1、 第十章 第 1 页讲授内容 10.1 二重积分教学目的与要求：1、理解二重积分的定义和几何意义2、熟练掌握二重积分的性质及两种计算方法3、了解二重积分的对称性定理4、掌握区域的对称性与被积函数的奇偶性对二重积分的影响5、掌握二重积分中直角坐标和极坐标的相互转化，并学会选取适当的坐标系来计算二重积分教学重难点：重点二重积分的定义及性质，二重积分的方法和特点.难点利用极坐标计算二重积分，二重积分的对称性定理的应用教学方法：讲授法教学建议：1、 借助几何图形引入曲顶柱体的概念，同时引入二重积分的定义2、 借助几何图形讲清二重积分的函义及二重积分的对称性的实质3、 借助几何图形分析二重积分化为二次积
2、分的过程学时：6 学时教学过程在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，将这种极限的概念推广到定义在区域上的多元函数的情形，便的到了重积分教学过程一、 二重积分的概念与性质1曲顶柱体的体积:第十章 第 2 页曲顶柱体：由底是 xoy 面上的闭区域 D,侧面是以 D 的边界为准线 ,母线平行于z 轴的柱面,顶面是曲面 z=f(x,y)(f(x,y)0)所构成的立体.曲顶柱体的体积的计算：1)用曲线网将 D 划分为 n 个小部分：1, 2, ,n,其中 i 也代表第 i 个小块的面积;2） ,作 ;),(i),(ifi3）求和： ;ni iif1),(4）取极限得体积: ;( =
3、max 1, 2, , n )0limdVniif1),(d2.平面薄片的质量设平面薄片在 xOy面上占有区域 D,其面密度为 ),(yx,同曲顶柱体的体积求法一样,有质量M i; ( =max 1, 2, , n )0limdiini ),(1 d3.二重积分的定义定义：设 f(x,y)是有界闭区域 D 上的有界函数.将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域： 1, 2, , n,其中 i 也代表第 i 个小块的面积;在每个 i 上任取一第十章 第 3 页点( i, i),作乘积: (i=1,2,n),作和： ),(ifini1),(if，设 =max 1, 2, , n 是各小区域的直径中的
4、最大值.若极限i 0lim1),(ifi存在,则称此极限为函数 f(x,y)在区域 D 上的二重积分.记作：f(x,y)d 即： f(x,y)d= f( i, i) iD0lin1其中:f(x,y)为被积函数; f(x,y)d 为被积表达式;d 为面积元素;D 为积分区域; x,y 为积分变量; f( i, i) i为积分和.ni1在直角系下用平行于坐标轴的直线划分 D,则有 d=dxdy,于是有：f(x,y)d f(x,y)dxdyDD4.二重积分的几何意义a)若 f(x,y)0,则二重积分是曲顶柱体的体积;b)若 f(x,y)0,则二重积分是曲顶柱体的体积的负值;c)若 f(x,y)在 D
5、 上有正,有负,则二重积分是曲顶柱体体积的代数和.二、二重积分的性质1. kf(x,y)d=k f(x,y)d,(k 为常数);DD2. f(x,y)g(x,y)d= f(x,y)d g(x,y)d;DDD3. 若 D=D1D 2,则 f(x,y)d= f(x,y)d+ f(x,y)d;D1D2D第十章 第 4 页4. 若 f(x,y)=1,则 f(x,y)d= (D 的面积);D5. 若在 D 上有：f(x,y)g(x,y),则有 f(x,y)d g(x,y)d;DD由此有：| f(x,y)d| |f(x,y)|d;DD6. 若 mf(x,y)M,则有 m f(x,y)dM;D7. (中值定
6、理)设 f(x,y)在闭区域 上连续,则在 上存在一点 (,),成立等式： f(x,y)d=f(,)D8、二重积分对称性定理：首先定义函数的奇偶性：若 ，称 关于 为奇),(),(yxff),(yxf函数;若 ，称 关于 为奇函数；若),(),(yxfxf或 ，称 关于 或 为偶函数；若yf),(ff，称 关于 ， 为偶函数),(),(ff设积分区域 关于 轴即 （或 轴）对称， 为 （或1Dx0y),(yxf轴）的奇或偶函数，则x 为 奇 函 数或关 于 为 偶 函 数 ，或关 于 )(),(,0 且)(),(,),(21),( xyxffdyxfDDdyxf 为 的对称部分中的一部分.1设
