1、 高等数学 II-B复习题集1目录第五章1. 定积分计算（几何意义（面积代数和） 、性质、公式、换元、分部）2. 应用：面积、体积3. 反常积分第六章1. 可分离微分方程2. 一阶线性微分方程3. 二阶常系数齐次方程4. 二阶常系数非齐次方程特解形式第七章1. 向量的数量积和向量积2. 空间直线和平面方程、旋转曲面方程、3. 夹角第八章1. 二元函数定义域和极限2. 二元函数和复合函数的偏导数、全微分及应用、二阶偏导数3. 空间曲线的切线和法平面方程、空间曲面的切平面和法线方程4. 二元函数极值第九章1. 二重积分的几何意义、性质及二重积分计算(直角坐标和极坐标系)2. 两种积分次序转换第十章
2、1. 级数敛散性的判别、性质，2. 幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域、和函数3. 将函数展开成幂级数2第五章主要内容1. 定积分计算（几何意义（面积代数和） 、性质、公式、换元、分部）积分上限函数求导公式 )()()() xafxbfdtfxba 牛顿莱布尼茨公式如果函数 F (x)是连续函数 f (x) 在区间a b上的一个原函数 则dfba换元积分法假设函数 f(x)在区间a b 上连续 函数 x(t)满足条件 (1)()a ()b (2)(t)在 (或 )上具有连续导数 且其值域不越出a b 则有 dttfdxfba)()(分部积分法 或 vuvu vduubaba2. 应用：一、平面图
3、形的面积1直角坐标情形 dxfxfSba)(下上 dcdyyS)(左右 2极坐标情形 S21二、体 积1旋转体的体积1) 由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体 dfdVba22)(2) 由连续曲线 xg(y)、直线 yc 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体 gdc22)(2平行截面面积为已知的立体的体积设立体在 x 轴的投影区间为a b 过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截 截面面积为 A(x) 则体积元素为 A(x)dx 立体的体积为 dAVba)(3. 反常积 dxfdxfbaa)(lim
4、)(dxfdxfbab)(lim)( dxfxfbtatba)(lim)(3利用几何意义计算1. 102xd2. sin3. 204dx4. sin5. dx12i基本公式1. 312x2. 0sind3. 212)(x4. 012413d5. 20sinx6. 302)(d换元法1. 123)5(dx2. 3sin3. 41dx44. 203cosinxd分部1. 210arcsinxd2. 402sindx3. 20cosx4. 10dex5. 41lnx求导1. xdt02)1cos(2. 23xt3. xtde024. 1cos2xte5求极限1. 302sinlmxdtx2. 20)
5、1ln(ixdtx3. 21cos0lixdtex4. xdtexln12im证明1. 2020sincosxdxdn2. 1010 )()(dxdxmnnm3. 设 在 连续, 证明 )(xfbababa dxfdxf )()(6面积: 1. 计算由 及 所围成的图形的面积. xy222. 计算由 及 所围成的图形的面积. xy24y3. 计算由 及 所围成的图形的面积. xyx4. 计算由 及 所围成的图形的面积. 2xy3x5. 计算由 及 所围成的图形的面积. ,2xyxy26. 计算由 与 轴所围成的图形的面积. 3)0(x7. 计算由 所围成的图形的面积. )cos1(a体积1.
6、计算由 及 所围成的图形绕 轴所得旋转体体积. xy22x2. 计算由 所围成的图形绕 轴所得旋转体体积 . 16)5(22yxx3. 计算由 , 及 所围成的图形绕 轴所得旋转体体积 . 3xy02xx4. 计算由 , 及 所围成的图形绕 轴所得旋转体体积 . 3xyxy7弧长1. 计算 的一拱 的长度 . )cos1(inayx )20(反常积分1. 12dx2. x3. 14dx4. 1x5. 0dx证明1. 当 时收敛 , 当 时发散. 1dxp11p2. 当 时收敛, 当 时发散. )()(1abdxbaq10q1q8综合1. 设 , 求 . 1ln)(20xdtfx )(xf2.
