1、1第二章 轴向拉(压)变形习题 2-1 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。（a）解：（1）求指定截面上的轴力 FN12（2）作轴力图轴力图如图所示。（b）解：（1）求指定截面上的轴力FN210（2）作轴力图23轴力图如图所示。（c）解：（1）求指定截面上的轴力FN21（2）作轴力图323轴力图如图所示。（d）解：（1）求指定截面上的轴力FN1FaFqa222（2）作轴力图中间段的轴力方程为：xaFxN)(0,(轴力图如图所示。2习题 2-2 试求图示等直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，试求各横截面上的应力。240mA解：（
2、1）求指定截面上的轴力 kN1)(10223k（2）作轴力图轴力图如图所示。（3）计算各截面上的应力 MPamNA504012311 2322PamNA54012333 习题 2-3 试求图示阶梯状直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴力图。若横截面面积， ， ，并求各横截面上的应力。210A22340A解：（1）求指定截面上的轴力 kN1)(10223k（2）作轴力图轴力图如图所示。（3）计算各截面上的应力 MPamNA102031.3222PamNA5401233习题 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，
3、其截面均为两个 的等边角钢。已知屋面承受集度为m875的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EC 横截面上的应力。mkNq/20解：（1）求支座反力由结构的对称性可知：)(4.17)93.42(05.21kNqlRBA （2）求 AE 和 EG 杆的轴力 用假想的垂直截面把 C 铰和 EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件可知：0)(FMC087.41287.)543.(2.1 EGN)(62.357. kN 以 C 节点为研究对象，其受力图如图所示。由平平衡条件可得：0XcosEAGN)(86.317.462.5kN（3）求拉杆 AE 和 EG 横截面上的应力查型钢
4、表得单个 等边角钢的面积为：m852213.105.cmAMPaNANE5.19.5623mEG.3.10272习题 2-5 石砌桥墩的墩身高 ，其横截面面尺寸如图所示。荷载 ，材料的密l kNF10度 ，试求墩身底部横截面上的压应力。3/5.2kg解：墩身底面的轴力为： gAlFGN)( )(942.108.5210)4.32102 kN48.935210)4.32(102)9.34kN墩身底面积： )(4.).( 22mA因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakamk3.071.3914.9302习题 2-6 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以 表示斜截面
5、NF210mA与横截面的夹角，试求当 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示ooo,645,0其方向。解：斜截面上的正应力与切应力的公式为： 20cosin式中， ，把 的数值代入以上二式得：MPamNA1020轴向拉/压杆斜截面上的应力计算题目编号10000 100 0 100 100.0 0.0 10000 100 30 100 75.0 43.3 10000 100 45 100 50.0 50.0 10000 100 60 100 25.0 43.3 习题 2-610000 100 90 100 0.0 0.0 习题 2-7 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积 A 和材料的弹
6、性模量 E。试作轴力图，并求杆端点 D 的位移。解：（1）作轴力图FNCB2AAD 杆的轴力图如图所示。（2）求 D 点的位移)(0Pa)(M)(Pa)(o)()(25EAlNlEAlNl CDBCBDlFl3/3/（）l习题 2-8 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长 200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 。如不计柱的自重，试求：GPaE10（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。解：（1）作轴力图kNAC10)(260kB轴力图如图所示。（2）计算各段上的应力。MPamNANC5.20213，BC .6623（3）计
7、算各段柱的纵向线应变43105.2105.MPaEAC 43.6.6BC（4）计算柱的总变形 )(35.10)15.605.2( 4mlllCBACA 习题 2-9 一根直径 、长 的圆截面杆，承受轴向拉力 ，其伸长为md16l3kNF0。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量 。ml2. E解：（1）求杆件横截面上的应力 MPaNA.49164.302（2）求弹性模量6因为： ，EANl所以： 。GPaMall 6.203)(9.2035.3149习题 2-10 （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变 等于直径方s向的线应变 。d（2）一根直径为 的圆截面杆，在轴向力
8、 F 作用下，直径减小了 0.0025mm。如材料m0的弹性模量 ，泊松比 ，试求该轴向拉力 F。GPaE13.（3）空心圆截面杆，外直径 ，内直径 ，材料的泊松比 。当其D12md603.0轴向拉伸时，已知纵向线应变 ，试求其变形后的壁厚。.解：（1）证明 ds在圆形截面上取一点 A，连结圆心 O 与 A 点，则 OA 即代表直径方向。过 A 点作一条直线 AC 垂直于 OA，则 AC 方向代表圆周方向。（泊松比的定义式） ，同理，ACsOd故有： 。ds（2）求轴向力 Fm025.4 10.1d44 10325.0EAFkN74.13)(5.1370251014.3250432 （3）求变
9、形后的壁厚4 .4103)(rRm09.)6()(变形厚的壁厚： 7)(91.20.3|)(|)( mrRr习题 2-11 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为 ，试求 C 与,ED 两点间的距离改变量 。CD解： EA/式中， ，故： aaA4)()(22F4EaaF4 aaCD1245)(4323)()(4323 EFaCD403.14125)(15)( 习题 2-12 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量，已知 ， ， ， 。试求 C 点的水GPaE210ml 2210mA3AkN平位移和铅垂位移。解：（1）求各杆的轴力以