7、 关于原点对称， 关于 为奇函数或偶函数，则2),(yxf,第十章 第 5 页 为 奇 函 数关 于 为 偶 函 数 ，关 于 yxyxffdyxfDDdyxf ,),(,0 且,),(,),(21),( 为 的对称部分中的一部分.1设 关于直线 对称，则 .3yxDdyxf),(Ddxyf),(例 1：设 域是 ，则 （ ） D42D)1(3解： 关于 轴对称， 关于 为奇函数，则 , x3xy03Ddxy4Dd)1(3D例 2：设 是 ， ，2)()2(yx1IDdyx4)(2I，Ddy)(，则 、 、 的大小顺序如何？3IDx2)(1I23I解：在 上， ， ，由此得 .y42()()(
8、)xy231I二、 二重积分的计算1、利用直角坐标计算二重积分：设 0.),(yxf1) X型区域：设区域 D： 1( ) 2( ), a bxyxx第十章 第 6 页特点：穿过 D 的内部且平行于 Y 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点.在 , 内任取一点 0,作平行于 o 的平面 =x0,截曲顶柱体得一截面 A(x0),abxyzx此截面是以区间 1(x0), 2(x0)为底,曲线 = ( 0, )为曲边的曲边梯形,故fy截面积为：A(x0)= ,)(0021xdyf由截面面积为已知的立体的体积计算方法知：曲顶柱体的体积为：d =dxyfD),(baA)(x)(21,xbadyf此式右端
9、称为先对 后对 的二次积分 具体求二重积分时,可以去掉限制条件：f( , )0.xy2）Y型区域：设区域 D： 1(y) 2(y),c d.第十章 第 7 页特点：穿过 D 的内部且平行于 X 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点.同理有： =dxyf),()(21,ydcdxf3) 既非 X型,又非 Y型区域：此时将 D 划分成若干个小区域,使每个小区域或者为 X型,或者为 Y型区域,再利用区域的可加性分别计算.4)既是 X型,又是 Y型区域：则有= =dxyfD),()(21,xbadyf)(21,ycdxf将二重积分划为二次积分时,确定积分限是关键.积分限由积分区域确定.首先划出积分区域
10、 ,假如积分区域 为 X-型,如下图,在a,b 内任取一点 ,积分x区域上以 为横坐标的点在一直线段上,此直线段平行于 轴,该直线段上点的纵x y坐标从 1(x)变到 2(x), 1(x)和 2(x)就是公式中将 看作常数而对 积分xy时的下限和上限,对 积分时,由于 在a,b内是任取的,因此 的积分区间为a,b.第十章 第 8 页例 1.计算： ,其中 由直线 y=1， x=2， y=x 所围成.Dxyd图(a) 图(b)解法 1：如图(a),积分区域为 X-型.在1,2内任取点 ,则在以 为横坐标的直线段上的点,其纵坐标从x=1 变到 = ，因此有:y= = = =9/8.Dxd21xdy
11、211dxydx)2(3解法 2：如图(b),积分区域为 Y-型.在1,2内任取点 ,则在以 为纵坐标的直线段上的点, 其横坐标从 =y x变到 =2,因此有:yx= = = =9/8.Dd21xdy212dyxdy)2(13例 2. 计算： ,其中 由直线 =1, =1, = 所围y2Dxx成.第十章 第 9 页图(a) 图(b)解：如图(a), 既是 X-型区域，又是 Y-型区域.若视 为 X-型区域：DD在-1,1内任取点 ,则在以 为横坐标的直线段上的点,其纵坐标从 = x y变到 =1,因此有：xy=Ddyx2112xdyy= = =xy)(3231 x)1(32说明：若把 看作 Y
12、-型区域，如图 (b)：则有 yD dxydyx1221此时计算较繁琐.因此选择适当的区域类型很重要.例 3：求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.解： 设这两个圆柱面的方程为： 2+ 2=R2, 2+ 2=R2,.xyxz由对称性可知,只须计算立体在第一卦限的体积,然后乘以 8 即得.第十章 第 10 页此时, =( , )|0 ,0 R,于是 ,所求体积为：Dxy2xRV=8 d d =8 =2ydxyRRx022 316R例 4：交换下列二次积分的积分次序： 221),(xdyfd解：积分区域 为：1 2 ，2 . 如左图. 若视 为 Y-Dx2xD型区域，如右图，则
