1、1离散数学（课件上习题）第一章例 1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 2 是个素数。 雪是黑色的。 2013 年人类将到达火星。 如果 ab 且 bc，则 ac 。 （其中 a,b,c 都是确定的实数） x+y5 请打开书！ 您去吗？ 是命题例 1-2.1 P： 2 是素数。P：2 不是素数 。例 1-2.2 P：小王能唱歌。Q：小王能跳舞。PQ：小王能歌善舞。例 1-2.3. 灯泡或者 线路有故障。 （析取“” ）例 1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 （异或 、排斥或 。即“” ）注意：P Q 与 (P Q)(QP ) 是一样的。归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分
2、别是：（1）否定 “ ” (2) 合取 “ ” (3) 析取 “ ” (4) 异或 “ ” (5) 蕴涵 “ ” (6) 等价 “ ” 例 1-2.5： P 表示：缺少水分。Q 表示：植物会死亡。PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。PQ：也称之为蕴涵式，读成 “P 蕴涵 Q”， “如果 P 则 Q”。也说成 P 是 PQ 的前件，Q 是 PQ 的后件。还可以说 P 是 Q 的充分条件，Q 是 P 的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子P：天气好。 Q：我去公园。1.如果天气好，我就去公园。2.只要天气好，我就去公园。3.天气好，我就去公园。4.仅当天气好，我才去公园。5.只有天气好，我才去公园
3、。6.我去公园，仅当天气好。命题 1.、2.、3.写成： PQ 命题 4.、5.、6.写成： QP例 1-2.6： P： ABC 是等边三角形。 Q ：ABC 是等角三角形。PQ ：ABC 是等边三角形 当且仅当它是等角三角形。2课后练习：填空已知 PQ 为 T，则 P 为( )，Q 为( )。已知 PQ 为 F，则 P 为( )，Q 为( )。已知 P 为 F，则 PQ 为( )。已知 P 为 T，则 PQ 为( )。已知 PQ 为 T，且 P 为 F ，则 Q 为( )。已知 PQ 为 F，则 P 为( )，Q 为( )。已知 P 为 F，则 PQ 为( )。已知 Q 为 T，则 PQ 为
4、( )。已知 PQ 为 F，则 P 为( )， Q 为( )。 已知 P 为 T， PQ 为 T，则 Q 为( )。已知 Q 为 T, PQ 为 T，则 P 为( )。已知 PQ 为 T ，P 为 T , 则 Q 为( ).已知 PQ 为 F ，P 为 T , 则 Q 为( ).PP 的真值为( ).PP 的真值为( )。13 节例 1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。P：离散数学是有用的。Q：离散数学是枯燥无味的。该命题可写成： (PQ)例 2. 如果小张与小王都不去，则小李去。P ： 小张去。 Q ： 小王去。 R ： 小李去。该命题可写成： (P Q)R如果小张与小王不都去，则小李去。
5、该命题可写成： (PQ)R也可以写成： (P Q)R例 3. 仅当天不下雨且我有时间，才上街。P：天下雨。Q：我有时间。R ：我上街。分析：由于 “仅当 ”是表示 “必要条件 ”的，既 “天不下雨且我有时间 ”，是 “我上街 ”的必要条件。所以 该命题可写成： R(PQ) 例 4. 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。P ： 人犯我。Q ： 我犯人。该命题可写成：(P Q)(PQ)或写成： PQ例 5 .若天不下雨，我就上街；否则在家。P：天下雨。Q ：我上街。R ：我在家。该命题可写成： (PQ)(PR).注意：中间的联结词一定是“” ，而不是“” ，也不是“ ” 。314 节重言(永真
6、) 蕴涵式证明方法方法 1.列真值表。方法 2.假设前件为真，推出后件也为真。例如求证：(AB)C) D(CD) AB证明:设前件(AB) C)D(CD) 为真则(AB)C)、 D、( CD)均真，D 为 T，则 D 为 FCD 为 T 得 C 为 F(AB)C )为 T 得 AB 为 F如果 A 为 F，则 A 为 T，所以 A B 为 T。如果 B 为 F，则 B 为 T，所以 AB 为 T。 (A B)C)D( CD) A B方法 3.假设后件为假，推出前件也为假 。例如求证： (AB) C)D ( CD) AB证明: 假设后件 AB 为 F, 则 A 与 B 均为 T 。1. 如 C
7、为 F ，则(A B)C 为 F，所以 前件(AB)C)D(C D) 为 F 。2. 如 C 为 T ，则 若 D 为 T ，则 D 为 F ， 所以前件(AB) C) D( CD) 为假；若 D 为 F，则 C D 为 F ， 所以 前件(AB)C)D(C D) 为假。(A B)C)D( CD) A B重要的重言蕴涵式( 如教材第 43 页所示) （课件中出现过多次，可不用记忆）I1. P QP I2. PQ QI3. PPQ I4. QPQI5. PPQ I6. QPQI7. (PQ)P I8. (PQ)QI9. P,Q PQ I10. P(PQ)QI11. P(P Q)Q I12. Q(