10、 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以0X45cos3N由对称性可知， 0CH)(12521 kNFN受力图8（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。A 点的铅垂位移： mmNEAl 476.01/210221 B 点的铅垂位移： ll ./2221、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到：C 点的水平位移： )(476.05tan1mloBHACHC 点的铅垂位移： )(476.01ml习题 2-13 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力 。kNF
11、35已知杆 AB 和 AC 的直径分别为 和 ，钢的弹性模量 。试求 Ad21d52 GPaE210点在铅垂方向的位移。解：（1）求 AB、AC 杆的轴力以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：0X045sin30sinoABoCN(a)A2：Y3coscosABC(b)703AN(a) (b)联立解得：；kAB1.8kNAC621.52（2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移212ElNlF)(212AllA式中， ；(45sin/01 mlo )(1603sin/802 mlo；213.3 22754.A变形协调图9故： )(36.1)7210563210487(3
12、5 mA 习题 2-14 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径 的钢丝，在钢丝的中点 C 加一d竖向荷载 F。已知钢丝产生的线应变为 ，其材料的弹性模量 ，. GPaE20钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律） ；（2）钢丝在 C 点下降的距离 ；（3）荷载 F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力)(7350.21MPaE（2）求钢丝在 C 点下降的距离。其中，AC 和 BC 各 。)(21mlANl m5.396507.103coso834).ar()(.7tnmo（3）求荷载 F 的值以 C 结点为研究对象，由其平稀衡
13、条件可得：0Y0si2PaNnAP )(239.678.4si1.35702 N习题 2-15 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为 截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为：dx)()(EAFlll xdx00)()(lr12 2121dxlrxl12)( uldA10dxludxld2)2( 112 12)(2)( 2121udldulxAd因此， )()()()( 202100 udEFlxAFxEl lll ll dxldludl 0121021 )()( 22)( 111 dldEFl121)(l214dEFl习题 2-16 有一长度为 300mm 的等截面钢杆承受轴
14、向拉力 。已知杆的横截面面积kNF30，材料的弹性模量 。试求杆中所积蓄的应变能。250mAGPa0解： )(257.25/103.32 mmNElNU习题 2-17 两根杆 A1B1 和 A2B2 的材料相同，其长度和横截面面积相同。杆 A1B1 承受作用在端点的集中荷载 F；杆 A2B2 承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度。试比较这两根杆内积蓄的应变能。lf解：（1）求（a）图的应变能 EAlUa2（2）求（b）图的应变能11EAdxNdUb2)(dxfllb 200)(1)( EAlFlEAlfdxfl 6/622323202 (3) 以上两种情形下的应变能比较，即： 。362EAlFUb
15、a baU3习题 2-18 图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为 。如提升闸门的钢质丝杠内kNF140径 ，钢的许用应力 ，试校核丝杠的强md40MPa170度。解：（1）计算最大工作应力 2maxax5.0dFAN)(465.14.312MPa（2）强度校核因为 ，Pa70.max即： max所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。习题 2-19 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆 AB 用两根 不等m4063边角钢组成，钢的许用应力 。试问在起重量 的重物时，斜杆 AB 是否满MPa170kNP15足强度条件？解：（1）计算 AB 杆的工作应力以 A 结点为研究对象，其受力图如图所示。
16、由其平衡条件可得：0Y03sinPFNAB12023sin0PNAB)(6154kN查型钢表得：单个 不等边角钢m4的面积为： 。两个角钢的总228.0.c面积为 )(618405故 AB 杆的工作应力为： MPamN74.2ax（2）强度校核因为 ，10ax即： max所以 AB 杆符合强度条件，即不会破坏。习题 2-20 一块厚 、宽 的旧钢板，其截面被直径 的圆孔所削弱，圆孔10m2md20的排列对称于杆的轴线，如图所示。钢板承受轴向拉力 。材料的许用应力kNF，若不考虑应力集中的影响，试MPa170校核钢板的强度。解：（1）判断危险截面垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危 险截面。不考
17、虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。（2）计算工作应力危险截面上的工作应力为：指示 dtbFAN2maxMPam1250)0(（3）强度校核因为 ，Pa17ax即： max所以 AB 杆符合强度条件，即不会破坏。习题 2-21 一结构受力如图所示，杆件 AB，AD 均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择 AB，AD 的角钢型号。MP17013解：（1）求 AB、AD 杆的轴力由对称性可知： )(30)2(kNNAD取节点 A 为研究对象，由其平衡条件可得：0Y03sinADAB)(62kNN（2）计算 AB、AD 杆的工作应力，并选定角钢。AD 22265.17.1764/1
18、703 cmmN查型钢表，AD 杆可选用两根角钢号数为 8 的、 （单根面积 ）的等边02397.cm角钢。 AB 22291.351.359/1706 cmmN查型钢表，AB 杆可选用两根角钢号数为 10 的、 （单根面积 ）的0261.9cm等边角钢。习题 2-22 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择 AC 和 CD 的角MPa170钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，)(20kNRBA（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为研究对象，由其平衡条件得：0Y140cosACNR)(67.35/2inkN以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