13、有：= =221),(xdyfdDdxyf),(102),(ydxf例 5：证明：1) = ( 0,所以有： 2yxe0)所截得的(含在圆柱面的内部)立体的体积.解：由对称性有： .其中Ddxya224D：02acos,0/2.于是 V=4 =4Ddxya224cos2024ad= =2033)sin1()32(a例 12、计算 ,其中 D：x 2+y24.DdyxI2第十章 第 17 页解：由 x2+y2-2x0 和 x2+y2-2x0 将 D 划分为两部分：D1：2x x 2+y24 和 D2：x 2+y22xI= +1)(2dxyyx2)(dy= +221)(D2)(2Dx= +202)
14、cos(dd cos202)(d= +2 r202034)s(r2cos2043)cs(= +2 d20)cos3164( d244)so316(=8+ = =9204cs 248例 13、化二次积分 为极坐标系下的二次积分.xdyfd320)(解： 由于 D：xy x,0x23所以： =xdyfd220)(Ddxyf)(2= cos203)(f第十章 第 18 页例 14、将极坐标系下的二次积分： 交换积分次序.20sin),(adfd解：积分区域 D：0/2, 0a .(双纽线所围图形)si以 为半径画圆弧交 D 的边界于 A、B 两点,由极坐标方程 =a 和图形的2sin对称性可知,A、
15、B 两点的极角分别为： A= arcsin , B= - arcsin .212a12a于是 D：0a, arcsin - arcsin2 2所以： I= .2arcsin120),(adfd作业：P 158 1,2(2)(3),3(2),4,5,6(双), P159 7(1),8(1)(2),9,10(2)(3),11(1)(3)教学后记：第十章 第 19 页复习思考题：1、改变二重积分 的积分次序，并计算此二重积分.1 0d2xye2、计算 ，其中 是由圆周 及坐标轴D)ln(2D12yx所围在第一象限内的闭区域.第十章 第 20 页讲授内容 10.2 三重积分教学目的与要求1、理解三重积
16、分的定义以及空间区域的概念2、掌握三重积分的三种计算方法：直角坐标法、柱面坐标法、球面坐标法3、区分三种坐标法计算三重积分的特征和优缺点4、了解将三重积分化为三次积分的推导过程5、了解对称性对三重积分的影响 教学重难点：重点将三重积分化为三次积分的基本步骤难点利用球面坐标计算三重积分的特点和记忆方法教学方法：讲授法教学建议：利用多媒体进行图形分析学时：4 学时教学过程一、 三重积分的定义：1. 定义：设 f(x,y,z)是有界闭区域 上的有界函数.将闭区域 任意分成n 个小闭区域：v 1,v 2,v n,其中 v i也代表第 i 个小块的体积;.在每个v i上任取一点( i, i, i),作乘
17、积：f( i, i, i)v i (i=1,2,n),并作和： f( i, i, i)v i,ni1设 =maxv 1,v 2,v n ， 是各小区域的直径中的最大值.如果极限：第十章 第 21 页f( i, i, i)v i存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在区域 上的三重0limn1积分.记作： dvzyxf),(即： = f( i, i, i)v i.vzyxf),(0limn1其中: f(x,y,z)： 被积函数; f(x,y,z)dv：被积表达式;dv ：体积元素; ：积分区域;x,y,z: 积分变量; f( i, i, i)v i:积分和.0limn1在直角系下用平行于坐标轴
18、的直线划分 ,则有 dv=dxdydz,于是：= .dvzyxf),(dxyzf),(dxdydz 为直角系下的体积元素).2. 三重积分的性质三重积分具有与二重积分相同的性质.三重积分在物理上的意义：占有空间区域 的物体,在点( x,y,z)处具有体密度 f(x,y,z),则其质量为 f(x,y,z)在 上的三重积分.二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分1）计算一个定积分再计算一个二重积分(先一后二法或者穿针法)第十章 第 22 页假设平行于 z 轴且穿过 内部的直线与 的边界曲面 S 相交不多于两点.在 xOy 面上的投影区域为 D.以 D 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面,
