,() (2)log().xef f ， 则 的 值 为，A0 B1 C2 D3例 2 （2007 安徽 文理 15）（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若
2、 _；fxx1fxf5,ff题型二：判断两个函数是否相同题型三：函数定义域问题例 4求下述函数的定义域：（1） ； （2）02)3()1lg()xxf ).lg()l()2axkxf 例 5已知函数 定义域为(0，2) ，求函数的定义域： g(x)= .f 2()3f变式题：已知函数 f（x ）= 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ）3123axAa B12a0 C12a0 Da31 31题型四：函数值域问题例 5求下列函数的值域：（补充题另附）（1） ；（2） ；（3） ；23yx265yx12xy（4） ；（5） ；（6） ；1|4|黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老
3、师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 2 of 122（7） ；（8） ；（9） 。21xy21()xy1sin2coxy题型五：函数解析式例 6 （1）已知 ，求 ；3()fxx()f（2）已知 ，求 ；lg()f（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；()fx31)2()17fx()fx（4）已知 满足 ，求 。2()fx题型六：函数应用题及综合题15. 已知函数 的定义域为 ，且同时满足：()fx0,1(1)对任意 ，总有 ；(2),()2fx(1)3f(3)若 且 ，则有 .121212()xfxf(I)求 的值；0f(II)求 的最大值；x2.2 函数基本性质题型一：判断函数的奇
4、偶性例 1讨论函数的奇偶性： 22()1(1);fxogx例 2(2002 天津文.16)设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数： y=|f（x）|；y=xf（x 2） ；y =f（x ） ；y=f （x）f （x） 。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）题型二：奇偶性的应用（1）已知 ， ，则 _()2xf()0fa()fa（2）设 ，且 ，则 _09209sin4abx3lgo105(lg3)f（3）设 是 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时，()fxR,)()fx(,0)x=_()f黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 3
5、of 123例 3已知函数 为奇函数， ，且不等式 的解集是baxcf2)( )3(1f23)(0xf1,24,（1）求 a,b,c。 （2）是否存在实数 m 使不等式 对一切 成立？若存在，)sin2(2mfR求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。题型三：判断证明函数的单调性例 5已知函数 |1()2xf（1）若 ，求 的值；x（2）若 对于 恒成立，求实数 m 的取值范围()(0tfmft 12t，例 6已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+ ，讨论 F (x)1的单调性，并证明你的结论。题型四：函数的单调区间例
6、 7设函数 ，若对于任意的 都有 成立，则实数 的值3()1()fxaxR1,x0)(xfa为 例 8 （1）求函数 的单调区间；20.7log(3)yx（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性。()8,f2()fx()gx题型五：单调性的应用例 9已知偶函数 f(x)在(0，+ )上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog 2(x2+5x+4)0。例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数 m，使f(cos2 3)+f (4m2mc os )f(0)对所有 0, 都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m2的范围，若不存在，说明理由。黄庄
7、高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 4 of 124题型七：周期问题例 13若 y=f(2x)的图像关于直线 和 对称，则 f(x)的一个周期为（ ）2ax)(abA B C D2ba)(b2)(4ab例 14已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 是奇函数()yfxR5T()1)yfx 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 。()f0,11,425证明： ； 求 的解析式； 求 在 上的解析式。4(),yfx()yfx4,9题型八：对称问题例 15.设函数 的定
8、义域为 R，给出下列六个命题：其中正确的命题是_)(xfy（1）若 为偶函数，则 的图像关于 y 轴对称；)2(xfy（2）若 ，则 的图像关于直线 y 轴对称；)2()(xff（3）若 为偶函数，则 的图像关于直线 x=2 对称；y)(xfy（4）函数 和 的图像关于直线 x=2 对称；)(xff（5）若 ，则函数 的图像关于点（2,0）对称；2)(xfy（6）若 ，则 是周期函数，)()1(xff2.3 基本初等函数题型 1：指数运算题型 2：对数运算例 3计算（1） ；（2） ；2(lg)l50lg 3948(log2l)(log3l)例 4设 、 、 为正数，且满足 头htp:/w.x