8、P Q)PI13. (PQ)(Q R)PRI14. (PQ) (PR)(Q R)RI15. AB (AC)(BC)I16. AB (AC)(BC)15 节重要的等价公式（课件中出现多次，可不用记忆） 对合律 P P 幂等律 PPP PPP 结合律 P(QR)(PQ)R P(Q R)(PQ)R 交换律 PQQP PQ QP分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ) (PR) 吸收律 P(P Q) P P(PQ)P底-摩根定律 (PQ)PQ (PQ)PQ 同一律 PF P PT P 零律 PTT PFF 互补律 PP T PP F PQ PQ PQ QP PQ (PQ)(QP) PQ
9、(PQ)(P Q) PQ (PQ)( PQ )4例题 1. 求证吸收律 P(P Q) P证明 ： P(PQ) (PF)(PQ) (同一律)P(FQ) (分配律)PF (零律)P (同一律)例题 2. 求证 (PQ)(PQ) P证明 (PQ)(PQ)(PQ)(PQ) ( 公式 E16) (PQ)(PQ) ( 摩根定律) (PQ)(PQ) ( 对合律)P(QQ) ( 分配律) PT ( 互补律) P ( 同一律)公式 E16 ： PQPQ 例题 3.化简 (PQ)(P(P Q)解 原公式 (PQ)( PP)Q) (E16,结合)(PQ)( P Q) (对合律，幂等律)(PQ)(Q P) (交换律)
10、(PQ) Q)P (结合律)QP (吸收律)公式 E16 ： PQPQ 1-6.范式(Paradigm)例 1. 求 PQ 和 PQ 的 主析取范式方法一：真值表PQ m0 m1m3 (PQ)( PQ)(PQ)PQm0m3 (PQ)(PQ)方法 ：用公式的等价变换 先写出给定公式的析取范式 A1A2 .An 。 为使每个 Ai 都变成小项，对缺少变元的 Ai补全变元，比如缺变元 R ， 就用 联结永真式(RR) 形式补 R 。 用分配律等公式加以整理。PQPQ(P(Q Q)(P P) Q)(PQ) (PQ) (P Q) (PQ)(PQ) (PQ) (P Q)TTTTFFFTFTTFTTFFPQ
11、PQQP5思考题: 永真式的主析取范式是什么样 ？（包含所有小项）例 2.求 PQ 和 PQ 的 主合取范式PQ M2 PQ PQ M1M2 (PQ )( PQ)方法：用公式的等价变换 先写出给定公式的合取范式 A1A2 .An 。 为使每个 Ai 变成大项，对缺少变元的析取式 Ai 补全变元，比如缺变元 R ， 就用联结永假式(RR) 形式补 R 。 用分配律等公式加以整理。例如，求(PQ)R 的主合取范式(PQ)R (PQ) R (PQ) R (PR)( QR) (P(Q Q)R)(P P)QR) (PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (PQ R)例 3. 安排
12、课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节；教数学课的教师希望将课程安排在第二或第三节；教原理课的教师希望将课程安排在第一或第二节。如何安排课表，使得三位教师都满意。令 L1 、L2 、L3 分别表示语言课排在第一、第二、第三节。 M1 、M2 、M3 分别表示数学课排在第一、第二、第三节。 P1 、P2 、P3 分别表示原理课排在第一、 第二、第三节。三位教师都满意的条件是：(L1L3)(M2M3)(P1 P2 ) 为真。将上式写成析取范式( 用分配律 ) 得：(L1M2) (L1M3)(L3 M2) (L3M3)(P1P2)(L1 M2P1)(L1M3P1)(L3M2 P1)(L3
13、M3P1)(L1M2 P2)(L1 M3P2)(L3M2 P2)(L3 M3P2) TTTTFFFTFTTFTTFFPQPQQP6可以取(L3 M2P1)、(L1M3P2) 为 T ， 得到两种排法。课堂练习：1.已知 A(P,Q,R)的真值表如图： 求它的主析取和主合取范式。2.已知 A(P,Q,R)的主析取范式中含有下面小项 m1, m3, m5, m7求它的主合取范式.3.已知 A(P1,P2,Pn)的主合取范式中含有 k 个大项，问它的主析取范式中有多少个小项？课堂练习答案1.A(P,Q,R)的主析取范式:A(P,Q,R) m0m3m4m6m7 (PQR)( PQ R)(PQR)(PQ
14、R)(PQ R)A(P,Q,R)的主合取范式：A(P,Q,R) M1M2M5 (PQR)(PQ R)( PQR) 2. A(P,Q,R) M0M2M4 M6 (PQR)(PQR)(PQR) ( P QR)3. A(P1,P2,Pn)的主析取范式中含有 2n-k 个小项.1-7. 命题逻辑推理例题求证 PQ，QR ，P R证明序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式(1) P P(2) PQ P (3) Q T (1)(2) I11 (4) QR P (5) R T (3)(4) I11例题求证(PQ)(Q R)R P(1) QR P(2) R P(3) Q T (1)(2) I10(