19、此柱面与 的边界曲面 S 的交线将 S 分为两部分,其方程为：S1： z=z1(x,y) ;S2： z=z2(x,y) (设 z=z1(x,y) z=z2(x,y)在 D 内任取点( x,y),作平行于 z 轴的直线,此直线通过曲面 S1穿入 ,再通过曲面 S2穿出 ,其穿入点与穿出点的坐标分别为： z=z1(x,y)和 z=z2(x,y).将 x,y看作常数,对 f(x,y,z)在区间 z1(x,y),z2(x,y)上作定积分,其结果为 x,y 的函数,即为：F(x,y)=),(21),yxzdzf再将 F(x,y)在区域 D 上作二重积分： ),(21),yxzdzf当 D 是 X型区域：
20、 axb ; y1(x)yy 2(x) 时,则有：= ;dzyxf),( ),()(2121 ),yzxxyba dzfd当 D 是 Y型区域： cyd ;x1(y)xx 2(y) 时,则有：= ;dzyxf),( ),()(2121 ),xzyxydc dzf第十章 第 23 页21x当平行于 x 轴或者 y 轴且穿过 内部的直线与 的边界曲面 S 相交不多于两点时,也可将 投影到 yOz 平面或者 xOz 平面,得到相似的结论.当平行于坐标轴且穿过 内部的直线与 的边界曲面 S 相交多于两点时则将 划分成若干部分,使每个部分符合上述条件 ,再分别在小部分上计算并相加.例 1. 计算： ,其
21、中 为三个坐标面及平面 x+2y+z=1 围成的闭区域.xdyz解：如图：将 投影到 xOy 面上,得投影区域D：0 x1, 0 y于是： =dyzyxdz10210= =210)(xy48例 2. 计算： ,其中 为平面 z=0,z=y,y=1 及柱面 y=x2围成的闭区xzdy域.解：(方法一)将 投影到 xOy 面上,则 D：1 x1, x2 y 1. 于是= .xzdy 012012 xyx dyzd(方法二)将 投影到 xOz 面上,则 D：1 x1,0 z 1 于是= .xzdy 022 0111 xzx zdydy第十章 第 24 页(方法三)将 投影到 yOz 面上,则 D：0
22、 y1,0 zy .于是= .xzdy001yxzd2） 先计算一个二重积分再计算一个定积分(先二后一法或切片法 )当空间区域 为：=( x,y,z)|(x,y)D z,c1 z c2其中 Dz是竖坐标为 z 的平面截闭区域 所得的一个平面闭区域.则有： = .dxyf),(zDcdxyf),(21注： 利用先二后一法时,一般要求被积函数 f(x,y,z)与 x,y 无关,或者 容易计算.zDdxyf),(例 3. 计算本节的例 2.第十章 第 25 页解：这里 =( x,y,z)|(x,y)D z,0 z1,其中 Dz：( x,y)|y=x2,zy1于是 =xzdyzDxdy10 010yz
23、d例 4. 计算 ,其中 由 围成 .dxyz2 122czbyax解：=( x,y,z)|(x,y)D z, c z c Dz：( x,y)|221czbyax= = =dxyz2zDcdxy2cdzcabz)1(2354abc例 5. 将 交换成下列指定的积分次序.yxfI010),(a) 先对 y,次对 z,最后对 x 的三次积分;b) 先对 x,次对 y,最后对 z 的三次积分.解：1)将 x 看作常数,交换 y,z 的积分次序(图(1)则：= +ydfd01)(xdyzf10),(xzdzyf1),(于是 I= +xzz1,xzf1),(第十章 第 26 页2)先交换 x,y 的积分
24、次序(图(2)I= yxdzfd010),(再交换 x,z 的积分次序(图(3)I= +ydxzfd1010),(yzdxf110),(最后交换 y,z 的积分次序(图(4)图(5)I= +yzdxzfd1010),yzdxf101),(图(1)图(2) 图(3) 图(4) 图(5)注：三重积分交换积分次序时,采用两两交换法,在交换某两个变量时,将第三个变量看作常数,直到换到所需次序为止.3）. 利用对称性计算三重积分a) 若积分区域关于 xOy 平面对称,函数关于 z 为奇函数,则积分为零;b) 若积分区域关于 xOz 平面对称,函数关于 y 为奇函数,则积分为零;C)若积分区域关于 yOz