9、jkygcom126t:/.j abcab（1）求证： ；22lo(1)l()题型 3：指数、对数方程例 5设关于 的方程 R） ，xbx(041（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 5 of 125（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例 6设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ ）aR3axyeRA B C D313a13a题型 4：指数函数的概念与性质题型 5：指数函数的图像与应用例 9若函数 的图象与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是（ ）myx|1)2(Am1
10、B1m1 时，函数 y=logax 和 y=(1a) x 的图象只可能是 ( )黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 6 of 126A1oy xB1oy xC1oy xD1oy x题型 8：指数函数、对数函数综合问题例 16已知函数 为常数）1,0)(log)( axaxf（1）求函数 f(x)的定义域；（2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。（3）若函数 y=f(x)是增函数，求 a 的取值范围。例 18设 ， ，且 ，求 的最小值。12logl30xy24Txy2.4 函数图象及其数字特征四种图象变换：平移变换、对称
11、变换、翻折变换和伸缩变换等等；题型 1：作图（2） （2008 江西卷 10 ）函数 在区间 内的图象是tansitansiyxx3(,)2题型 2：识图例 3已知函数 满足 ，且当 时， ，则)(Rf)1()(xff 1,x2)(xf与 的图象的交点个数为 （ ） )(xfyx5logA、2 B、3 C、4 D、5题型 3：函数的图象变换点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例 6 （08 湖北理 5）在平面直角坐标系 中，满足不等式组 的点 的集合用阴影表示为下列图中的 ( )xOy,1xy(,)x黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page
12、7 of 127题型 4：函数图象应用例 7函数 与 的图像如下图：则函数 的图像可能是（ ）()yfx()g()yfxg y=f(x)oy xy=g(x)oy x oyxoyxoy xoy xABCD例 8已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知 ，方程 的实根个数为（ ）10a|log|xaxA2 B3 C4 D2 或 3 或 4例 10设 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）2()|fx0b()fbaA B C D(0,)(,(0,4(0,2)设 分别是方程 和 的根，则 ， 2log3xx _（2009 新课标辽宁
13、卷 12）若 满足 ， 满足 ，则125x22log15x12xA B C D523744(2010.湖南.文 8) 函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是 2yaxb|log(0,|)bayb( )21oy xC D黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 8 of 1285(2009.山东.理 6) 函数 的图像大致为xey题型 2：利用函数判断方程解的个数2.1(2011.北大附)关于 x 的方程 ( )1logxa(01)且A.仅当 时有唯一解 B.仅当 时有唯一解 C.有唯一解 D.无解 a1 012.2(2005.上海.理 16) 设
14、定义域为 R 的函数 ，则关于 的方程f(x)|lg|x1|,x10, x有 7 个不同实数解的充要条件是（ ）f2(x)bf(x)c0A 且 B 且 C 且 D 且b0c0b0c0b0c0b0c02.3(2010.全国 I 理.15) 直线 与曲线 有四个 交点，则 的取值范围是 . y1 yx2xa a2.4(2011.北京.理 13) 已知函数 ，若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根，则3,()1)2fx数 k 的取值范围是_题型 3：利用函数图像求解不等式的取值范围3.1(2009.天津.理 8) 已知函数 ，若 则实数 的取值范围24,0()xxf2()(,faf a是
15、A B C D (,1)(2,)(1,2)(2,1)(,2)(1,)3.2(2007.安徽.理 3) 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） xR x ax aA B C D a1 a 1 a1 a 13.3(2010.新课标全国卷.理 24) 设函数 ,若不等式 的解集非空，求 的取 f(x)|2x4|1 f(x) ax a值范围_黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 9 of 1293.4(2010.新课标全国理.11) 已知函数 若 互不相等，且|lg,01,()6.2xf a,bc则 的取值范围是 f(a)f(b)f(c