7、设 , 求 . 2)(xefxdf10)(3. 设 , 求 . sin)(21xdtf xdf10)(9第六章内容要点定理 3 设二阶非齐次方程 4)的右端 是几个函数之和, 如 )(xf21fqypy而 与 分别是方程 , *12)(1xf2qypy的特解, 那么 就是原方程 4)的特解.*2*1101 求通解(可分离变量)1) 2xyd2) xyd23) 0cosinsicoydxyx4) tasectasec22xyydx2 求通解或特解(一阶线性) 25)1(1xydxxeyd)23 求通解或特解(二阶) 041y2) 032y113) 03y52)4y5,2,0) 00xxyy9)
8、xey10) 132xy4 求特解1) 的待定特解 = .xeycos2*y2) 的一个特解形式是 .3963) 的一个特解形式是 .12 xy4) 已知 是某个二阶常系数齐次线性方程的两个解, xe,则该方程为 5. 设 可导, 则满足 , 求 . )(xf 20)()(xfdtfx .0)(f)(xf12第七章内容要点1. 向量的数量积和向量积 ) ,(),( zyxxOMzyx kjir设有点 A (x1 y1 z1)、B(x 2 y2 z2) 则(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) 于是点 A 与点 B 间的距离为212121)()()(| z设 a
9、(ax ay az)0 b(bx by bz) 数量积 ab|a| |b| cos axbxaybyazbz 22|cos zyxzyxbabaabab0向量积：c zyxba kjic 的模|c |a|b|sin 其中 为 a 与 b 间的夹角; c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面a/bab02. 空间直线和平面方程、旋转曲面方程、当平面 上一点 M0(x0 y0 z0)和它的一个法线向量 n(A B C)为已知时 平面方程为 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 当直线 L 上一点 M 0(x0 y0 x0)和它的一方向向量 s(m n p)为已知时直线方程为 pznm3. 夹角
10、两平面的夹角 221221 |) ,cos(| CBA两直线的夹角 |) ,s(|21221| pnmpn13直线与平面的夹角 222|sinpnmCBA一、选择1. 设向量 则 与 的夹角为( )。),21(a),10(babA. 0； B. ； C. ； D. 。6422. 已知 ,则它们夹角为( ) ),()A. B. C. D. 433. 直线 与平面 的夹角为( )12zyx 06zyxA. B. C. D. 04324. 向量 与 平行, 则 分别为 ( ).)5,32(a)(nmbn,A. 3 和 5; B. 3 和-5; C. -3 和 5; D. -3 和-5.二、 填空1.
11、 直线 与平面 的交点为 24132zyx 06zyx。2. 点 到平面 的距离为 。)1,2( 0zyx3. 曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面方程为 . 036942z4. 过点 且平行于 的平面方程为 )3,14(A34zx。5. 过点 且垂直于 的直线方程为 ,。三、求解1. 已知 求直线 的方程。),2,(A),031(BAB142. 已知 ， 求该直线的对称式方程及参数方程。421zyx3. 求过点 且与直线 平行的直线方程。)4,20(A231zyx4. 求过点 的平面方程。),412(A),23(B)3,0(C5. 求过点 且与直线 垂直的平面方程。)3,02(A0125374zy
12、x6. 求过点 与直线 的平面方程。)1,03(A1231zyx15第八章复习要点1. 二元函数定义域和极限连续：函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 ),(),lim0),(),0yxffyx2. 二元函数和复合函数的偏导数、全微分及应用、二阶偏导数、二元函数极值应用偏导： xyffyxf),(,(lim),(0 yxfxfxfy),(,(li),(0高阶偏导： ),(2fz),(2fzx ),()(yxfyx),()(2yf全微分： 2oBAz dyzxdz近似计算： z dz f x (x y)xf y (x y)y 即 f (xx yy) f(x y)f x (x y)xf
13、 y (x y)y 复合：代入或用如下公式1. zf(u v) ， u(t)及 v(t) dtvztudtz2. zf(u v)，u (x y) v(x y) ，x yvzuy隐函数：F(x y)0 yFdF(x y z)0 zxz3. 空间曲线的切线和法平面方程、空间曲面的切平面和法线方程1 空间曲线： x(t) y(t) z(t)16切线方程为 )()(00tztytx法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)02 空间曲面： F(x y z)0 切平面的方程 Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0