25、 平面对称,函数关于 x 为奇函数,则积分为零;例 6. 计算 ,其中 为球面 所围区dvzyxz1)ln(22 122zy第十章 第 27 页域.解：由对称性可知,原式=0.2利用柱面坐标计算三重积分1柱面坐标系：设点 M(x,y,z)为空间一点,点 M 在 xOy 面上投影点 P 的极坐标为 r , .则规定这样的三个数 r , .z 为点 M 的柱面坐标,其中：r=常数：0 r+，是以 z 轴为轴的圆柱面;=常数：02，是过 z 轴的半平面;z=常数： z+，是与 xOy 面平行的平面.显然,点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系为：x=rcos, y=rsin, z=z.现利用柱面坐标系计
26、算三重积分 .dvzxf),(用 r=常数，=常数，z=常数将 划分为一些直径很小的区域，以 dr,d ,dz分别表示 r, ,z 的增量，则以 dr,d ,dz 组成的柱体的体积为： dv=rdrddz.于是有： = .dvyxf),(dzrrf ),sin,co(上式为直角坐标到柱面坐标的变换公式.在柱面坐标下,再将三重积分化为三次积分.例 7. 用柱面坐标计算： ,其中 由zdvI第十章 第 28 页曲面 z=x2+y2与平面 z=4 围成的闭区域. 解：由于： r2 z4,0 r2,02.所以： =dvIz= = = 420rz204)16(drrd3例 8. 计算由曲面 z=x2+y
27、2， z=2(x2+y2)， y=x2和平面 y=x 所围成的体积.解：由于 ： r2 z2 r2,0 rsin/cos 2,0/4.所以,所求体积为V= 222 cosin034cosin04 drdzdr= 404408sectan1cosi1= =40 22t)t(tand35例 9. 计算： ,其中 是球面 与锥面dvz2 2yxz所围成的第一卦限的部分.2yx第十章 第 29 页解：由于 ： r z ,0 r1,0/2.2所以 =dv2210rdz=10322)(3rr )12(53利用球面坐标计算三重积分1）球面坐标系：设点 M(x,y,z)为空间一点,点 P 为点 M 在 xOy
28、 面上投影点，点 M 用 r, , 确定.其中：r=常数：0 r+, 即：以原点 O 为圆心的球面;= 常数：0 , 即：以原点为顶点、Z 轴为轴的圆锥面; =常数：0 2, 即：过 z 轴的半平面设点 P 在 x 轴上的投影为点 A,则 OA=x, AP=y, PM=z.于是 M 的直角坐标与球面坐标的关系为：x=OPcos =rsincos , y=OPsin =rsin sin ， z=rcos第十章 第 30 页下面求球面坐标下的体积微元.用 r=常数, =常数, =常数将 划分成直径很小的区域,则由 r, , 产生的增量 dr,d ,d 形成的六面体(可看作为长方体)的体积近似为：d
29、v=r2sindrdd此为球面坐标系下的体积微元.于是 = .dvzyxf),(drrFsin),(2其中： F(r,)=f(rsincos,rsinsin,rcos)上式为直角坐标到球面坐标的变换公式.在球面坐标下,再将三重积分化为三次积分.2）特殊情形：1） 若 的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面,其球面方程成为：r=( , ),则有：= .drFsin),(2 ),(0220 sin),r drF2） 当 的边界曲面为球面 r=a 时,则有：= .drrFsin),(2 adrrF0220 sin),(特别地,当 F(r,)=1 时,有：.30220 4sinadrda例 10. 求半径为 a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解：设球面过原点,球心在 z 轴上,内接锥面的顶点在原点,其轴与 z 轴重合,建立如图所示的坐标系： 则球面方程为： r=2acos ; 锥面方程为： =