15、4) (PQ) P(5) PQ T (4) E8(6) P T (3)(5) I10注公式 I10 为： P,PQ Q 公式 E8 为： (PQ) PQ 例题 用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性：如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不及格。因此，我热衷于玩朴克。解:设 P：我学习。TTTTTFTTFTFTTFFTTTTFFFTFFTFFTFFFA(P,Q,R)RQP7Q：我数学及格。R：我热衷于玩朴克。于是符号化为：PQ， RP ，Q RPQ，RP，Q R(1) PQ P(2) Q P (3) P T (1)(2) I12 (4) R P P(5
16、) R T (3)(4) I12 (6) R T (5) E1注：公式 I12 为： Q，PQ P公式 E1 为： RR 例题求证 P(QS),RP,Q RS 证明(1) P(QS) P(2) P( QS) T (1) E16(3) P(SQ) T (2) E3(4) (PS)Q T (3) E5 (5) Q P (6) PS T (4)(5) I10(7) PS T (6) E16(8) RP P(9) RP T (8) E16(10) RS T (7)(9) I13例题 用条件论证，证明例题P(QS), RP,Q RS证明 (1) R P(附加前提)(2) RP P(3) P T (1)(
17、2) I10(4) P(QS) P(5) QS T (3)(4) I11(6) Q P(7) S T (5)(6) I11(8) RS CP例题 用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性： 如果体育馆有球赛，青年大街交通就拥挤。在这种情况下，如果小王不提前出发，就会迟到。因此，小王没有提前出发也未迟到，则体育馆没有球赛。证明 先将命题符号化。设 P：体育馆有球赛。Q：青年大街交通拥挤。R：小王提前出发。S：小王迟到。PQ，(QR)S (R S)P PQ，(QR)S (R S)P8证明(1) R S P(附加前提)(2) R T (1) I1(3) S T (1) I2(4) (QR)S P(5)
18、 (Q) T (3)(4) I12(6) QR T (5) E8 (7) Q T (2)(6) I10(8) PQ P(9) P T (7)(8) I12(10)(RS) P CP例 PQ,(QR)R, (PS)S 证明(1) S P(假设前提)(2) S T (1) E1(3) (PS) P(4) PS T (3) E8(5) P T (2)(4) I10(6) PQ P(7) Q T (5)(6) I11(8) (QR)R P(9) QR T (8) I1 (10) R T (8) I2(11) R T (7)(9) I10(12) R R T (10)(11) I9第一章 习题课1.有工
19、具箱 A、B、C、D，各个箱内装的工具如下表所示。试问如何携带数量最少工具箱，而所包含的工具种类齐全。解：设 A、B、C、D 分别表示带 A、B 、C、D 箱。则总的条件为：(AC) (A BD) (B C)(BD) 为真。改锥 扳手 钳子 锤子将(A C)(AB D) (B C)(BD)写成析取范式，上式(A C)(BC)(A(BD)(BD) (交换 )(AB)C)(BD) (分配( 提取 C)、吸收)工具箱 改锥 扳 手 钳 子 锤 子A 有 有 B 有 有 有C 有 有 D 有 有9(ABB )(CB )(ABD)(CD) (分配)(AB)(CB )(A BD) (CD)分别可以取(A
20、B)、(CB )、(CD) 为真。于是可以得到三种携带方法：带 A 和 B 箱， 带 B 和 C 箱，带 C 和 D 箱。请根据下面事实，找出凶手：1. 清洁工或者秘书谋害了经理。2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。6.经理有钱且清洁工不富裕。7.午夜时屋里灯灭了。令 A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的.E:午夜时屋里灯光灭了。H:清洁工富裕. G:经理有钱.命题符号为：AB,AC,DC,
21、DE,HA,GH,E ?AB,AC,BC, DC DE,HA,GH,E ? E P DE P D T I D T E DC P C T I AC P A T I AB P B T I结果是秘书谋害了经理。10第一章 小结本章的重点内容、及要求： .逻辑联结词，要熟练掌握联结词的真值表定义以及它们在自然语言中的含义。其中特别要注意“”和“”的用法。.会命题符号化。.掌握永真式的证明方法：(1).真值表。(2).等价变换，化简成。(3).主析取范式。.掌握永真蕴含式的证明方法，熟练记忆并会应用43页中表1-8.3中的永真蕴含式。.掌握等价公式的证明方法，熟练记忆并会应用43页表1-8.4中的等价公式。.熟练掌握范式的写法及其应用。.熟练掌握三种推理方法。以上自己是不是都已经熟练掌握了呢？