14、 法线 ,) , , z4. 二元函数极值定理 1(必要条件) 设函数 zf(x y)在点(x 0 y0)具有偏导数 且在点(x 0 y0)处有极值 则有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 定理 2(充分条件) 设函数 zf(x y)在点(x 0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则 f (x y)在(x 0 y0)处是否取得极值的条件如下 (1) ACB20 时具有极值 且当 A0 时有极小值 (2) ACB20 时没有极值 (3) ACB20 时可
15、能有极值 也可能没有极值 极值的求法 第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0 求得一切实数解 即可得一切驻点 第二步 对于每一个驻点(x 0 y0) 求出二阶偏导数的值 A、B 和 C 第三步 定出 ACB2 的符号 按定理 2 的结论判定 f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值 1. 二元函数 的定义域为( ).)12ln(xyz二元函数 的定义域为( ).arcsi2、 xyyxlim)0,(, 42lim)0,(, xyyx2)1,0(,liyxyx xyyx)sin(l)2,0(,173. 函数 在点 处的全微分为 .2yxz)1,(函数 的全微分为 .e函数 的
16、全微分为 .ze22)ln(函数 的全微分为 .yzxsi4. 求偏导 设 , 求 .xyexz2sinz,设 , 求 .xyexz2cosz,设 , 求 .xyz2yzx,设 , 求 .142yxz 2,yzx. 设, 而 , 求 .vuzln2yxvy23,yzx,18设 , 而 , 求 .423uvzyxvy, yzx,设 , 而 , 求 .vezusinyxvy23,yzx,设 , 而 , 求 .22zyxeuyxsin2yux,设 , 而 , 求 .22uvz yxvyxsin,cosyzx,设 , 而 , 求 .423uvzxvexsin,dz设 , 而 , 求 .vuez23,s
17、inxvdz19设 ，而 ， ，求全导数 .tuvzsintecosdtz设 求 .,0sin2xyeydxy设 求 .,0lnlxyzyzx,设 求 .,xyzezyz,5 求曲线 在 处的切线及法平面方程 .32,tzytx10求曲线 在 处的切线及法平面方程.2sin4,co1,sintztytx020求曲线 在 处的切线及法平面方程.2,1,1tzytx10求曲线 ， , 在 处的:tudex0costtycossin2tez310切线和法平面方程.求旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程. 12yxz)4,(求曲面 在点 处的切平面及法线方程 .32xyez)0,21(6 应用 求函
18、数 的极值.2)(4),(yxyxf 求函数 的极值 .xyxyxf 93),( 2321求表面积为 平方米而体积最大的长方体的体积 .9要用铁板做一个体积为 2 的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才3m能使用料最省。要用铁板做一个体积为 4 的无盖长方体水箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能3m使用料最省。求 的近似值02.4122第九章复习要点1. 二重积分的几何意义、性质及二重积分计算(直角坐标和极坐标系)性质 (为 D 的面积) Dd1直角坐标： X型区域 D 1(x)y2(x) axb baxDdyfdyxf)(21,),(Y 型区域 D 1(x)y2(x)
19、cyd dcyDdxfyxf)(21,),(极坐标： fdfDsin,o,2. 两种积分次序转换1、设平面闭区域 ，则 ( ).1),(2yxDdxy3A. ； B. ； C. ； D. .22、设平面闭区域 ，则 ( ).41),(2yxDDdxy2A. ； B. ； C. ； D. .363 改换二次积分的积分次序dxyfdy01),( dxyfdy20),(dxyfdy210),( dyxfd12),(234. 计算 , 其中 是矩形闭区域 , .Ddxyyx)3(32D10xy计算 , 其中 是由 , 所围成区域.Dxyd2xy21x计算 , 其中 是由 , 所围成区域.Dxydxy2
20、2. 计算 , 其中 是环形闭区域: Ddxy)(2D.942yx计算 , 其中 是圆形闭区域: Dyxde2D.42yx计算 , 其中 是圆形闭区域: Dyxde2D.162yx24第十章复习要点1. 级数敛散性的判别、性质，级数收敛的必要条件 如果 收敛 则 1nu0limnu等价命题：若 ，则级数 发散0limn1n正项级数定理 1 正项级数 收敛的充分必要条件它的部分和数列s n有界 1nu定理 2(比较审敛法)设 和 都是正项级数 且 unvn (n1 2 ) 1nnv若级数 收敛 则级数 收敛 反之 若级数 发散 则级数 发散 1nv1nu1n1nv定理 3 (比较审敛法的极限形式