16、), abc(A) (B) (C) (D) (1,0) (5,6) (10,2)(20,4)3.5(2009.海南.宁夏.理 12) 用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值，设,f(x)min2x, 2, 10x 则 的最大值为( )(x0)fx)（A）4 （B）5 （C）6 （D）7题型 4：求函数的零点或零点所在的区间4.3(2011.北大附中)设 是方程 的解，则 属于区间( ) x0 lnx4 x0A (0,1) B (1,2) C (2,3) D(3,4)4.4(2011.北大附中)设函数 与函数 图像的交点为 ，则 所在的区间是( )3y21()xy0(,)xy x
17、0A (0,1) B (1,2) C (2,3) D(3,4)题型 5：方程根的个数与函数零点的存在性问题5.1（2011 西城高三文 8）设函数 ， 的零点分别为 ，121()log()xfx212()log()xf12,x则（A） （B） （C） （D）120x12x12x12x5.2(2010.海淀二模.文 6/理 4) 函数 在定义域内零点的个数为 ( )()lnfA0 B1 C2 D35.3(2011.新课标全国文.12) 已知函数 的周期为 2，当 x时 ,那么函数yf(x) 1, f(x)2的图像与函数 的图像的交点共有yf(x) ylgx（A）10 个 （B）9 个 （C）8
18、个 （D）1 个5.4(2011.新课标全国理.12 改编 ) 函数 的图像与函数 的图像所有交点yx2sin(4)yx的个数为_(原题问：所有交点的横坐标之和 )黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 10 of 12105.5(2010.101 中学)判断方程 的负实数根的个数，并说明理由。 3x205.6(2011.人大附中)关于 的方程 ，给出下面的四个命题： x 2(1)|0xk存在实数 k，使得方程恰好有 2 个不同的实数根；存在实数 k，使得方程恰好有 4 个不同的实数根；存在实数 k，使得方程恰好有 5 个不同的实数根；存在实数
19、k，使得方程恰好有 8 个不同的实数根；A 0 B 1 C 2 D 3题型 6：幂函数概念及性质题型 7：抽象函数问题例 13函数 的定义域为 D： 且满足对于任意 ，有)(xf 0|xDx21, ).()(2121xfxf（）求 的值；（）判断 的奇偶性并证明；1)(f（）如果 上是增函数，求 x 的取值范围。),0(),36213(,)4( 在且 xfxff变式训练：（1）已知 为 上的奇函数，且在 上是增函数()yfx)， (0)，求证： 在 上也是增函数；(0，若 ，解不等式 ，1()2f 41(log)fx例 14设函数 上满足 ，且在闭区间0 ，7),()在xf )7()(),2(
20、)( xffxff 上，只有 .031(（）试判断函数 的奇偶性；)(xfy（）试求方程 在闭区间2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论。题型 8：函数图象综合问题黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 11 of 1211例 15如图，点 A、B、C 都在函数 y= 的图象上，它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2。又 A、B、Cx在 x 轴上的射影分别是 A、B、C ,记ABC 的面积为 f(a)，ABC的面积为 g(a)。 （1）求函数 f(a)和 g(a)的表达式；（2）比较 f(a)与 g(a)的大小，并证明你的结论。2.5
21、函数与方程二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af(r)0；二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r 0)(,2,4rfabc二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内有两根 ;0)(,2,4pfaqbac二次方程 f(x)=0 在区间(p，q)内只有一根 f(p)f(q)0，或 f(p)=0(检验) 或 f(q)=0(检验)检验另一根若在( p，q) 内成立。题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设 a
22、 为常数，试讨论方程 的实根的个数。)lg()3l()1lg(xa题型 2：零点存在性定理例 3设函数 ，其中常数 为整数。()ln()fxm（1）当 为何值时， ；m0f（2）定理：若函数 在 上连续，且 与 异号，则至少存在一点 ，使()gx,ab()gab0(,)xab得 试用上述定理证明：当整数 时，方程 在 内有两个实根。0()gx1m0fx2,me黄庄高数组 唐时成 稳定持久赢高分北京高考唐老师经典讲义 高中数学.函数专题 Page 12 of 1212题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 9 设二次函数 ，方程 的两个根 满足fxabxc20fx0x12,. 当 时，证明 。x102101,f1题型 6：一元二次函数与一元二次不等式例 11设 ，若 ， ， , 试证明：对于任fxabxc20f1ff 1意 ，有 。154题型 7：二次函数的综合问题例 13已知函数 。xzaf2)(（1）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数 的解析式；y )(xgy)(xgy（2）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数 的解析式；)(xh)(xgy1h（3）设 ，已知 的最小值是 且 ，求实数 的取值范围。1faFFm72a