19、0XcosACDN)(3.295/430kN（3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AC 杆：222569.18.156/1706 cmmNAC选用 2 （面积 ） 。827cCD 杆：222 5.148.15/17093 cmmNACD选用 2 （面积 ） 。6529.7.c习题 2-23 一结构受力如图所示，杆件 AB、CD、EF、 GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 ，材料的弹性模量 ，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试MPa170GPaE10选择各杆的角钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、 。DCA解：（1）求各杆的轴力)(2403.kNNAB68
20、0CDFM02.15.30GHN15)(174)2450(31kNNGHY617EF)(8kN（2）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AB 杆：2221.4765.14/1704 cmmAB 选用 2 （面积 ） 。5692CD 杆：22259.3941.3/170 cmmNACD选用 2 （面积 ） 。54278EF 杆：22241.01.094/17086 cmmNAEF 选用 2 （面积 ） 。5428GH 杆：22235.1059.103/170 cmmNAGH选用 2 （面积 ） 。5428.6.（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、DCA)(7.2694.1203mEl
21、NlAB )(0.786llCD )(5.1210mEAlNlF16)(47.1821074mEAlNlGHEG 杆的变形协调图如图所示。 38.GHEFDl.147.580.1)(mD )(45.2907.5.1mlCDC)(72AB习题 2-24 已知混凝土的密度 ，许用压应力 。试按强度条件33/.ckgMPa2确定图示混凝土柱所需的横截面面积 和 。若混凝土的弹性模量 ，试求柱顶 A 的12AGE0位移。解：（1）确定 和1A2混凝土的重度（重力密度）： )/(05.8.95. 33mkNg上段（1 杆）：1 杆的重量： )(6.2410.201kAA|max1kPakPaA206.4
22、11.20A047351)(6.2mA下段（2 杆）2 杆的重量： )(6.241.50.2105.21576.01 kNAA17|max2kPakPaA206.41.5222 A4151732)(6.0mA（2）计算 A 点的位移1 杆的轴力： （ 以 为单位）)(107.2()05.76.10() kNxxxN xm2 杆的轴力： 5.641yy)(4.2.4()kNydxmkNxl12026576.0/)1.120).(5.120263.1x5.026)(16m（负号表示压缩量）2. dykNkyl10 2262 64.0/)154.(120).(8.3120264.5.71yy.3.8
23、02618)(1026m（负号表示压缩量）.（）)(24.121 mlA 习题 2-25 （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆 AC 和 BD的直径分别为 和 ，钢的许用应力 ，弹性模量md5d82 MPa170GPaE210。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 、 及 A、B 两点的竖向位移 、 。AClDAB解：（1）校核钢杆的强度 求轴力)(67.105.43kNNAC3B 计算工作应力2514.2067mACMPa8.13528.3NNBD07. 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa，即 ； ，ACBD所以 AC 及 BD 杆的强
24、度足够，不会发生破坏。（2）计算 、AClBD)(618.25.4902167mENlA)(.3.llBD（3）计算 A、B 两点的竖向位移 、AB)(618.mlC。50BD习题 2-26 图示三铰屋架的拉杆用 16 锰钢杆制成。已知材料的许用应力 ，弹性模MPa21019量 。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。GPaE210解：（1）求支座反力由对称性可知： BAR（)(56.1497.65.0kN）（2）求拉杆 AB 的轴力CM085.6.14925.89.164.3 ABN)(720k（3）按强度条件选择钢杆的直径22687.103/1 mNAB2.4.350d2678m.
25、（4）计算钢杆的伸长)(7.168.03217mEAlNlB习题 2-27 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 保持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角l的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角；（2）两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得：0YsinFNABi0XcosBCABN20cotsincosFNABC（2）求工作应力siABABBCBCFNcot（3）求杆系的总重量。 是重力密度（简称重度，单位： ） 。)(BABllVW 3
26、/mkNcosCA)1(BBl（4）代入题设条件求两杆的夹角条件： ，sinABABFNsinFAB， cotBCBC cotBC条件： 的总重量为最小。W)cos1(BABlC)cots1in(Fl)icosi(Flin12l2sicoFl从 的表达式可知， 是 角的一元函数。当 的一阶导数等于零时， 取得最小值。WWW 02sin2cos)1(icos2 ld2102cos23sin2 1cos3.0o47.09)ar(2547.o（5）求两杆横截面面积的比值sinFABcotBCcos1tsincotiFABC因为： 1233cso231cso所以： 3BCA习题 2-28 一内径为 ，厚度为 （ ） ，宽度为 的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分r10rb布的压力 （如图） ，试求：p（1）由内压力引起的圆环径向截面上应力；（2）由内压力引起的圆环半径的伸长。解：（1）求圆环径向截面上应力如图，过水平直径作一水平面（即为径向截面） ，取上半部分作为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得： 0Y2202brp（2）求由内压力引起的圆环半径的伸长应用变形能原理： 。UW)2()(1brEuVprbr EprEpr 22)(