21、 ) 设 和 都是正项级数 1nuv(1)如果 (0l) 且级数 收敛 则级数 收敛 vunlim1n1nu(2)如果 且级数 发散 则级数 发散 nnvuli0li或 1nv1n定理 4(比值审敛法 达朗贝尔判别法 )设 为正项级数 如果1n nulim则当 1 时级数收敛 当 1(或 )时级数发散 当 1 时级数可能收敛也可能n1li发散 25定理 5 (极限审敛法) 设 为正项级数 1nu(1)如果 则级数 发散 )lim(0li nlu或 1nu(2)如果 p1 而 则级数 收敛 )( lilnp 1n交错级数定理 6（莱布尼茨定理） 如果交错级数 满足条件 1)(nnu(1)unun
22、1 (n1 2 3 ) (2) 0lim则级数收敛绝对收敛与条件收敛 若级数 收敛 则称级数 绝对收敛1|nu1nu若级数 收敛 而级数 发散 则称级 条件收敛1n1|n1nu2. 幂级数收敛半径、收敛区间和收敛域、和函数 定理 1 (阿贝尔定理) 如果级数 当 xx0 (x00)时收敛 则适合不等式|x| x0|的一切 x0na使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数 当 xx0 时发散 则适合不等式|x| x0|的一切0nx 使这幂级数发散 推论 如果级数 不是仅在点 x0 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一0nxa个完全确定的正数 R 存在 使得当|x| R 时 幂级数绝对收敛 当|
23、x| R 时 幂级数发散 当 xR 与 xR 时 幂级数可能收敛也可能发散 定理 2 如果 其中 an、a n1 是幂级数 的相邻两项的系数 则这|lim1na0nxa26幂级数的收敛半径 01 R性质 1 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续 0nxa如果幂级数在 xR (或 xR)也收敛 则和函数 s(x)在 (R, R(或 R, R)连续 性质 2 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积 并且有逐项积分公式0na(xI ) 010()( nnxx adxdds逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质 3 幂级数 的和函数 s(x)在其收敛区间(R R)
24、内可导 并且有逐项求导公式0nxa(|x|R) 10)()nnas3. 将函数展开成幂级数 )(!2)()( 2000 xfxfxf )(!)0( xRxnfn1 12n)(!1! xxxe )( )!12() 53sin xn) )!( !421coxx 1( 1 3)ln( xn间接展开法 271、下列级数中收敛的是( ).A. ； B. ； C. ； D. . E. 1n1n12n1n1)(n2、下列级数中发散的是( ).A. ； B. ； C. ； D. .1)(n1)(n12)(n12sin3. 对级数 , 若 , 则 ( ).1nu0limA. 必收敛, B. 必发散, 1nuC.
25、 其部分和 , D.其收敛性无法确定.nS4、下列级数中发散的是( ).A. ； B. ； C. ； D. .12sin )1cos(1n )1ln(121)ln(5、下列级数中绝对收敛的是( ).A. ； B. ； C. ； D. .1)(n1)(n12)(n1sin5下列级数条件收敛的是( ).(A) 1();20n(B) 13();n(C) 1();n(D) 1().n6. 设幂级数 在 2x时收敛，则该级数在 5x处( ).nna)(1A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 其收敛性无法确定.7. 设幂级数 在 时条件收敛,则该级数的收敛半径 R为 nxa13设幂级数 在 时
26、条件收敛,则该级数的收敛半径 为 n)(28幂级数 的收敛区间为 , 收敛域为 . nnx12)(幂级数 的收敛区间为 , 收敛域为 . nn1幂级数 的收敛区间为 . nx1幂级数 的收敛区间为 .nn138、函数 在 处的幂级数展开式为 .xef)(0函数 在 处的幂级数展开式为 .1函数 在 处的幂级数展开式为 .3)(xf0函数 在 处的幂级数展开式为 .f10级数 当 时绝对收敛; 当 时条件收敛, 1)(np9. 判断下列级数的敛散性: , . )()1nn 12)(n, . 1)12)()3nn123)4(n29. 13sin2)5(n 14)6(n10. 求幂级数 的收敛域及该级数在其收敛区间内的和函数.nnx0)1(求幂级数 的收敛半径、收敛域及该级数在其收敛区间内的和函数.nnx1)(1
